第十讲 曲线曲面积分

1、第十章 曲线积分与曲面积分一、学习目的与要求 1、加深理解两类曲线积分的概念与性质。2、熟练掌握两类曲线积分的计算法。3、熟悉并会应用格林公式及平面曲线积分与路径无关的条件。4、知道曲线积分的一些简单应用。5、加深理解两类曲面积分的概念与性质。6、掌握两类曲面积分的计算方法。7、掌握高斯公式，并会利用高斯公式计算曲面积分。8、了解斯托克斯公式及散度与旋度等概念。9、能用曲面积分来表达一些几何量与物理量（如质量、重心等）。二、学习重点对坐标的曲线积分的计算与格林公式。对坐标的曲面积分的计算与高斯公式。三 、内容提要1、 第一型曲线积分（对弧长的曲线积分） （）定义 ，其中L 为空间光滑或分段光滑

2、的曲线弧，是L上的有界函数，是将L任意划分成的n个小弧段，（）是上任意一点。也表示其长度（.（）可积性 若函数是L上的连续函数，则存在。（）性质 设L是有限长的分段光滑曲线，在L上连续，A、B分别为L的起点和终点，则有（1）即第一型曲线积分与曲线L的方向无关。（2） (为常数)（3）若L由两段弧L1和L2构成，则（4）存在（），使=(s为曲线L的弧长)（IV）计算法则（1）设空间分段光滑曲线L的参数方程为其中在上有连续导数，则有： 其中=为曲线L弧长的微分。（2）关于平面曲线积分的计算方法10 若平面曲线L的参数方程为,则，20 若平面曲线L的方程为，则，30 若平面曲线L的方程为，则40 若

3、平面曲线L由极坐标方程给出，则，注：第一型曲线积分化为定积分时，定积分的下限一定不大于上限。（）应用（1）求曲线L的弧长（2）求曲线弧的质量与重心：若为光滑曲线L在点处的线密度，则曲线L的质量M为：；设曲线L的重心坐标为，则类似重积分，还可写出求曲线的转动惯量公式及曲线对质点的引力公式。2、第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）（）定义 设是定义在有向曲线L上的函数，为有向曲线L在点（）处的单位切线矢量，若积分存在，称它为矢量函数（或函数组）沿曲线L的第二型曲线积分（或对坐标的曲线积分）。记，则，于是又可记作或（）可积性 若，在光滑曲线L上连续，则存在。（）性质（1） 即第二型曲线积分与曲线的方向

4、有关。（2） 为常数）（3） 若有向曲线L平行于面，则若有向曲线L平行于面，则若有向曲线L平行于面，则若有向曲线L是平行于x轴的直线段，则，其余类推。（IV）计算法则（1）设空间分段光滑有向曲线L的参数方程为的起点对应，终点对应，则（2）关于平面第二型曲线积分的计算方法10 若平面有向光滑曲线L的参数方程为的起点对应，终点对应，则20 若平面有向曲线L由直角坐标系下的方程给出，L的起点对应，终点对应，则（）应用 质点沿有向曲线L从起点运动到终点时变力所做的功W为：或（VI）全微分式的积分 L是以A为起点，B为终点的分段光滑曲线，函数在L上连续，若存在可微函数,使得，则平面曲线积分也有类似结论。

5、（VII）格林（Green）公式设平面闭区域D的边界是分段光滑曲线L，函数在D上有一阶连续偏导数，则有：其中L是D的取正向的边界曲线。（VIII）平面上曲线积分与路径无关的条件设D是平面单连通域，函数在D内有连续的一阶偏导数，则以下条件互相等价。（1）、对D中任一分段光滑曲线L，积分与路径无关，只与L的起点和终点有关。（2）、沿D中任一分段光滑闭曲线L有：（3）、在D内每一点处有（4）、在D内存在，使得，且，这里的为D内任意一定点，c为任意常数。（IX）两类曲线积分之间的联系其中为有向曲线L在点处的单位切线矢量。3、第一型曲面积分（对面积的曲面积分）（）定义 ，其中S是空间分片光滑的曲面，是定

6、义在S上的有界函数，,是将S划分成的个小曲面,为小曲面上任意一点,也表示其面积,的直径。（）可积性 若在光滑曲面S上连续，则存在。（）性质 与第一型曲线积分性质相同。（）计算法则 (1)设曲面S有方程，它在面上投影区域为，则=（2）设曲面S有方程，它在面上投影区域为 ，则=（3）设曲面S有方程，它在面上投影区域为 ，则=（）应用（1）计算曲面面积：（2）计算曲面的质量：，其中为曲面S 在 处的面密度。（3）计算曲面的重心:, （4）计算曲面的转动惯量：,.（5）类似三重积分计算曲面对质点的引力。4、第二型曲面积分（对坐标的曲面积分）（）定义 设、是定义在有向曲面上的函数，记,为有向曲面指定一侧

7、在处的单位法矢量。 若存在，则称它为矢量函数（或函数组）在有向曲面上的第二型曲面积分。记,分别表示曲面在面、面、面上的有向投影，则可记=因此，第二型曲面积分也称为对坐标的曲面积分。（）可积性 若、在光滑有向曲面上连续，则存在。（）性质 (1) 若记（-）是相反的一侧的有向曲面，则=(2) 若有向曲面由和两部分组成，则=+(3) =+，其中为常数。(4) 当有向曲面垂直于面时；当有向曲面垂直于面时；当有向曲面垂直于面时；当有向曲面平行于面时； 当有向曲面平行于面时；当有向曲面平行于面时；（）计算法则（1）由=+,再将右式三个积分分别化为二重积分计算。 设有向曲面由方程给出，在面上的投影区域为，则

8、有当左端有向曲面取上侧时，右端积分应取“+”号；当左端有向曲面取下侧时，右端积分应取“-”号； 设有向曲面由方程给出，在面上的投影区域为，则有当左端有向曲面取右侧时，右端积分应取“+”号；当左端有向曲面取左侧时，右端积分应取“-”号； 设有向曲面由方程给出，在面上的投影区域为，则当左端有向曲面取前侧时，右端积分应取“+”号；当左端有向曲面取后侧时，右端积分应取“-”号；（2） 由=可先求出有向曲面的单位法矢量，求出，再按第一型曲面积分的计算方法化为一个二重积分求之。（）两类曲面积分的联系= 其中是有向曲面在点处的单位法线矢量。 （）高斯（Gauss）公式 设函数、在空间有界闭区域上有一阶连续偏

9、导数，是的分片光滑边界曲面外侧，则有= （） 斯托克斯(Stokes)公式 设有向分段光滑闭曲线L是有向曲面的边界，且L的方向与的法矢量符合右手法则，函数在（包括边界）上有连续偏导数，则= （）空间曲线积分与路径无关的条件设是空间单连通域，函数在内有一阶连续偏导数，则下列四条件互相等价：（1）在内每点（2）对内任一分段光滑曲线L，有与路径无关，只与L的起点和终点有关。（3）对内任何分段光滑闭曲线L，有=0（4）在内存在，使，且，其中为内任意一定点,C为任意常数。*5、场论初步 （）梯度、散度、旋度(1) 数量场的梯度设函数（数量场）具有一阶连续偏导数，则称矢量 为数量场的梯度。称 为Hamil

10、tion算子（读作“nable”）。（2）矢量场的散度与旋度 设矢量场的各分量有一阶连续偏导数，则称数量为矢量场的散度。称矢量为矢量场的旋度。（）高斯（Gauss）公式、斯托克斯(Stokes)公式的矢量形式（1）高斯公式 ，其中的各分量在空间闭区域上有一阶连续偏导数，是的边界曲面外侧。（2）斯托克斯公式 。其中有向曲线L是有向曲面的边界且L的方向与的法矢量方向符合右手法则，的分量在上有一阶连续偏导数。（）几个重要的场（1）有势场：设为空间区域内的矢量场。若在内存在数量函数，使，则称为有势场或梯度场，且称为矢量场的势函数。若矢量场的旋度为零，即，则称为无旋场。若在内曲线积分只与曲线L的起点和终

11、点有关，而与路径无关，则称矢量场为保守场。定理：设是空间单连通域，的分量在内有一阶连续偏导数，则以下五个条件互相等价：10 为无旋场；20 为保守场；30 ，其中L是内任意逐段光滑闭曲线；40 为有势场，即存在势函数，使；50 是某函数的全微分，即存在原函数，使。其中40、50的势函数（原函数）的表达式为，其中是内任意取定的一点，C为任意常数。（2）管形场：若矢量场的散度恒为0，即，则称矢量场为无源场或管形场。（3）调和场： 若矢量场既是有势场又是管形场，即存在势函数使 且，则称矢量场为调和场。定理：调和场的势函数满足拉普拉斯（Laplace）方程，即，其中称为拉普拉斯算子。四 、思考题 1、

12、两类曲线积分间有什么关系？2、对坐标的曲线积分值与哪些因素有关？3、何谓曲线积分与路径无关？何谓曲线积分与积分路径的方向无关？它们各适用于什么情形？4、曲线积分与路径无关的条件是什么？表达式在G内为某二元函的全微分的充要条件又是什么？通过此题的思考应明确，若在单连通域G内具有一阶连续偏导数，则以下四个结论等价：（1）在G内恒成立。（2）对G内任一闭曲线C ，有（3）对G内任一曲线L积分与路径无关，只与L的起终点有关。（4）是某二元函数全微分，即：5、怎样利用曲线积分计算平面闭曲线所围成的面积？6、怎样利用曲线积分计算变力沿着AB弧段所作的功？7、试识别下列符号各代表什么积分（1） （2）（3）

13、 （4）8、两类曲面积分的概念与计算法有何异同？9、有向曲面在坐标面上投影的符号是如何规定的？把对坐标的曲面积分化为二重积分时，如何根据曲面的侧正确选取计算公式中的符号？10、判断下列计算是否正确（均为的外侧）(1)=(2)= =011、能否利用高斯公式证明由光滑闭曲面所围成立体的体积12、 斯托克斯公式与格林公式有什么联系？五 、典型例题分析例1 计算，其中L为圆周直线及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界。分析 此题为对弧长的曲线积分。对弧长的曲线积分常按下列步骤进行。（1）写出积分弧段方程并确定积分变量及积分变量的变化范围。（2）计算出相应弧长元素（3）将曲线积分化为定积分。（4）算出

14、结果。不过在计算中以上四个步骤不一定严格区分和明显写出。此题的积分弧段为分段光滑曲线，所以在作曲线积分时，要分段进行。解 的方程为，的方程为，所以=小结 （1）对弧长的曲线积分可化为对某个变量的定积分，选择不同的积分变量其计算结果应相同。（2）弧长的曲线积分与积分弧段的方向无关，化为定积分时必须使上限大于下限。（3）此题计算沿段的曲线积分，化成定积分时只能选x为积分变量化成对x的 定积分，不能选y为积分变量，因在上点的纵坐标y未变，只是点的横标x在变。而计算沿的曲线积分时，也可以化成关于变量x或者y的定积分，只是化成对参变量的定积分来得方便。同理，求沿段的曲线积分当然也可选取y为积分变量。例2

15、 计算，其中为对数螺线在圆内的部分。分析 这是对弧长的曲线积分。积分弧段是由极坐标方程给定的，而极坐标下的弧长元素，自然应选极角为积分变量，化成对的定积分。但变化范围题目未明显给出，需要通过对题目条件的研究把的变化范围确定出来。因()的定义域是一切实数，且其为单调函数，当时，所以当曲线在圆内时解 =例3 计算其中c为圆周与所截。分析 此题的积分弧段为空间曲线。计算空间曲线的曲线积分，需要将空间曲线的一般方程化为参数方程，然后将曲线积分化成对参变量的定积分。而要将此空间曲线的一般方程化成参数方程却较难，怎么办呢？从积分弧段看，变量具有对称性，若能设法使被积函数关于变量也具有对称性的话，问题就易解

16、决了，积分曲线c满足，可联想到利用对称性将被积函数化为的形式。解 因曲线具有轮换对称性，即以x换y，y换z，z换x方程不变，或则，。由第I型曲线积分定义，积分表示函数第1坐标的平方在c上的积分，在曲线c上任取作即为。又因对每个，有，故又有，而且右端又为，于是。同理，于是，c的弧长为注 我们还可算出说明 在利用对称性作题时千万注意，要被积函数及积分弧段对变量同时具有对称性时才能用，否则要出错误。例4 计算下列三个小题 （1）（2）（3），其中c是由曲线及x轴所围成的正向三角形回路分析 这是对坐标的曲线积分,计算对坐标的曲线积分,如同计算对弧长的曲线积分一样,关键仍在于把曲线积分化为定积分。但对坐

17、标的曲线积分的弧段是有向曲线,因此在确定定积分的积分限时必须使积分下限对应于积分弧段的起点,上限对应于积分弧段的终点。此时定积分的上限就不一定大于下限了。（1）解法1 化成关于x的定积分所以:解法2 化成关于y的定积分解法3 利用格林公式，此时，（2）解 由格林公式：（3）解 因在整个面内恒成立，由曲线积分与路径无关的条件可知：说明 对坐标的曲线积分常常应该考虑是否满足格林公式的条件和积分与路径无关的条件，以简化计算。例5 求，其中为球面三角形围线的正向。分析 这是空间对坐标的组合曲线积分，积分曲线是分段光滑的，分别是球面与三坐标面的交线。由被积表达式及积分路径的对称性，计算此线积分并不困难。

18、解 ， L 由曲线积分的性质及对称性原积分而L1的参数方程为：所以原积分=例6 计算，其中积分路径c为，从原点经至解法1 选t为积分变量，积分弧段的参数方程为：所以解法2 补充弧段，使积分路径封闭，利用格林公式，因而，所以解法3 因所以积分与路径无关故：其它还可选x为积分变量，选y为积分变量等，而解法3最简便。例7 计算曲线积分，其中L为从0(0,0)到A()沿的一段弧。分析 此题直接计算较困难，若加一辅助曲线使积分弧段成为封闭曲线,从而可利用格林公式,当然所取辅助曲线应力求简便。就本题而言,在坐标轴上，沿作线积分最方便，所以选为辅助曲线最好。解 所以 =说明 在格林公式中曲线积分路径是取正向

19、边界曲线的,而本题加段后是沿负向的，故二重积分号前应加一负号。例8 计算其中L是由所围成的区域D的边界,L的方向为顺时针。分析 ,，当时，但在D内含有破坏函数及连续性条件的奇点O（0，0），沿此闭曲线L的线积分并不为0。 那么，该如何计算呢？如果用直接计算法计算沿抛物线弧段的积分很困难，所以考虑利用格林公式来计算。以点O（0，0）为中心作单位圆C，C取逆时针方向。在以L及C为边界的区域D1内，格林公式成立，故可用格林公式。 解 单位圆C的方程为 所以 =+= 故注 如在上述题中，被积函数改为，则作法类似。不过此时不能取单位圆C（事实上此题也不必仅取单位元，而可任取一半径为r 的圆：x=rcos

20、,只要让其包围在曲线L内即可）。而应取椭圆使其含于L内即可，于是，。读者可以借此举一反三。可看到此类题由于满足条件，我们将之转化为围绕圆点的一简单曲线积分，至于所围曲线为任一光滑或分段光滑曲线都是一样的。小结 （1）在使用线积分与路径无关的条件时，D为单连通域的条件不能忽视。（2）在使用格林公式时，要求在D内有连续的偏导数，否则不能使用，要使用需创造条件。例9 计算，其中C为任一条不过圆点的简单闭曲线。解 由例8，故 如C不包围圆点 ，则（格林公式或积分与路径无关）如C包围圆点，则如例8作法有=（其中当C沿逆时针方向时为正，沿顺时针方向时为负）例10 设曲线积分与积分路径无关，由方程所确定的隐

21、函数的图形过点（1，2），求方程。分析 由曲线积分与路径无关的条件，可得等式,根据此等式要来求方程，即求方程所确定的一元隐函数。而正是隐函数y的导数，解此方程，即可得所求。解 ,由 得 而 ，解得 即 由条件,得故所求方程为例11 选取使为函数的全微分，并求函数分析 若在单连通域G内具有一阶连续偏导数，表达式是某函数的全微分的充要条件是。利用此条件，可确定，此时，曲线积分与积分路径无关，可选取平行于坐标轴的折线段作为积分路径，从而求出解 由，得a=1,b=0，此时，因在面内除点（0，0）外处处成立，故在面内除点（0，0）外，积分与路径无关。因此，积分路径起点不能取在原点，路径也不能过原点。=例

22、12 设有一平面力场，求一质点沿曲线L从点（0，0）移动到点（，1）所作的功，其中L为抛物线分析 此题是求变力沿有向曲线弧所作的功，利用公式W=，即可求出。解 W= 因为 ，所以积分与路径无关。取为从（0，0）至（，0）的直线段，为从（，0）至（，1）的直线段，则 W= =0+ 另外，此题选取由点（0，0）到点（，1）的直线段为积分路径也可以。例13 计算，其中为立体的表面。解 由两部分和组成，是在上的圆，是圆锥体的侧面， 与在面上的投影区域为。在上，;在 上，,，从而=例14 计算，其中为上半球面。分析 积分曲面既关于面对称，又关于面对称，这时曲面积分=0，所以原积分等于解 由对称性知，在面

23、的投影区域为。在上，,从而=例15 计算，其中为圆柱面及平面,所围成的空间立体的表面。分析 由三部分、组成，故应分片进行积分。解 =+是圆柱面上介于和二平面之间的部分，是平面被圆柱面所截的部分,是上的圆。和在面上的投影区域为：。在上，在上,。从而 =y 对于在上的积分，有些同学往往不知如何投影，甚至误以为圆柱面在面的投影为0，从而得出=0的错误结果。其实，积分曲面在某个坐标面的投影仅为一曲线，而不构成一个区域时，并不能断定这个对面积的曲面积分为零。这时，应将曲面改投到其它坐标面上，并化为相应的二重积分来计算。在本题中，可将投影到面，投影区域为梯形域（如图）： -1 0 1 而且，曲面又由两部分

24、和组成。在上，；在上，,均有，从而=+ =2=所以=当然，亦可将投影到面作计算，但这时计算稍繁。例16 计算，其中为柱面上及 的部分，它的法线与轴正向交成锐角；为平面上,的 部分，其法线方向朝下。分析 此题为对坐标的曲面积分，可用两种方法计算。（1）直接计算。为柱面，在面的投影为0，面，在该面上的投影亦为0，故有，于是只需计算和（2）利用高斯公式，需补加平面:与:解法1 ， 在面的投影域：，且由两部分和组成: :，取右侧；:,取左侧。 在面的投影域：,故=+=2， =所以=Z解法2 补曲面:,取后侧；:,取上侧。与、构成封闭曲面，并取外侧（图） 1 0 Y a X ,利用高斯公式得原式= =小

25、结 由本题的计算说明（1）添“底”、加“盖”是应用高斯公式计算曲面积分时常用的一种技巧。但另一方面，利用高斯公式并非一定简便，这要视题目的具体形式、补加曲面的多少及计算的难易程度。对本题直接计算并不复杂。（2）计算时应注意区分左右曲面本身的符号（: ;:）与化为二重积分是由曲面的侧所决定的符号（左侧取“-”号，右侧取“+”号），决不可忽视二者而误得=+=0（3） 与例3相比，求对坐标的曲面积分时，积分曲面不可任意投影。若是对坐标 的曲面积分，只可将投影到面上去，若投影为0，则积分必为0。例17 计算，其中为球面的外侧。分析 积分曲面为封闭曲面，利用高斯公式较为方便。另外，从被积表达式及积分曲面

26、的形式可知，此积分具有轮换对称性，故亦可利用此性质简化计算。解法1 原式=解法2 原式=3(+)=小结 在利用高斯公式计算曲面积分时应注意：对曲面积分，被积函数中三个变量 沿积分曲面而变，三者之间的关系受积分曲面的制约，符合曲面的方程。而一旦化为三重积分,被积函数中的变化就成为相互独立的，它们之间并不完全符合积分曲面的方程，因此决不可把两种积分的计算法混为一谈，将代入三重积分的被积函数中，得出下面错误的结果： 原式=例18 计算，其中，S为球面的外侧。分析 本题可像例17利用轮换对称性简化计算，也可直接利用高斯公式。但若利用高斯公式之前，先利用积分曲面的方程将以替代，会使问题更为简捷。解 = = =例19 计算，其中是曲线绕轴旋转而成的旋转曲面的外侧。分析 直接计算不仅要分别投影，还要分片，极为不便。若补加平面：，并取右侧，即构成封闭曲面（见图），便可利用高斯公式，且。y又在面和