正余弦定理练习题含答案

1、正弦定理1.在ABC 中,Z A= 45 ZB = 60a = 2,b 等于 （）A. 6B. 2C/.3D. 2 ,62. 在 ABC 中，已知 a= 8, B= 60 C= 75 贝 U b 等于（）A . 4 2B . 4,3C . 4.6D.詈3.在 ABC中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, A = 60 a = 3, b = 4 返，则角 B 为（）A . 45。或 135 B . 135 C . 45 D .以上答案都不对4. 在 ABC 中，a : b : c= 1 : 5 : 6，贝 U sinA : sinB : sinC 等于（）A . 1 : 5: 6B. 6

2、 : 5 : 1C. 6: 1 : 5D .不确定解析：选 A.由正弦定理知 sinA : sinB : sinC= a : b : c= 1 : 5 : 6.5. 在 ABC 中，a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边，若 A= 105 B = 45 b = 2,贝 U c=（）1 1A . 1B.2C. 2D.46. 在 ABC 中，若cOsA=-，则 ABC 是（）cos B aA .等腰三角形B .等边三角形 C .直角三角形D .等腰三角形或直角三角形7. 已知 ABC 中，AB=（3, AC= 1,Z B = 30 则厶 ABC 的面积为（）A岭B 严C.舟或 3D.f

3、 或申& ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c 若 c=, 2, b = 6,B=120 贝 U a 等于（）A. 6B. 2C/.3D. . 29._在 ABC中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 a= 1, c= .3, C=才贝卩 A =_.10. 在 ABC 中，已知 a=竽,b = 4 , A = 30 则 sinB =_.11 .在 ABC 中，已知 Z A = 30 , Z B = 120 b = 12 ,贝 U a+ c=_.12 .在 ABC 中，a = 2bcosC ,则厶 ABC 的形状为_.13 .在 ABC 中，A = 60 a =

4、6 3 , b = 12 ,ABC=18,3,则a+ b + csinA+ si nB+ sinC,c=_14.已知 ABC 中，Z A : Z B : Z C= 1 : 2 : 3 ,a 2b+ csin A 2si n B+ sin CA15._在 ABC 中， 已知 a=3 .2 , cOsC = 3 ,SABC=4 3 ,贝 U b=_.16 .在 ABC 中，b =4曲,C = 30 c = 2,则此三角形有_组解.17.如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角（指从正北方向航行半小时后船到达 C 点，观测灯塔 A 的方位角是 65则货轮到达 C 点时，与灯塔 A 的距

5、离是多少?18.在 ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若 a =23 , sinCcosC =丁, sin Bsin C= coWA ,求 A、 B 及 b、c.19.（2009 年高考四川卷）在厶 ABC 中，A、B 为锐角，角A、B、C 所对应的边分别为a、b、c,且 cos 2A310=5, sin B =肓.（1）求 A+ B 的值；（2）若 a b= 2 1,求 a , b , c 的值.20.A ABC 中，ab = 60 3 , sin B= sin C , ABC 的面积为 15 3,求边 b 的长.正弦定理源网11.在 ABC 中，如果 BC= 6, AB

6、 = 4, cosB = 3，那么 AC 等于（）6.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .由增加的长度决定7.已知锐角三角形ABC 中，|AB|= 4, |AC|= 1 , ABC 的面积为，3,则 AB AC 的值为（）A . 2B. 2C. 4D. 4&在ABC 中，b =逅，c= 3,B = 30贝 U a 为（）A.3B. 2,3C. 3 或 2 3D . 29._已知 ABC 的三个内角满足 2B = A+ C,且 AB = 1, BC = 4,则边 BC 上的中线 AD 的长为_.10.A

7、 ABC 中，sinA : sinB : sinC= （ .3 1） : （.3+ 1） : 10，求最大角的度数.11.已知 a、b、c 是厶 ABC 的三边，S 是厶 ABC 的面积，若 a = 4, b = 5, S= 5 衍，则边 c 的值为_12._在 ABC 中，sin A : sin B :sin C= 2 : 3 : 4,贝 V cos A : cos B : cos C=_.113._在 ABC 中，a = 3 2, cos C= 3, SABC= 4 3,则 b=_.314 .已知 ABC 的三边长分别为 AB = 7, BC = 5, AC = 6，则 AB BC 的值为

8、_.2r22a + b c15.已知 ABC 的三边长分别是 a、b、c,且面积 S=，则角 C=_.416.（2011 年广州调研）三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为_.17.在 ABC 中，BC= a, AC = b, a, b 是方程 x2 2 3x+ 2 = 0 的两根，且 2cos（A+ B）= 1,求 AB 的长.余弦定理A . 62 .在 ABC 中,A. 33. 在 ABC 中,A . 60 4.在 ABC 中,nA6B. 2 6C. 3 6D . 4 6a = 2, b/3 1, C= 30 ,则 c 等于（）B/2C.5D. 2a2= b2+ c

9、2+ , 3bc，则/ A 等于（）B . 45C. 120D. 150/ A、/ B、/ C 的对边分别为nB3a、b、c 分别是 A、B. ba、n t、5 n口或C.6 或 6若 （a2+ c2 b2） ta nB =. 3ac,则/ B 的值为 （ n、 .2 nD3 或亍acosB + bcosA 等于（）c,D .以上均不对A18.已知 ABC 的周长为 2 + 1，且 sin A+ sin B = ,2sin C.（1）求边 AB 的长；（2）若厶 ABC 的面积为-sin C, 求角 C 的度数.19.在 ABC 中，BC= 5, AC = 3, sin C= 2sin A.（

10、1）求 AB 的值；（2）求 sin（2A；）的值.20.在 ABC 中，已知（a+ b + c）（a + b c） = 3ab，且 2cos Asin B= sinC,确定 ABC 的形状.正弦定理1.在 ABC 中，/ A= 45 / B = 60 a = 2,贝 U b 等于（）A. 6B. 2C. 3D. 2 6解析：选 A.应用正弦定理得：亠=亠，求得 b=aSn；B= 6.a si nA si nB - sinAC= 75 则 b 等于（C. 4.6asi nBlb= 4 6.si nAva、b、c, A = 60 a = 4 需，b = 4 近，则角 B 为（）45 D .以上答

11、案都不对解析：选 C.由正弦定理 七=县得：sinB =四皿=申，又 ab, B AC ,2/ A= 90或 30解析：选 D.-AB =-AC，求出 sinC = sinCsinB/C 有两解，即/ C= 60或 1201再由&ABC= 2AB ACsinA 可求面积.& ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为A. .6C. 3a、b、c.若B. 2D.窃解析：选 D.由正弦定理得暮=2,si n120 sinC1/ si nC = 一2又 C 为锐角，则 C= 30AA = 30 ABC 为等腰三角形，a= c= ,2.9.在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为a

12、、 b、c=, b = V6, B= 120 贝 U a 等于（）c,若 a= 1, c=;：3, C=3，贝 VA=正弦定理解析：由正弦定理得：a = c si nA sinCAa + c= & , . 3.答案：8 312 .在 ABC 中，a = 2bcosC，则 ABC 的形状为_解析：由正弦定理，得 a= 2R sinA, b = 2R sinB, 代入式子 a= 2bcosC，得2RsinA= 2 2R sinB cosC,所以 sinA = 2sinB cosC,即 sinB cosC + cosB sinC = 2sinB cosC, 化简，整理，得 sin(B C)=

13、 0./ 0 B 180 0 C 180A 180 B C 180 ,AB C = 0 B = C.答案：等腰三角形Ac= 6.答案：126115.在 ABC 中，已知 a= 3 2, cosC = 3,S“BC= 4.3，贝 V b=14.已知 ABC 中，/ A :/ B :/C= 1 : 2 : 3, a = 1a 2b+ c解析： 由/ A :Z B ： / C= 1 :A2R=-=- = 2,si nA sin30又 v a= 2Rsin A, b= 2Rsin B,a2b+ c2 : 3 得，/ A= 30c= 2Rsi n C,2R sinA 2si nB + sin C则 si

14、n A 2sin B+ sin C/ B= 60 / C= 90sin A 2s in B+ sin C答案：2=2R= 2.sin A 2si n B + sin C所以 sinA =a-sin c12.nn又a CAsin30sin120= 3,a+ b + c13.在 ABC 中, A =60a=6 3,b=12, S183 则 sinA+sinB+sinC,c=解析：由正弦定理得a =6晶sinA + sinB + si nC sinA sin60a + b+ c1 1=12,又SAABC= bcsinA,A?X12 sin60 %= 13,解析：依题意，sinC=纟2，SABC= g

15、absinC= 4 3,解得 b= 2 . 3.答案：2 316 .在 ABC 中，b =4, C = 30 c = 2，则此三角形有 解析： bsinC = 43 弓=2 3 且 c= 2, ca + m, c+ mb + m,又(a + m)2+ (b+ m)2 a2+ b2+ 2(a + b)m+ 2m2 c2+ 2cm + m2 (c+ m)2,三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形.7.已知锐角三角形 ABC 中，|AB| 4, |AC|， ABC 的面积为.3，则 AB AC 的值为()A . 2B . 2C . 4D . 4解析：选 ASABC , 3 2|AB| |AC|

16、sinA12 4 X1 0),c 边最长，即角 C 最大.由余弦定理，得a2+ b2 c2_1C0SC=石厂=2，又 C (0 180,. C= 12011.已知 a、 b、 c 是厶 ABC 的三边， S 是厶 ABC 的面积， 若 a= 4, b= 5, S= 5,3， 则边 c 的值为 解析： S= 2absinC, sinC-23，二 C= 60或 120 cosC= 2，又 T c2= a2+ b2 2abcosC, c2= 21 或 61,. c = 21 或 61.答案：.21 或 6112 .在 ABC 中，sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 4,贝

17、 V cos A : cos B : cos C = 解析：由正弦定理 a : b : c= sin A : sin B :sin C= 2 : 3 : 4,设 a = 2k(k0),则 b= 3k, c= 4k,a + C b _ 2k + 4k 3k _ 11cos B=2ac=2X2kX4k=1671同理可得：cos A=7, cos C= ,84 cos A : cos B : cos C = 14 : 11 : ( 4).答案：14 : 11 : ( 4)113.在 ABC 中，a = 3.2, cos C = 3,SAABC= 4 3,贝 V b=_.解析： cos C=1, si

18、n C = 2.33又SA2absinC= 4 3,即1b 3 .2 年=4 3, b = 2 3.答案：2 314 .已知 ABC 的三边长分别为 AB = 7, BC= 5,AB2+ BC2 AC2cosB =解析：在厶 ABC 中,2AB BCAC= 6,则AB BC的值为_ 49+ 25 362X7 X51935 AB BC= |AB| |BC|-cos B)=7X50 =19.答案：1915 .已知 ABC 的三边长分别是2 |匚221a + b c解析：absi nC = S=a、b、c,且面积2 2 2a + b c ab2ab 2a2+ b2 c2“ -S=4 ，则角 C=2a

19、bcosC, sinC= cosC , tanC= 1 , C= 45 .答案：4516.(2011 年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为_解析：设三边长为 k 1, k, k + 1(k2 k N),所以 sin(2A n = sin 2Acos： cos 2Asin：= 10. k= 3,故三边长分别为2,3,4,答案：817.在 ABC 中，BC= a, AC = b, a, b 是方程 x2 2 . 3x+ 2 = 0 的两根，且 2cos(A+ B)= 1,求 AB 的长. 解： A + B+ C =冗且 2cos(A + B) = 1,1 1c

20、os( C) = 2，即 cosC=2.-又/ a, b 是方程 x2 2 .3x+ 2 = 0 的两根,a + b= 2 3, ab= 2.AB2= AC2+ BC2 2AC BC osC=a2+ b2 2ab( *)=a2+ b2+ ab= (a + b)2 ab=(2 3)2 2= 10, AB=10.18.已知 ABC 的周长为，2+ 1，且 sin A+ sin B=,2sin C.(1)求边 AB 的长；1若 ABC 的面积为 6sin C,求角 C 的度数.解：(1)由题意及正弦定理得AB+ BC + AC = ,2+ 1 , BC + AC= 2AB,两式相减，得AB = 1.

21、1 1 1由 ABC 的面积 BC AC sin C = 6sin C，得 BC AC= 3,由余弦定理得_ AC2+ BC2 AB2 cosC =2AC BCAC + BC2 2AC BC AB212AC BC 2所以 C= 6019.在 ABC 中，BC= .5, AC = 3,22cos 2A= cos A sin A =k2+k-12-k+k-1k+1k+2v 02 v kv4,最小角的余弦值为32+ 42- 22_2 X34=78.得 AB =sinC-爲 ABC=2BC=25sin C= 2sin A.AB = BCsin C sin A所以 sin(2A n = sin 2Aco

22、s： cos 2Asin：= 10.(1) 求 AB 的值；n(2) 求 sin(2A4)的值.解：(1)在厶 ABC 中，由正弦定理在 ABC 中，根据余弦定理，得AB2+ AC2 BC22 需cos A= 2AB AC = 5 ，于是sin A=1 cos2A=从而 sin 2A= 2si n Acos A=35.20.在 ABC 中，已知(a+ b + c)(a + b c) = 3ab，且 2cos Asin B= sinC,确定 ABC 的形状. 解：由正弦定理，得先=C.sin B bsinC c由 2cos Asin B= sin C, 有 cosA = =2sin B 2b又根据余弦定理，得2 2 2 2 2 2b + c ac b + c acos A=，所以羔=:2bc2b 2bc即 c2= b2+ c2 a2,所以 a= b.又因为(a+ b + c)(a + b c) = 3ab,所以(a+ b)2 c2= 3ab，所以 4b2 c2= 3b2, 所以 b= c,所以 a = b= c