函数恒成立问题(端点效应)

1、.函数恒成立专题 01：可求最值型基础知识：（ 1）不等式 f ( x)0在定义域内恒成立，等价于fx min0 ；（2）不等式 f ( x)0在定义域内恒成立，等价于fx max0 。【例 1】【重庆文】若对任意的x 0 ， f ( x) 12 x4 ln x 3x4c2c2 恒成立，求 c 的取值范围。【例 2】函数 f ( x) ( x 1) ln( x 1)kx 1在区间 ( 1,) 上恒有 f ( x)0 ，求 k 可以取到的最大整数。【变式 1】函数 f ( x)2x24x, g(x)a ln x( a0) ，若 f (x)4xg ( x) 恒成立，求 a 的取值范围。【变式 2】

2、【 2012 新课标文】设函数f xexax2 求 f ( x) 的单调区间； 若 a1， k 为整数，且当 x0 时， (xk ) f (x)x10 ，求 k 的最大值。【变式 3】【 2012 新课标理】已知函数f (x) 满足 f ( x) f (1)ex 1f (0) x1 x22 求 f ( x) 的解析式及单调区间； 若 f ( x)1 x2ax b ，求 (a1)b 的值。2'.专题 02：分离变量型基础知识：分离变量的核心思想就是为了简化解题，希望同学通过以下例子有所感悟【例 1】【 2010 天津】函数f ( x) x21 ，对任意x3 , f ( x )4m2 f

3、( x)f ( x 1) 4 f (m) 恒成立，求实数 m 的取值范围。2m【变式 1】【 2010 安徽】若不等式 (aa2 )( x21) x 0 对一切 x0,2 恒成立，求 a 的取值范围。【例 2】若函数 f ( x)x2ax1 在 1 ,上单调递增，求 a 的取值范围。x 2【变式 2】【 2012 湖北】若 f ( x)1 x2b ln( x 2) 在 ( 1,) 上是减函数，求 b 的取值范围。2【变式 3】【 2014 江西】已知函数 f ( x) ( x2bx b) 1 2 x (bR) ，若 f (x) 在区间 (0, 1) 上单调递增，求 b 的取值范围。3'

4、.专题 03：端点与一次函数、二次函数基础知识：（ 1）研究发现，恒成立与区间的端点有很深的渊源。 首先来看一些恒成立的问题，通过这些常见的例子，我们要把函数恒成立问题与端点之间的这一层面纱一点一点揭开。（2）一次函数的恒成立很简单，如果一个问题能转化成一次函数恒成立问题，那就要尽量转化。【例 1】【 2009 北京】若 f (x)xex (k0) 在 ( 1,1) 上单调递增，求 k 的取值范围。引申：我们的习惯思维都是默认字母x 为函数的自变量，而像 a, m,t 这样的字母代表参数，但其实 x,a, m, t 这样的字母只是一个代号而已，是人为赋予了其身份，这意味着自变量和参数的身份并非

5、绝对，若题目需要求解参数的取值范围，在此需要牢记一点：将待求的变量视为参数，不要受惯性思维的限制而非要将 x 视为函数的自变量，这个方法称为“变换主元法”。【例 2】【 2009 福建】已知函数 f (x) x33ax1的导函数为f (x), g( x) f (x) ax 3. 若对满足 1 a 1 的一切 a 的值，都有 g( x)0 ，求实数x 的取值范围。【例 3】【 2008 天津】已知函数f (x) xab xa b R，若对于任意的1,2，不x(0), ,a2等式 f (x)10 在1 ，4 上恒成立，求 b 的取值范围。4【变式】【 2008 安徽】设函数f ( x)a x3 3

6、 x2 (a 1) x 1，其中 a 为实数。3 2 已知函数 f (x) 在 x 1 处取得极值，求 a 的值； 已知 f (x)x2xa1 对任意 a0,恒成立，求实数 x 的取值范围。'.（ 3）对于一次函数或任何单调函数而言，最值必在端点处取得。若函数不单调，那情形又如何呢？设 f ( x)ax2bxc(a 0) 在 ， 上不单调且恒大于零， 那么f ( x) 在 ， b上递减，在b ,上递增，故 f ( x) 的最大值也必然在端点处2a2a取得。所以对于任何一个函数f ( x) 而言，若他在区间上是先减后增，则其最大值必在端点处取得，同理，若函数在区间上先增后减，其最小值必在

7、区间端点处取得，具体表达如下： f (x)ax2bxc(a0) 在 x1, x2f x10,上非正，等价于0;f x2 f (x)ax2bxc(a0) 在 x1, x2f x10,上非负，等价于0;f x2【例 1】已知函数 f ( x)x3ax2bxc 在区间1,0 上单调递减，则 a2b2 的取值范围是_.【例 2】函数 f ( x)1 x3mx23m2 x1 在区间 1,2 上单调递增，则实数 m 的取值范围是 _.3'.专题 04：端点效应基础知识：从前面的例子可以看出，将函数恒正（恒负）等价于在区间端点处恒正（恒负）即可。但那只是针对一小部分题，对于大多数情况来说这是不对的，

8、但这不意味着端点就没有任何作用了。【例 1】已知函数 f ( x)x33( a1) x26ax ，当 a0 时，若函数 f (x) 在区间1,2 上是单调函数，求 a 的取值范围 .【例 2】【 2008 江苏】设函数 f (x)ax 33x 1，若对于 x1,1 总有 f ( x)0 恒成立，则 a=_.说明：在例 1 和例 2 中，都是事先考虑函数在端点的情形，虽然通过端点不能得到最终结果，但例 1 通过端点可以不必考虑单增情形， 例 2 通过端点可以缩小 a 的范围，我们把这种通过端点来缩小参数取值范围的方法称为“端点效应”。函数在端点处的取值有以下三种情形：（ 1）f (x) 在区间

9、a,b的端点f ( a)0,a 和 b 处均有定义且0;f (b)（ ）f (x) 在区间 a,b的端点a或b 处无定义或区间是无限区间a, b ；2（ 3） f (x) 在区间 a,b的端点 a 或 b 处有 f (a) 0 或 f (b)0 。一、端点处的取值有意义且不为0【例 1】【 2008 天津】设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时， f ( x)x2 ，若对任意的x t, t2 ，不等式 f ( x t ) 2 f (x) 恒成立，则 t 的取值范围是（）A.2,B.2,C.0,2D.2,12,'.【例 2】若 f ( x) ax2(3 a) x 2 a

10、0在 0,1上恒成立，则实数a 的取值范围是 _【变式 1】【 2013 全国卷】已知函数f ( x) x33ax 23x 1，当 x2,时， f ( x) 0 ，求 a的取值范围。【变式 2】【 2012 江西】已知函数 f ( x)ax 2( a 1) x 1 ex 在 0,1 上单调递减， 求 a 的取值范围。【变式 3】【 2010 天津】已知函数 f ( x) ax33 x 2 1, a 0 ，若在区间1 , 1上 f ( x)0 恒222成立，求 a 的取值范围。二、端点处的取值没有意义且趋于无穷f ( x)ln x 的定义域是0,，且当 x 趋于 0 时，f ( x)ln x 趋

11、于负无穷，当 x 趋于时，f ( x)ln x 趋于正无穷， 为了后面方便表述， 记 f (0), f ()。然后不管函数f ( x) 在区间的端点 a 处有没有意义，也不管 a 是否为无穷，我们均记 f (a) 为当 x 趋于 a 时 f ( x) 的值。这样的记法为了后面的叙述。【例 1】【 2012 新课标】当 0 x1 时， 4xlog a x ，则 a 的取值范围是（）2A. 0,2B.2 ,1C.1, 2D. 2,222【例 2】函数 f ( x)a ln x1x2(1 a) x( x0) ，若 f ( x)0 对定义域内任意 x 恒成立，求实数2a 的取值范围。【例 3】【 20

12、12天津】函数 f ( x) x1 , x1, f (mx) mf ( x) 0 恒成立，则实数 m 的取值范围是 _.x【例 4】【 2013新课标】设函数 f (x)x24x2, g(x) 2ex ( x 1) ，若 x2 时，f ( x) kg(x) ，求 k 的取值范围。'.【例 5】【 2009 江西】已知函数f (x)2mx22(4m) x1, g( x)mx ，若对于任一实数x ，f ( x) 与 g (x) 的值至少有一个为正，则m 的取值范围是 _.【变式 1】不等式log a ( x22x 3)1(x2) 恒成立，则实数 a 的取值范围是（）A. 0,1B. 1,1

13、C. 1,3D. 3,33x1 ，【变式 2】【 2011 北京】设函数 f ( x)( xk) 2 ek ，若对于任意的 x 0,，都有 f (x)e求实数 k 的取值范围。【变式 3】【 2014 江苏】已知函数f ( x)exe x ，其中 e 是自然对数的底数， 若关于 x 的不等式 mf ( x)e xm1在 0,上恒成立，求实数m 的取值范围。【变式 4】【 2012 北京文】已知 f (x) m(x 2m)( x m 3), g( x)2x2 ，若 x R, f ( x)0 或g( x) 0 ，则 m 的取值范围是 _.【变式 5】【 2012 北京理】已知 f (x)m(x 2

14、m)( x m3), g( x) 2x2 ，若同时满足（ 1）x R, f ( x) 0 或 g( x) 0；（ 2） x, 4 , f ( x)g (x)0 ，则 m 的取值范围是 _.'.三、端点处的取值为0（ 1）若多项式函数 f ( x) 满足 f (a) 0，则 f ( x) 一定可以分解成 f ( x) ( x a) g( x) 这种形式，其中 g (x) 也为多项式函数。【例 1】【 2009 全国卷】已知 f (x) 3ax42(3a 1) x24x 在 1,1 上是增函数， 求 a 的取值范围。【例 2】【 2012 浙江理】设 aR ，若 x0 时均有 ( a1)

15、x1 ( x2ax1)0 ，则 a_.【例 3】【 2009 天津】已知 f ( x)1 x3x2(m21) x, m 0, f ( x) 0 有三个不同的实根，分3别为 0, x1, x2 ( x1 x2 ) 若对任意的 xx1 , x2, f ( x)f (1) 恒成立，求 m 的取值范围。【变式 1】【 2008 全国卷】设函数 f ( x)ax33x2 ，若 g(x)f ( x) f ( x)(0 x 2) 在 x0 处取得最大值，求 a 的取值范围。【变式 2】【 2011 湖北】已知 x33x22xmx 有三个不同的实根，分别为 0, x1 , x2 ( x1x2 ) ，且对任意的

16、 x x1, x2 ， x33x 22xm( x1) 恒成立，求实数 m 的取值范围。注意：若多项式函数有明显的根，分解因式能够将函数降次， 特别是形如f ( x)ax3bx2cx的多项式函数， 是高考中的常见情形， 它可以分解成f ( x)x(ax 2bxc) ，需掌握此多项式。'.（ 2）若高考试题中出现的恒成立问题中的函数不是多项式， 这些函数虽然在端点处的值为零，但不能将它们分解，对此需用以下知识点： f (x)0在 a,b上恒成立，若 f (a)0 ，则 f(a)0 ；若 f (b)0 ，则 f (b)0 f (x)0 在 a,b上恒成立，若 f (a)0 ，则 f(a)0

17、；若 f (b)0 ，则 f (b)0特别提醒：这里的结论只是必要条件，不一定是充分条件。【例 1】【 2007 全国理】已知函数 f ( x)exe x 证明： f (x) 的导数 f ( x)2； 若对所有 x0 都有 f (x)ax ，求 a 的取值范围。【例 2】【 2008 全国文】已知函数 f ( x)x(ex 1)ax 2 若 a1 ，求 f (x) 的单调区间；2 若 x0 时， f (x) 0，求 a 的取值范围。【例 3】【 2008 全国理】已知函数 f ( x)sin x2cos x 求 f( x) 的单调区间； 如果对任何 x0 时，都有 f (x)ax ，求 a 的

18、取值范围。【例 4】【 2010 新课标理】已知函数 f ( x)ex1 xax2 若 a0 ，求 f( x) 的单调区间； 若 x0 时， f(x) 0，求 a 的取值范围。【例 5】【 2013 全国理】 已知函数 f (x) ln(1x(1x)x)x1 若 x 0 时， f (x) 0，求的最小值； 设数列 an 的通项 an1111 ，证明： a2n an1ln 2 。23n4n'.【例 6】【 2014 全国理】已知函数f ( x)exe x 2x . 讨论 f ( x) 的单调性； 设 g( x) f (2 x)4bf ( x) ，当 x0时， g (x)0，求 b 的最大值； 已知 1.41422