WJF8-5线性微分方程的性质与解的结构课件

1、WJF8-5线性微分方程的性质与解的结构 8.5 8.5 线性微分方程线性微分方程 解的性质与解的结构解的性质与解的结构线性微分方程概念线性微分方程概念线性齐次方程解的性质线性齐次方程解的性质线性非齐次方程解的结构线性非齐次方程解的结构小结小结WJF8-5线性微分方程的性质与解的结构它的一般形式为：它的一般形式为： 的连续函数的连续函数)(, )(, )(1xfxpxpnx其中其中都是都是0)( xf若若则方程则方程 一、线性微分方程一、线性微分方程称为称为 阶线性齐次方程。阶线性齐次方程。n)()()()(1)1(1)(xfyxpyxpyxpynnnn 0)()()(1)1(1)( yxpy

2、xpyxpynnnn线性微分方程。线性微分方程。n一一 阶微分方程，如果方程中出现的未知函数及未阶微分方程，如果方程中出现的未知函数及未知函数的各阶导数都是一次的，这个方程称为知函数的各阶导数都是一次的，这个方程称为 阶阶n)()()(xfyxQyxPy 时，时，当当0)( xf二阶线性齐次微分方程；二阶线性齐次微分方程；时，时，当当0)( xf二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程. .二阶线性微分方程二阶线性微分方程WJF8-5线性微分方程的性质与解的结构二、线性齐次微分方程解的结构二、线性齐次微分方程解的结构)1(0)()( yxQyxPy0111 QyyPy0222 QyyPy2

3、211ycycy )()()(221122112211ycycQycycPycyc 0)()(2222111 QyyPycQyyPyc证证 由假设有由假设有 将将 代入代入(1)(1)，有，有 问题问题: :一定是通解吗？一定是通解吗？2211yCyCy WJF8-5线性微分方程的性质与解的结构,)(),(21一一个个的的常常数数倍倍中中的的任任意意一一个个都都不不是是另另如如果果xyxy,)()(,)()(2121线线性性无无关关与与则则称称不不恒恒等等于于非非零零常常数数即即xyxyxyxy线性相关。线性相关。与与否则称否则称)()(21xyxy都都是是方方程程如如xxeyey2,21 但

4、但是是的的解解,0 yy实际上只含有一个任意实际上只含有一个任意xeCCyCyCy)2(212211 ,221CCC 常数常数也就是说也就是说不是二阶方程的通解不是二阶方程的通解所以所以,y.,其其组组合合才才能能构构成成通通解解满满足足一一定定条条件件二二阶阶方方程程的的两两个个解解必必须须),(1xy)(2xy定理定理8.2 如果如果是方程是方程(1)的两个线性无关的解的两个线性无关的解, 如如.0的两个线性无关解的两个线性无关解 yy是方程是方程和和xyxysincos21 .)1(特特解解称称为为基基解解组组的的任任何何两两个个线线性性无无关关的的方方程程WJF8-5线性微分方程的性质

5、与解的结构三、线性非齐次微分方程解的结构三、线性非齐次微分方程解的结构证证 0)()(222 yxQyxPy且且)()()(111xfyxQyxPy 因因为为YxQYxPY)()( 则则的一个特解的一个特解,)(2xy是对应的齐次方程是对应的齐次方程(1)的通解的通解, 那么那么)()(21xyxyY 是方程是方程(2)的通解的通解. 定理定理8.38.3 设设)(1xy是二阶非齐次线性方程是二阶非齐次线性方程)2()()()(xfyxQyxPy )()()(212121yyxQyyxPyy )()()()()(222111xfyxQyxPyyxQyxPy 在在的的通通解解是是方方程程又又因因

6、的的解解是是方方程程因因此此,)1(.)2(221yyy .,21是非齐次方程的通解是非齐次方程的通解故故其中含有两个任意常数其中含有两个任意常数yy WJF8-5线性微分方程的性质与解的结构分分别别是是方方程程与与则则的的解解)()(,21xyxy)()()(121xfyxpyxpy )()()(221xfyxpyxpy 的解的解. .定理定理8.48.4 如果如果 是方程是方程)(i)()(21xyxyxy )(i)()()(2121xfxfyxpyxpy )(1xy)(2xy定理定理8.58.5（叠加原理）（叠加原理） 设设与与分别是方程分别是方程 )()()(1xfyxQyxPy 和和 )()()(2xfyxQyxPy 的解的解, , 则则)()(21xyxy