函数有三个零点与导数

1、.函数有三个零点与导数解决方法 ：一、能分离参数，则分离参数，数形结合若直线与函数图象有三个交点，则函数有极大值与极小值，直线应在两个极值点所对应的点之间平移。即： g(x) 极小 参数 g(x) 极大 。二、不能分离参数，则利用f(x)极小 0， f(x)极大 0 求解， 如图。1. 若函数 f （ x） =x3 -3x+a 有三个不同的零点，求实数a 的取值范围解：方法： 分离参数，数形结合法由 f （ x） =x3-3x+a=0 得： a=-x 3+3x， 令 y=a， y=-x 3+3x,f （ x） =x3 -3x+a 有三个不同的零点，等价于 y=a 与 g(x)= -x 3+3x

2、 有三个交点，对于函数 y=-x 3+3x，由 g (x) =-3x 2+3=0，得 x=± 1，当 x -1 或 x1 时， g(x) 0， g(x)= -x 3+3x 在（ - ， -1 ）和（ 1， +）上是减函数；当 -1 x 1 时， g (x) 0， g(x)= -x 3+3x 在（ -1 ，1）上是增函数， g(x) 极小 = g(1)=-2； g(x)极大 = g(-1)=2. y=a 与 g(x)= -x 3+3x 有三个交点， -2 a 2，故 a 的取值范围是（ -2 ， 2）方法： f(x) 极小 0， f(x) 极大 0由 f （ x） =x3-3x+a 有

3、三个不同的零点，则f （ x）有两个极值点，极小值小于0，极大值大于0；由 f （ x） =3x2-3=3 （ x+1）（ x-1 ） =0，解得 x1 =1， x 2=-1 ，所以函数 f （ x ）的两个极值点，x（ - ， -1 ）， f （ x） 0， x（ -1 ， 1）， f （ x ） 0， x（ 1， +）， f （ x ） 0， f （ x ）的极小值 f （ 1） =a-2 和极大值 f （ -1 ） =a+2a0因为 f （ x） =x 3-3x+a2有三个不同的零点，所以，解之，得 -2 a 2故 a 的取值范围是（-2 ， 2）a202已知函数 f （ x） =1x2

4、-4x+3lnx+m有且只有三个不同的零点，求实数m的取值范围2;.解： f （ x） = 1 x 2-4x+3lnx+m ，f（x） x 43x24 x2xx f （ x ）在（ 0， 1）上是增函数，在（1， 3）上是减函数，在（ x=1 是 f （x）的极大值点，x=3 是 f （ x）的极小值点。3(x1) (x3)，x3， +）上是增函数；又 f （ 1） = 1-4+m=m- 7， f （ 3） = 9-12+3ln3+m=m+3ln3- 15 ， lim （f x），lim f（x），2222x0x函数 f （ x） = 1 x 2-4x+3lnx+m 有且只有三个不同的零点，等

5、价于f （ 1） = 1-4+m=m- 7 0 且 f （ 3）222= 9 -12+3ln3+m=m+3ln3-15 0， 7 m 15 -3ln3 m的取值范围为（7 ，15）2222223（ 2016?东湖区月考）已知函数f （ x）=x2- （ a+2） x+alnx ，其中常数a 0（ 1）当 a 2 时，求函数 f （ x）的单调递增区间；（ 2）当 a=4 时，若函数 y=f （ x） -m 有三个 不同 的零点，求 m的取值范围本题第（ 2）问可以改为：（ 3）当 a=4 时，若函数 y=f （ x） -m 有且只有一个零点，求m的取值范围（ 4）当 a=4 时，若函数 y=f

6、 （ x） -m 有两个不同的零点，求m的取值范围 （此问无解）解：（ 1）由 f （ x） =x 2- （ a+2） x+alnx可知，函数的定义域为x|x 0 ，且 f x 2x a 2a 2 x2a2 x a (2 x a )( x1) ， a 2， a 1xxx2当 0 x 1 或 x a2时， f （ x） 0；当 1 x a 时， f （ x ） 0，2 f （ x ）的单调递增区间为(0，1)，(a， +)2（ 2）当 a=4 时， f x 2(x1)( x 2) 当 x 变化时， f （ x ）， f （ x ）的变化情况如下表：xx（0，1）1（1，2）2（2，+）f （ x

7、）+0-0+f （x ）单调递增f （x）取极大值单调递减f （x）取极小值单调递增 f(x)极大值 f(1) 12 - 6×1+4ln1 - 5， f(x)极小值 f(2)22- 6×2+4ln2 4ln2-8 函数 f （ x）的图象大致如下：若函数y=f （ x ） -m 有三个不同的零点，则 m（ 4ln2-8 ，-5 ）;.4已知 a 0，函数 f （ x）=ax2 -2ax+2lnx ， g（ x） =f （ x） -2x （）当a=1 时，求曲线y=f （ x）在点（ 1， f （ 1）处的切线方程；（）讨论g（x）的单调性；（）当a 1 时，若函数h（ x）

8、 =g（ x）+5+ 1 有三个不同的零点，求实数a 的取值范围a;.5 （ 2015?连云港三模） 函数 f （ x） =ax-x 2（ a1）有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是解：先画草图大致分析一下：令 y= ax （ a 1） ,y=x 2, 在同一坐标系中画出它们的图象，当 x 0 时，显然它们的图象，有一个交点，即 f （ x） =ax-x 2 （ a 1）有一个零点。当 x 0 时， 由 ax-x 2=0，可得 ax=x 2， xlna=2lnx ， ln a2ln x，x令2lnx22ln xx，则 h（x）x2=0，可得 x=e ，h（x） h(x) 在（ 0， e）上

9、单调增，在（ e， +）上单调减， h（ x ） max =h（ e） = 2 ，e又 x 0时， 2lnx； x +时， 2lnx0 ，当 0 lna 2xx与 （hx） 2lnx，即当e 时， y=lna(x 0) 有两个不同的交点，2e1 aex2ln x即 ln a有两个不同的解，x2当 1 a ee 时， f （ x） =ax -x2（ a 1， x0）有两个不同的零点。又 x 0 时，必有一个交点，2 1 a ee 时，函数f （ x ） =ax -x 2（ a 1）有三个不同的零点，2故答案为： 1 a ee （ ）2 xa， x0有三个不同的零点，求实数a 的范围6 （ 201

10、5?海淀区一模） 已知函数 f xx23ax， a x0解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x= 3a ，最多两个零点，2;.如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x 轴相交，由指数函数过点（0， 1），故需下移至多 1 个单位，故0 a 1，还需保证抛物线与x 轴由两个交点，故最低点4 1 a(3a )2 0，41解得 a 0 或 a 4 ，9综合可得 4 a 1，9a 的取值范围为：4 a 1。9（ ）2xa ，x0a 的取值范围3有三个不同零点，求实数7 已知函数 f xlnx 2x a，x0解： 当 x 0 时， f （ x） =lnx-2x+a，则 f （ x） = 112x ，由 f （ x） 0得 0 x 1，此时函数单调递增，x - 2x2由 f （ x） 0 得 x 1 ，此时函数单调递减，2当 x= 1 时，函数取得极大值同时也是最大值f （ 1 ） =ln 1 -1+a ，222当 x 0 时，函数f （ x）=2 x- a 为增函数，3如图：（ ）2xa， x0有三个不同零点，要使 f x =3lnx2 x， 0a xa3010a0f 0113则满足1，即1，即