传热学第四版课后题答案第四章汇总.

1、第四章复习题1、 试简要说明对导热问题进行有限差分数值计算的基本思想与步骤。2、 试说明用热平衡法建立节点温度离散方程的基本思想。3、 推导导热微分方程的步骤和过程与用热平衡法建立节点温度离散方程的过程十分相似，为什么前者得到的是精确描述，而后者解出的确实近似解。4、 第三类边界条件边界节点的离散那方程， 也可用将第三类边界条件表达式中的一阶导数用差分公式表示来建立。 试比较这样建立起来的离散方程与用热平衡建立起来的离散方程的异同与优劣。5对绝热边界条件的数值处理本章采用了哪些方法？试分析比较之6什么是非稳态导热问题的显示格式？什么是显示格式计算中的稳定性问题？7用高斯塞德尔迭代法求解代数方程

2、时是否一定可以得到收敛德解？不能得出收敛的解时是否因为初场的假设不合适而造成？t3tni5t ni1 t ni28有人对一阶导数x n,i2x2你能否判断这一表达式是否正确，为什么？一般性数值计算4-1、采用计算机进行数值计算不仅是求解偏微分方程的有力工具，而且对一些复杂的经验公式及用无穷级数表示的分析解，也常用计算机来获得数值结果。试用数值方法对Bi=0.1,1,10 的三种情况计算下列特征方程的根n (n1,2,6) :tan nBi1,2,3, nnFoa0.22并用计算机查明，当时用式（ 3-19）表示的级数的第一项代替整个级数（计算中用前六项之和来替代）可能引起的误差。解：n tan

3、 nBi ，不同 Bi 下前六个根如下表所示：Bi 1 2 3 4 5 60.10.31113.17316.29919.435412.574315.71431.00.86033.42566.43739.529312.645315.7713101.42894.30587.228110.200313.214216.2594Fo=0.2 及 0.24时计算结果的对比列于下表：Fo=0.2xBi=0.1Bi=1Bi=10第一项的值0.948790.629450.11866前六和的值0.951420.643390.12248比值0.997240.978330.96881Fo=0.2x0Bi=0.1Bi=

4、1Bi=10第一项的值0.996620.965140.83889前六项和的值0.9940.950640.82925比值1.0021.015251.01163Fo=0.24xBi=0.1Bi=1Bi=10第一项的值0.945130.611080.10935前六项的值0.946880.61980.11117比值0.998140.986940.98364Fo=0.24x 0Bi=0.1Bi=1Bi=10第一项的值0.992770.936980.77311前六项和的值0.991010.927910.76851比值1.001771.009781.005984-2、试用数值计算证实，对方程组x12x22x

5、31x1x2x332x12x2x35用高斯 -赛德尔迭代法求解，其结果是发散的，并分析其原因。解：将上式写成下列迭代形式x11/252x2x3x21/212x3x1x33 x1x2假设 x2 , x3 初值为0，迭代结果如下：迭代次数01234x102.52.6252.093752.6328125x20-0.750.4375 -1.1718751.26171825x301.25-0.06252.078125-0.89453125显然，方程迭代过程发散因为迭代公式的选择应使每一个迭代变量的系数总大于或等于式中其他变量的系数绝对值代数和。4-3、试对附图所示的常物性，无内热源的二维稳态导热问题用高

6、斯-赛德尔迭代法计算t1, t 2 ,t 3 , t4 之值。解：温度关系式为：t11/ 4 t 2t34030t 21/ 4 t1t420 30t 31/ 4 t1t 43015t 41/ 4 t 2t3105开始时假设取t 10t 2020 ； t 30t 4015 得迭代值汇总于表迭代次数020201515126.2522.812521.562514.84375228.5937523.35937522.10937515.1171875328.867187523.4960937522.24607565159355425823.5302712922.28027129

7、15.20263565528.9526356523.5388178222.2888178215.20690891628.956908923.5409544622.29095544515.20797723其中第五次与第六次相对偏差已小于10 4 迭代终止。4-4、试对附图所示的等截面直肋的稳态导热问题用数值方法求解节点 2， 3的温度。图中t 0850 C,t f250C, h30W /(m 2 .K ) .肋高 H=4cm, 纵剖面面积 AL4cm2 , 导热系数20W /(m.K ) 。解：对于2 点可以列出：t1 t2t3t 42h x(t1t2 )0;节点 2：xxt2t3h(t ft1

8、 ) 2hxt3 )0x(t f节点 3：22。由此得：2h x2h (t fx2ht1t2t3t2(t1t 2 ) 0t 2t3t3 )2 (t f t 3 ) 0，t 2t1t 32h xH 2 t f22h xH 2t 3t 2h t fh x2t f1h h x222hx 2300.02 20.06t 2t1t20.12t f20 0.0120.12，于是有：t 3t230 / 20 t f0.03t ft2 1.5t f0.03tft 21.53t f130/200.032.532.53 ，代入得：2.12t 2t1t 21.53t f0.12t f， 5.3636t22.53t1

9、t 21.53t f0.3036tf ，2.532.53t f1.8336t f4.3636t 22.53t11.8336t f ，t 24.3636，t 22.53851.833625215.0545.8459.8 C4.36364.363659.79，t 359.81.532538.7538.8 C2.53。离散方程的建立4-5、试将直角坐标中的常物性无内热源的二维稳态导热微分方程化为显式差分格式，并指出其稳定性条件（xy) 。解：常物性无内热源二维非稳态方程微分方程为t2t2 ta2y 2x扩散项取中心差分，非稳态项取向前差分：tni 1tniat ni12t nit ni1t ni12

10、t nit ni1x 2y 2所以有t ni 1a11t ni1t ni11 2a11t nix 2y 2x2y2稳定性条件Fo xFo y1/ 24-6、极坐标中常物性无内热源的非稳态导热微分方程为t2t1t12 ta2rrr 22r试利用本题附图中的符号，列出节点（i,j ）的差分方程式。解：将控制方程中的各阶导数用相应的差分表示式代替，可得：t1，j k it kt，jtk t，j 1 2t kt，jt k j 11 tk t，j 1t k1，j 11ti 1，j k2tk i，jr ki 1，j。ar 2r j2rr 22j也可采用热平衡法。对于图中打阴影线的控制容积写出热平衡式得：r

11、jrt k 1i， jt ki，jt k i 1，jtk i， jrtk i 1，jt ki， jrcr jr jt k i，j 1t k i，jrjrt ki， j 1t ki , jr jrr2r2对等式两边同除以rjr 并简化，可以得出与上式完全一样相同的结果。4-7、一金属短圆柱在炉内受热厚被竖直地移植到空气中冷却，底面可以认为是绝热的。为用数值法确定冷却过程中柱体温度的变化， 取中心角为 1rad 的区域来研究 （如本题附图所示）。已知柱体表面发射率，自然对流表面传热系数，环境温度，金属的热扩散率，试列出图中节点（1，1），（ M,1）(M,n) 及（ M,N ）的离散方程式。在r

12、及 z 方向上网格是各自均分的。解：应用热平衡法来建立四个节点点离散方程。节点（ 1， 1）：tkk1r2ktkrz2z tk 1tk1，2t 1，1t 2，11，1r1，11，1z22r22c28节点（ m， 1）：kkzztktkzztktkt m1，1 tm,1m 1 1m 1m 2m 1rm，rm，rmrc rmrr22r22z节点（ m， n）：tktkrrztkt krm 13rrrzr3rmrh ttT4T4rm 13rmm 1，nm，nm， n 1m， nmmm 1m， n0crm22z42242m0m， n4z t k m，1t k m，1;2rztk 1 m, ntkm，n

13、。22r4-8、一个二维物体的竖直表面收液体自然对流冷却，为考虑局部表面传热系数的影响，表面传热系数采用h c(t t1 )1.25 来表示。试列出附图所示的稳态无内热源物体边界节点（ M,n ）的温度方程，并对如何求解这一方程提出你的看法。设网格均分。解：利用热平衡法：h c tM ，nt ftM ，nt f0.25，将 h 写为 hct M，n t ftM ，n t f0.25，其中 tM ， n 为上一次迭代值，则方程即可线性化。4-9、在附图所示的有内热源的二维导热区域中，一个界面绝热，一个界面等温（包括节点4），其余两个界面与温度为t f 的流体对流换热， h 均匀，内热源强度为。试

14、列出节点1， 2， 5， 6， 9，10 的离散方程式。解：节点1：t5 t1xt2 t1y1 x y1 yh t1t f0y2x242；t1t2yt3t2yt6t 2x1xy0节点 2：x2x2y2；t1t5yt9t5xt 6t5y1xyyh t5t f0节点 5：y2y2x2；t2t6xt7t6yt10t5xt5t 6yxy0节点 6：yxyx；t5t9xt10t9y1xyxyht9 t f0节点 9：y2x2422；t9t10yt11t10yt6t10x1 x yxh h10t f0节点 10：x2x2y2。当 xy 以上诸式可简化为：节点 1：t5t2h y t f2 2h y t11

15、 y202；2t6t1t34t2y20节点 2：；2t6t1t92 h y t f2 2h y t5y20节点 5：t7t10t5t74t6y20节点 6：；t5t102h yt f2 1h yt91y20节点 9：2；2t6t9t112 h y t f2 2h y t10y20节点 10：。一维稳态导热计算4-10、一等截面直肋，高H, 厚 ，肋根温度为t0，流体温度为t f，表面传热系数为h,肋片导热系数为。将它均分成 4 个节点（见附图） ，并对肋端为绝热及为对流边界条件（h 同侧面）的两种情况列出节点 2，3，4的离散方程式。设H=45cm,10mm, h50W /(m2 .K ) ,

16、=50W/(m.K),t0100 ， t f 20 ，计算节点2， 3， 4 的温度（对于肋端的两种边界条件）。解：采用热平衡法可列出节点2、 3、 4 的离散方程为：t1t 2t3t 22hx t 2t f0节点 2：xx；t 2t3t 4 t32hx t3t f0节点 3：xx；t3t4hxt4t f0节点 4：肋端绝热x，t3t 4h x t4t fht4 t f0肋端对流x。xH3 。将已知条件代入可得下列两方程组：其中肋端绝热t32.045t2100.90t 22.045t3t4 0.90t31.0225t40.450肋端对流t32.045t2100.90t 22.045t3t40.

17、90t31.0375t40.80由此解得：肋端绝热t292.20 C ， t387.7 0 C ， t486.20 C ；肋端对流 t291.50 C ， t386.20 C ， t483.80 C 。肋端对流换热的条件使肋端温度更接近于流体温度。4-11、复合材料在航空航天及化工等工业中日益得到广泛的应用。附图所示为双层圆筒壁，假设层间接触紧密，无接触热阻存在。已知r112.5mm,r 2 16mm,r318mm, 140W/(m.K) ，2120W /(m.K ), t f 1150，h11000W /( m2 .K ),t f 260 ， h2380W /(m2 .K ) 。试用数值方法

18、确定稳态时双层圆筒壁截面上的温度分布。解：采用计算机求解，答案从略。采用热平衡法对两层管子的各离散区域写出能量方程，进行求解;如果采用 Taylor展开法列出方程， 则需对两层管子单独进行， 并引入界面上温度连续及热流密度连续的条件，数值计算也需分两区进行，界面耦合。截面的温度分布定性地示于上图中。4-12、有一水平放置的等截面直杆，根部温度t 0100 ，其表面上有自然对流散热，h c tt f / d 1/ 4，其中， c1.20W /(m1.75 .o C); d 为杆直径， m 。杆高 H=10cm ，直径d=1cm, 50W/(m.K) ， t25 。不计辐射换热。试用数值方法确定长

19、杆的散热量（需得出与网格无关的解。杆的两端可认为是绝热的。解：数值求解过程略，Q=2.234W 。4-13 在上题中考虑长杆与周围环境的辐射换热，其表面发射率为0.8，环境可作为温度为t的大空间，试重新计算其导热量。解：数值求解过程略，Q=3.320W 。4-14、有如附图所示的一抛物线肋片，表面形线方程为：y xeb e 1 x H 2 / 22肋根温度 t 0 及内热源恒定，流体表面传热系数 h,tt fx / H流体温度 t f 为常数。定义：,t0t f。试：（ 1）建立无量纲温度的控制方程； （ 2）在无量H 20.01, e0.05, b0.1, hH0.01纲参数 t 0 t f

20、HH下对上述控制方程进行数量计算。确定无量纲温度的分布。d 2/ d 20.012 /5 5120解：无量纲温度方程为：。数值计算结果示于下图中，无量纲温度从肋根的1 变化到肋端的 0.852。一维非稳态导热计算4-15 、一直径为1cm,长 4cm 的钢制圆柱形肋片，初始温度为 25，其后， 肋基温度突然升高到 200，同时温度为 25 的气流横向掠过该肋片，肋端及两侧的表面传热系数均为100 W /(m2 .K ) 。试将该肋片等分成两段（见附图），并用有限差分法显式格式计算从开始加热时刻起相邻4个时刻上的温度分布（以稳定性条件所允许的时间间隔计算依据）。已知43W/(m.K) ， a1.

21、33310 5 m2/ s。（提示：节点 4 的离散方程可按端面的对流散热与从节点3 到节点 4 的导热相平衡这一条件列出） 。解：三个节点的离散方程为：节点 2：kk2kk22k1kt1t 2dt 3t 2dd x h t f t k2cdxt2t 2x / 24x44节点 3：tk 4t k3d2tk 2t k3d 2d x h t ft k 3cd 2xt k 13 t k3x / 24x44节点 4：t k 3t k 4d 2d2tkx / 244h4t f。以上三式可化简为：k1aa4h3a4hkt22x2t1x2t3cdt f1x2cdt 2k1aa4h3a4hkt3x2t2 2x

22、2t4cdt f1x2cdt 32xht k42tk3xht f13a4h01/3a4h稳定性要求x2cd，即x2cd。ca4332.2581051.333 10 5，代入得：1/31.33310 50.01410010510.01240.02232.2580.099975如取此值为计算步长，则：a1.33310 58.898770.29664h41008.89877x20.022，cd32.2581050.0120.2966t1k0.1103t ftk 1于是以上三式化成为：0.2966t320.2966t2k0.29662t4k0.1103t ft k130.9773t3k0.0227t

23、ft k48.89877s时间点12302002525200128.81252200128.8155.803200137.9573.644200143.0486.708.89877s，0.1103。4252555.0972.5485.3013a4h0在上述计算中，由于之值正好使x2cd，因而对节点2出现了在及 2时刻温度相等这一情况。如取为上值之半，则a0.14834h0.055113a4h0.5x2cdx2cd，于是有：20.1483t0.1483tk0.5tk0.0551tft k113220.1483tk0.1483 2t4kk0.0551t f tk 120.5t330.9773t k

24、30.0227t ftk4对于相邻四个时层的计算结果如下表所示：4.4485s时间点1234020025252520076.9125252200102.8632.7032.533200116.9842.6342.234200125.5152.5751.944-16 、一厚为2.54cm 的钢板，初始温度为650，后置于水中淬火，其表面温度突然下降为93.5 并保持不变。试用数值方法计算中心温度下降到450所需的时间。已知a 1.16 10 5 m 2 / s 。建议将平板 8 等分，取 9 个节点，并把数值计算的结果与按海斯勒计算的结果作比较。解：数值求解结果示于下图中。随着时间步长的缩小，计

25、算结果逐渐趋向于一个恒定值，当=0.00001s 时，得所需时间为3.92s。如图所示，横轴表示时间步长从1 秒， 0.1 秒， 0.01秒， 0.001秒， 0.0001 秒， 0.00001秒的变化；纵轴表示所需的冷却时间（用对数坐标表示）。4-17、一火箭燃烧器， 壳体内径为 400mm, 厚 10mm,壳体内壁上涂了一层厚为2mm 的包裹层。火箭发动时，推进剂燃烧生成的温度为3000的烟气，经燃烧器端部的喷管喷住大气。大气温度为 30。设包裹层内壁与燃气间的表面传热系数为2500 W/(m.K) ，外壳表面与大气间的表面传热系数为350 W /(m2 .K ) ，外壳材料的最高允许温度

26、为1500 。试用数值法确定：为使外壳免受损坏，燃烧过程应在多长时间内完成。包裹材料的 0.3 W/(m.K) ，a= 2 10 7 m2 / s 。解：采用数值方法解得420s 。4-18、锅炉汽包从冷态开始启动时，汽包壁温随时间变化。为控制热应力，需要计算汽包内壁的温度场。 试用数值方法计算： 当汽包内的饱和水温度上升的速率为 1 /min,3 /min 时，启动后 10min,20min, 及 30min 时汽包内壁截面中的温度分布及截面中的最大温差。启动前，汽包处于100的均匀温度。汽包可视为一无限长的圆柱体，外表面绝热，内表面与水之间的对流换热十分强烈。汽包的内径 R10.9m, 外

27、 半 径 R21.01m, 热 扩 散 率a 9.98 10 6 m2 / s。解：数值方法解得部分结果如下表所示。汽包壁中的最大温差，K启动后时间， min温升速率， K/min13107.13621.41209.46328.393010.1930.574-19、有一砖墙厚为0.3m ，0.85W/(m.K) ，c 1.05106 J /(m3 .K ) 室内温度为t120 ， h=6 W /( m2 .K ) 。起初该墙处于稳定状态，且内表面温度为15。后寒潮入侵，室外温度下降为 t f 210 ，外墙表面传热系数h235 W /( m2 .K ) 。如果认为内墙温度下降 0.1是可感到外

28、界温度起变化的一个定量判据，问寒潮入侵后多少时间内墙才感知到？解：采用数值解法得t=7900s。4-20、一冷柜，起初处于均匀的温度（20）。后开启压缩机，冷冻室及冷柜门的内表面温度以均匀速度 18 /h 下降。柜门尺寸为 1.2m 1.2m 。保温材料厚8cm， 0.02W/(m.K) 。冰箱外表面包裹层很薄， 热阻可忽略而不计。 柜门外受空气自然对流及与环境之间辐射的加热。自然对流可按下式计算：h 1.55t / H1/ 4 W /(m2 .K )其中 H 为门高。表面发射率0.8 。通过柜门的导热可看作为一维问题处理。试计算压缩机起动后 2h 内的冷量损失。解：取保温材料的c 1104J

29、 /m3 K ，用数值计算方法得冷量损失为5.97 104 J 。4-21、一砖砌墙壁，厚度为 240mm， 0.81W/(m.K),1800kg / m3 , c0.88J / kg.K 。设冬天室外温度为24h 内变化如下表所示。室内空气温度ti15且保持不变；外墙表面传热系数为 10 W /( m2 .K ) ，内墙为 6 W /(m2 .K ) 。试用数值方法确定一天之内外墙，内墙及墙壁中心处温度随时间的变化。取1h 。设上述温度工况以24h 为周期进行变化。时刻1：002：003：004：005：006：007：008：0010：11：0：009：0000/h00温度-5.9-6.2

30、-6.6-6.7-6.8-6.9-7.2-7.7-7.6-7.0-4.9-2.3/0 C时刻12：13：14：15：16：17：18：19：20：21：22：23：/h000000000000000000000000温度/0 C-1.02.41.81.81.60.5-1.6-2.8-3.5-4.3-4.8-5.3解：采用数值解法得出的结果如下表所示。时刻 /h012345678环境温度 /-5.9-6.2-6.6-6.7-6.8-6.9-7.2-7.7-7.60 C外墙温度 /-1.70-2.19-2.44-2.76-2.85-2.93-3.01-3.26-3.670 C墙壁中心温度3.653

31、.323.152.922.872.812.752.592.31/0 C内墙温度 /0 C8.998.828.738.618.588.558.528.438.28时刻 /h91011121314151617环境温度 /-7-4.9-2.3-12.41.81.81.60.50 C外墙温度 /-3.58-3.07-1.340.781.874.634.154.143.970 C墙壁中心温度2.703.875.326.057.957.627.627.512.36/0 C内墙温度 /8.318.499.119.8710.2611.2611.1011.1011.100 C时刻 /h181920212223环境温度 /0 C-1.6-2.8-3.5-4.3-4.8-5.3外墙温度 /0 C3.061.340.36-0.22-0.87-1.29墙壁中心温度6.095.735.054.664.213.93/0 C内墙温度 /0 C10.7110.109.739.539.309.14多维稳态导热问题4-22、如附图所示， 一矩形截面的空心电流母线的内外表面分别与温度为t f 1 ,t f 2 的流体发生对流换热，表面传热系数分别为h1 ,h2 ，且各自沿周界是均匀的，电流通过壁内产生均匀热源。今欲对母线中温度分布进行数值计算，试：（ 1）划出计算区域（ 2）对该区域内的温度