应用随机过程复习资料

1、 p 1 = 0.5p 1 + 0.5p 2 3 1 1 1 p 2 = 0.5p 1 + 0.5p 3 及 å p i = 1 知不变分布 p = (p 1 , p 2 , p 3 = ( , , 3 3 3 i =1 p 3 = 0.5p 2 + 0.5p 3 且可得（3） lim Pij( n = n®¥ 1 , i, j Î S = 1, 2,3 3 例： 已知时齐马氏链的转移矩阵 P = ê p ù é1 - p （1）证明它是遍历 ú ， 0 < p, q < 1 ， q 1 - q 

2、35; û n®¥ Markov 链； （2）求它的不变分布 p = (p 1 , p 2 .（3） lim Pij( n ， i, j Î S = 1, 2 (1证明 （a） 由 P 的元素取值或状态转移图可知 Markov 链的状态互通， 即 Markov 链是不可约的； （b）再由 P 11 = 1 - p > 0 得到状态 1 为非周期的； （c）因该链是不可约的有限状态 Markov 链，故所有状态均为正常返态。 由（a） （b） （c）知该链是遍历 Markov 链. （2）因有限状态遍历 Markov 链的不变分布 p = (p 1

3、, p 2 满足 2 p 1 (1 - p + p 2 q = p 1 q p , 及 å p i = 1 知不变分布 p = (p 1 , p 2 = ( p 1 p + p 2 (1 - q = p 2 i =1 p+q p+q 且可得 lim Pi1 n ®¥ (n = q p , lim Pi (2n = , "i Î S = 1,2 p + q n®¥ p+q 六 掌握标准 Brown 运动 B(t , t ³ 0 的自相关函数（即协方差函数） ，由于标准 Brown 运 动 B(t , t ³

4、 0 是高斯（正态）过程，从而它的 n 维分布 ææ 0ö æ B (t1 ö çç ÷ ç ÷ çç 0÷ ç B (t 2 ÷ ç M ÷ N ç ç M ÷, çç ÷ ç ÷ ç B (t ÷ çç 0÷ è n ø èè ø 且对 m &#

5、180; n 矩阵 A，有 æ æ0ö æ B (t1 ö ç ç ÷ ç ÷ ç ç0÷ ç B (t 2 ÷ Aç N ç Aç M ÷, M ÷ ç ç ÷ ç ÷ ç B (t ÷ ç ç0÷ è n ø è è ø æ min(

6、t1 , t 2 min( t1 , t 2 ç ç min( t 2 , t1 min( t 2 , t 2 ç M M ç ç min( t , t min( t , t è n 1 n 2 L min( t1 , t n ö ö ÷ ÷ L min( t 2 , t n ÷ ÷ ÷ ÷， L M ÷ ÷ ÷ L min( t n , t n ÷ øn ø L min( t1 , t n &#

7、246; ö ÷ ÷ L min( t 2 , t n ÷ / ÷ ÷A ÷ L M ÷ ÷ ÷ L min( t n , t n ÷ ø ø æ min( t1 , t 2 min( t1 , t 2 ç ç min( t 2 , t1 min( t 2 , t 2 Aç M M ç ç min( t , t min( t , t è n 1 n 2 例 已知 B(t , t ³ 0

8、为 Brown 运动，求 Y = B (1 + B ( 2 + B (3 + B ( 4 的分布。 é B(1 ù ê B ( 2 ú ú, A = (1,1,1,1 解： （a） Y = A ê ê B(3 ú ê ú ë B ( 4 û （b）由 Brown 运动为正态过程知， ææ0ö é B(1 ù çç ÷ ê B(2ú ê ú 服从 N 

9、1; ç 0 ÷, çç0÷ ê B(3 ú çç ÷ ê ú çç0÷ B ( 4 ë û èè ø æ æ 0ö ç ç ÷ ç ç 0÷ Y N ç A ç ÷, 0 ç ç ÷ ç ç 0÷ è 

10、32; ø 例 æ1 ç ç1 ç1 ç ç1 è 1 1 1 öö ÷÷ 2 2 2÷÷ ， 故 2 3 3÷÷ ÷÷ ÷ 2 3 4÷ øø æ1 ç ç1 Aç 1 ç ç1 è 1 1 1ö ö ÷ ÷ 2 2 2÷ / ÷ A = N (0

11、,30 2 3 3÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 2 3 4÷ ø ø 1 4 2 4 3 4 设 B(t , t ³ 0 为 Brown 运动，求 Y = B ( + B ( + B ( + B (1 的分布 é B(1 / 4 ù ê B ( 2 / 4 ú ú, A = (1,1,1,1 解： （a） Y = A ê ê B(3 / 4 ú ê ú ë B ( 4 / 4 û （b）由 Bro

12、wn 运动为正态过程知， ææ0ö é B(1 / 4 ù æ1 çç ÷ ç ê B ( 2 / 4 ú 0 ç 1 ç ÷ ç1 ê ú 服从 N , ç ç 0 ÷ 4 ç1 ê B(3 / 4 ú ç ç ÷ ç ê ú ç1 çç0÷ ë

13、B ( 4 / 4 û è èè ø æ æ0ö ç ç ÷ ç ç0÷ Y N ç A ç ÷, 0 ç ç ÷ ç ç0÷ è è ø æ1 ç 1 ç1 A 4 ç1 ç ç1 è 1 1 1öö ÷÷ 2 2 2÷÷