曲线上机指导

1、第五章 曲线曲面工业设计中经常绘制各种曲线曲面，曲线分为规则曲线与不规则曲线，曲面也相应分为规则曲面和不规则曲面。规则曲线有圆锥曲线、圆柱曲线、渐开线等，这些曲线都可以用函数或参数方程表示；不规则曲线则是根据给定的离散数据点用曲线拟合逼近得到，常见的有参数样条曲线、Bezier曲线、B样条曲线等，这些曲线一般采用分段的参数方程表示。规则的曲面有柱面、锥面、球面等，可以用函数或参数方程表示；常见的不规则曲面有Bezier曲面、B样条曲面等，这些曲面采用分片的参数方程表示。本章包含了三次样条曲线，Bezier曲线和B样条曲线。实验一 二次插值样条曲线实验目的：掌握二次插值样条曲线的生成算法，掌握对

2、数学曲线采样，用折线近似显示曲线的原理。 实验要求：要求在给定插值点个数的情况下。采用二次抛物线插值方式生成曲线，为保证曲线的光滑性，采用加权合成方法。对于第一段和最后一段曲线舍弃。要求插值点用鼠标交互输入。实验原理：二次插值样条曲线主要采用抛物线插值方法生成二次样条曲线，即由给定的3个点定义一条抛物线。采样矢量表达式表示该参数化二次曲线，可以表示为： P(t)=A1+A2·t +A3·t2要确定该系数，需要三个独立的条件。设三个条件为：（1） 当参数变量t=0时，曲线经过p1点（2） 当t=1时，曲线经过p3点（3） 当t=0.5时，曲线经过p2点考虑到曲线的光滑性，可以

3、按上述条件每相邻三个点生成一段抛物线，则n个插值点可以生成n1段抛物线，对相邻两段抛物线，例如，Pi 、Pi+1 、Pi+2 、Pi+3， 由Pi 、Pi+1 、Pi+2生成的曲线段Si和由Pi+1 、Pi+2 、Pi+3生成的曲线段Si+1在Pi+1 、Pi+2 共有区间， 而两段抛物线是不可能重合的，所以要将这个区间的两段曲线进行加权合成。采用以下方程 Pi+1(t) = f(T)·Si (ti)+g(T)·Si+1 (ti+1) 其中f(T)=1-T，g(T)=T，T=2t，得到二次插值样条曲线公式： Pi+1(t)=(-4t3+4t2-t) Pi +(13t3-10

4、t2+1) Pi+1 +(-12t3+8t2+t) Pi+2 +(4t3-2t2) Pi+3实验步骤：（1） 设置插值点个数，设置采样精度（2） 鼠标交互输入插值点，并显示由插值点构成的折线（3） 根据插值点个数n生成n-3段曲线，对每一段曲线，根据采样精度对t进行离散化，计算出相应的离散点，连接相邻的离散点，用折线近似显示曲线。实验效果：程序实现：1）定义变量int m_ptN, inputN; /插值点个数和输入点个数POINT *pts; /插值点指针2）对变量进行初始化m_ptN=6; /设置插值点个数inputN=0; /初始化输入点个数pts=new POINTm_ptN; /给插

5、值点分别内存3）输入并绘制插值点折线/鼠标左键按下事件函数void CChaZhi2QuXianView:OnLButtonDown(UINT nFlags, CPoint point) / TODO: Add your message handler code here and/or call defaultCClientDC dc(this);if(inputN<m_ptN) /获取插值点并绘制插值点折线ptsinputN=point;if(inputN>0)dc.MoveTo (ptsinputN-1); dc.LineTo(ptsinputN);inputN+;elseDr

6、awMyLine(); /调用插值曲线生成函数CView:OnLButtonDown(nFlags, point);4）生成二次插值曲线/生成二次插值曲线void CChaZhi2QuXianView:DrawMyLine()CClientDC dc(this);CPen *pOld,pen(PS_SOLID,2,RGB(255,0,0);pOld=dc.SelectObject (&pen);int x,y,i,j,k=10;double dt,t1,t2,t3 ,a,b,c,d;dt=0.5/k; dc.MoveTo (pts1);for(i=1;i<m_ptN-2;i+)

7、/处理每一段插值曲线t1=0;for(j=1;j<=k;j+)/处理每一个采样点t1=t1+dt; t2=t1*t1; t3=t2*t1;a=-4*t3+4*t2-t1; b=12*t3-10*t2+1; c=-12*t3+8*t2+t1; d=4*t3-2*t2;x=a*ptsi-1.x+b*ptsi.x+c*ptsi+1.x+d*ptsi+2.x;y=a*ptsi-1.y+b*ptsi.y+c*ptsi+1.y+d*ptsi+2.y ;dc.LineTo(x,y);dc.SelectObject (pOld);实验二Bezier曲线实验目的：掌握Bezier曲线的生成算法，掌握应用调

8、和函数生成曲线的方法，掌握3次Bezier曲线的性质。 实验要求：用鼠标交互输入控制点，绘制控制折线，生成并显示3次Bezier曲线。实验原理：Bezier曲线的形状是通过一组多边折线的各项唯一定义出来的。在该多边折线的各顶点中，只有第一点和最后一点是在曲线上，其余的顶点则用来定义曲线的导数、阶次和形状。第一条边和最后一条边则表示了曲线在起点处和终点处的切线方向，即第一条边和最后一条边分别和曲线的起点和终点相切。曲线的形状趋于控制折线的形状，改变控制点的位置和曲线的形状变化有着直观的联系。Bezier曲线是由多项式调和函数推导出来的，通常n+1个顶点定义一个n次多项式，三次Bezier曲线需要

9、四个顶点来定义。此时，调和函数分别为： B0,3(t)=-t3+3t2-3t+1B1,3(t)=3t3-6t2+3tB2,3(t)=-3t3+3t2B3,3(t)=t3实验步骤：（1） 鼠标交互输入控制点，并绘制控制折线（2） 根据采样精度对t进行离散化，根据三次Bezier曲线公式，计算出相应的离散点，连接相邻的离散点，用折线近似显示曲线。实验效果：程序实现：1）定义变量int inputN; /输入点个数POINT *pts; /控制点指针2）对变量进行初始化inputN=0; /初始化输入点个数pts=new POINT4; /给控制点分别内存3）输入并绘制控制折线void CBezie

10、rView:OnLButtonDown(UINT nFlags, CPoint point) / TODO: Add your message handler code here and/or call defaultCClientDC dc(this);if(inputN<4) /获取控制点并绘制控制折线ptsinputN=point;if(inputN>0)dc.MoveTo (ptsinputN-1); dc.LineTo(ptsinputN);inputN+;elsemyBezierLine(); /调用Bezier曲线生成函数CView:OnLButtonDown(nFl

11、ags, point);4）生成并绘制Bezier曲线/绘制Bezier曲线void CBezierView:myBezierLine()CClientDC dc(this);CPen *pOld,pen(PS_SOLID,2,RGB(255,0,0);pOld=dc.SelectObject (&pen);int x,y,i,k=20; double dt,t1,t2,t3,a,b,c,d;dt=1.0/k; t1=0; /设置采样间距，设置t的初值dc.MoveTo (pts0); for(i=1;i<=k;i+) /计算每一个采样点并用折线近似曲线t1=t1+dt; t2=

12、t1*t1; t3=t2*t1;a=-t3+3*t2-3*t1+1; b=3*t3-6*t2+3*t1; c=-3*t3+3*t2; d=t3;x=a*pts0.x+b*pts1.x+c*pts2.x+d*pts3.x;y=a*pts0.y+b*pts1.y+c*pts2.y+d*pts3.y;dc.LineTo (x,y);dc.SelectObject (pOld);实验三 三次B样条曲线实验目的：掌握三次B样条曲线的生成算法，掌握三次B样条曲线与控制折线的几何关系。 实验要求：要求根据给定的控制点个数，用鼠标输入控制点并绘制控制折线，生成并显示由给定控制折线确定的三次B样条曲线。实验原理

13、：Bezier曲线存在着几个明显的不足，如控制点的个数决定了曲线的阶次，并且当控制点较多时，控制折线对曲线形状的控制将明显减弱，以及改变曲线的任意控制点都会影响到整个曲线的形状等问题，B样条曲线很好的解决了这些问题，并且它还具有对控制折线更逼近、多项式阶次较低等优点。通常给定m+n+1个控制点，可以定义m+1段n次的参数曲线，其公式为： 其中，Pk,n(t)为第k段n次B样条曲线段，Fi,n(t)为n次B样条基函数，也称为B样条分段混合函数，其形式为 连接全部曲线段所组成的整条曲线称为n次B样条曲线。实验步骤：（1） 设置控制点个数（2） 鼠标交互输入控制点，并绘制控制折线（3） 根据根据控制

14、点个数ptN生成ptN-3段三次B样条曲线，对每一段曲线，根据采样精度对t进行离散化，计算出相应的离散点，连接相邻的离散点，用折线近似显示曲线。实验效果：程序实现：1）定义变量int m_ptN,inputN; /控制点个数和输入点个数POINT *pts; /控制点指针2）对变量进行初始化m_ptN=8; /设置控制点个数inputN=0; /初始化输入点个数pts=new POINTm_ptN; /给控制点分别内存3）输入并绘制控制折线/鼠标左键按下事件函数void CBSplineView:OnLButtonDown(UINT nFlags, CPoint point) / TODO:

15、Add your message handler code here and/or call defaultCClientDC dc(this);if(inputN<m_ptN) /获取插值点并绘制插值点折线ptsinputN=point;if(inputN>0)dc.MoveTo (ptsinputN-1); dc.LineTo(ptsinputN);inputN+;elsemyBSpline(); /调用插值曲线生成函数CView:OnLButtonDown(nFlags, point);4）生成并绘制B样条曲线/B样条曲线函数void CBSplineView:myBSpli

16、ne()CClientDC dc(this);CPen *pOld, pen(PS_SOLID,2,RGB(255,0,0);pOld=dc.SelectObject (&pen);int x,y,m=m_ptN-3,k=20; /设置采样精度，计算曲线段个数float t1,t2,t3,a,b,c,d,dt;dt=1.0/k; /设置采样间隔for(int i=0; i<m; i+)/处理每一段曲线t1=0;for(int j=0; j<=k; j+) /对当前曲线进行采样并显示t2=t1*t1; t3=t2*t1;a=-t3+3*t2-3*t1+1; b=3*t3-6*t2+4;c=-3*t3+3*t2+3*t1+1; d=t3;a=a/6; b=b/6; c=c/6; d=d/6;x=a*ptsi.x+b*ptsi+1.x+c*ptsi+2.x+d*ptsi+3.x;y=a*ptsi.y+b*ptsi+1.y+c*ptsi+