概率论 第四章 随机变量的数字特征

1、第四章随机变量的数字特征§1数学期望一、离散型随机变量的数学期望先通过下面的实例说明数学期望的直观含义某车间共有台机床，这些机床由于各种原因时而工作时而停机，因而在任意时刻工作着的机床数是一随机变量。为评估该车间机床的使用效率，需要知道车间中同时工作着的机床的平均数作了20次观察，结果如下：工作机床数01234频数01397频率0/101/203/209/207/20从表中可看出，在20次观察中，有1次“1台工作”， 有3次“2台工作”， 有9次“3台工作”， 有7次“4台工作”， “机床都不工作”的情况未出现在20次观察中，工作机床总数为。所以，车间中同时工作机床的平均数为式中，0

2、/20、1/20、3/20、9/20、7/20是的5种可能取值的频率，或概率的近似值。可以看出，的平均数并不是的5种可能取值的简单算术平均数。这种简单的算术平均数不能真实反映出随机变量的平均情况，因为取各个值的可能性即概率是不相等的。这个“平均数”应是随机变量所有可能取的值与相应概率的乘积之和，即以概率为权数的加权平均值。为此，我们引入数学期望这一概念。定义1 设离散型随机变量的分布律为，若级数绝对收敛，则称级数的和为随机变量的数学期望，简称期望或均值，记作，即。 【例1】 【例2】 设，求。解 设的分布律为01则它的数学期望 【例3】 设，求。二、连续型随机变量的数学期望 定义2 设连续型随

3、机变量的概率密度为，若反常积分绝对收敛，则称反常积分的值为随机变量的数学期望，记作，即【例4】 设随机变量在区间内服从均匀分布，求。【例5】 设随机变量服从参数为的指数分布，求。三、二维随机变量的数学期望 定义3 二维随机变量的数学期望为。 设二维离散型随机变量的联合分布律为，则 设二维连续型随机变量的联合概率密度为，则【例6】 设的概率密度为求。四、随机变量函数的数学期望 设是一个随机变量且已知其概率分布，则作为的函数也是一个随机变量。 要计算的数学期望，可以先由的概率分布求出的概率分布，再按期望定义求。但更方便的是利用的分布及与的函数关系直接计算的数学期望。定理1 设离散型随机变量的分布律

4、为，是实值连续函数，且级数绝对收敛，则随机变量函数的数学期望为。定理2 设连续型随机变量的概率密度为，是实值连续函数，且反常积分绝对收敛，则随机变量函数的数学期望为。 【例7】 设随机变量的分布律为求随机变量函数的数学期望。 【例8】 设随机变量在区间内服从均匀分布，求随机变量函数的数学期望。 【例9】 设，求。 【例10】 求使商店所获利润最大的进货量。定理3 设二维离散型随机变量的联合分布律为，是实值连续函数，且级数绝对收敛，则随机变量函数的数学期望为。定理4 设二维连续型随机变量的联合概率密度为，是实值连续函数，且反常积分绝对收敛，则随机变量函数的数学期望为。 【例11】 求随机变量函数

5、的数学期望。五、数学期望的性质下面给出数学期望的几个性质，并假设所提到的数学期望均存在性质 （c为常数）。性质（为常数）。性质3设是任意两个随机变量，则有。这一性质可推广到有限个随机变量的情形，即。性质4设是两个相互独立的随机变量，则有。这一性质也可推广到有限个相互独立的随机变量的情形，即有。运用数学期望的这些性质，可以简化一些随机变量数学期望的计算。 【例12】 设，求。 【例13】 设，求。 【例14】 求停车次数的数学期望。以上两例中，将分解为个随机变量之和，然后利用随机变量之和的数学期望等于随机变量数学期望之和的性质，来求数学期望的这种处理方法，具有一定的普遍意义。 【例15】盛书p.

6、98.例13。 设电路中电流与电阻是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为， 试求电压的均值。§2方差一、方差的定义 在许多实际问题中，往往只知道随机变量的数学期望是不够的，还需要知道随机变量取值与其均值的偏离程度。 先看下面的例子。在相同的条件下，甲、乙两人对长度为的某零件进行测量，测量结果分别用表示，已知的概率分布如下：00.10.80.100.10.20.40.20.1容易算出，即甲、乙两人测量的平均值是相同的，这时仅用数学期望比较不出甲、乙两人测量技术的好坏。但从以上列表分布大致可以看到，取值比取值更集中于数学期望附近，说明甲的测量技术比乙好。为了定量表示这种集中程度，需要

7、用一个数值来刻划随机变量取值与其数学期望偏差的大小。为此，我们引入方差这一概念。定义 设是一个随机变量，若存在，则称为的方差，记为或，即，还引入与具有相同量纲的量，记为，称为标准差或均方差。 显然方差的大小反映了随机变量取值的分散程度：方差越大，则取值越分散；方差越小，则取值越集中。对离散型随机变量。对连续型随机变量。对于方差，常用以下公式计算：。【例1】 设随机变量表示掷一颗骰子出现的点数，求的期望和方差。解 的分布律为 ，()。由期望的定义有 对于方差的计算：方法1直接由方差的定义式， 。方法2应用方差的常用公式，因为 所以 。一般来说，用方法2计算更方便些。【例1设随机变量分布，求。【例

8、2设随机变量分布，求。【例3设随机变量分布，求。【例4设随机变量分布，求。二、方差的性质 性质 (为常数)。性质 (为常数)，更一般有， (为常数)。性质3 若相互独立，则 。一般地，设是任意两个随机变量，则有。性质4 的充要条件是以概率1取常数，即【例5设随机变量分布，求。【例6设随机变量分布，求。【例7求活塞能装入汽缸的概率。【例设随机变量相互独立，且具有相同的数学期望和方差，令，求。三、切比雪夫不等式 定理 设随机变量具有数学期望，方差，则对于任意正数，不等式成立。 这不等式称为切比雪夫不等式，它也可写成如下形式；。【例估计夜间同时使用的灯的盏数在6800与7200之间的概率。§

9、;3协方差与相关系数一、协方差 定义1 称为随机变量与的协方差，记为，即。由定义知，对于任意两个随机变量和，有，。协方差有如下性质：（1）；（2）；（3），为任意常数；（4），为任意常数；（5）；（6）如果与相互独立，则。二、相关系数 定义2 设随机变量、的数学期望、方差都存在，称为随机变量与的相关系数，是一个无量纲量。令 ，称为的标准化随机变量。易知，。又称为标准协方差。相关系数有如下性质：（1）；（2）的充要条件为，存在常数，使得。当时，称与不相关；当时，称与完全相关【例证明二维随机变量与不相关,但不是相互独立。【例设服从上的均匀分布，求。§4矩、协方差矩阵 定义 设和是随机变量

10、，若，存在，称它为的阶原点矩，简称阶矩。若，存在，称它为的阶中心矩。若，存在，称它为和的阶混合原点矩。若，存在，称它为和的阶混合中心矩。 二维随机变量有四个二阶中心矩 将它们排成矩阵形式称为二维随机变量的协方差矩阵。§5 二维正态分布定义 设二维连续性随机变量的联合概率密度为 ,其中都是常数，且，则称服从参数为的二维正态分布，记为可以证明，二维正态随机变量的边缘概率密度分别为 和 。进而不难证明：分别是的数学期望，分别是它们的标准差，是它们的相关系数。二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，且都不依赖于相关系数。这表明单由关于和的边缘分布，一般不能确定和的联合分布。但当，即和互不相关时，就有即和相互独立。此时，由关于和的边缘分布，能唯一确定和的联合分布。下面列出二维正态随机变量的四条十分有用的性质：（1）当时，；反之，如果和相互独立，且，则。（2）当时，对任意不全为零的常数，有。特别，当和相互独立，