概率统计第四章 随机变量的数字特征

1、第四章 随机变量的数字特征知道了随机变量的概率分布也就知道了它的全部统计特性然而，在许多实际问题中，随机变量的概率分布往往不易求得，也有不少实际问题并不需要我们知道随机变量的全部统计特性，而只需要知道它的某些主要统计特征举例：学生成绩首先要知道平均成绩，其次又要注意各个学生的成绩与平均成绩的偏离程度. 平均成绩越高，偏离程度越小，学生学习成绩就越好。我们把表示随机变量某些特征的数值称为随机变量的数字特征，它们反映了随机变量的某些本质属性许多重要的分布往往由这些数字特征唯一确定本章主要介绍数学期望、方差、相关系数和矩第一节 数学期望一 数学期望的定义 1. 引例 设有十个数字1，1，2，2，2，

2、3，3，3，3，4 以表示平均值，则有又可以写成。显然，这里的实际上是数字1，2，3，4在这十个数字中所占的份额，我们可以称之为这四个数字的“权重”，所以上式又可称为是1，2，3，4这四个数字的加权平均数。再换一个角度，设想这是十张写有数字的卡片，随机从中取出一张，观察到的数值为，则它是一个随机变量，它的可能取值为1，2，3，4，而它的分布律为：因此，实质上就是随机变量的取值的平均数。受此问题的启发，引出如下数学期望的定义.2数学期望（Mathematical expectation）或均值(Mean的定义1）定义 设是离散型随机变量，其概率函数为如果级数绝对收敛，则定义的数学期望为 ；2）定

3、义 设为连续型随机变量，其概率密度为，如果广义积分 绝对可积，则定义的数学期望为.【注1】 数学期望即随机变量的平均取值，它是所有可能取值以概率为权重的加“权”平均考察随机变量的平均取值【注2】连续型随机变量的数学期望和离散型随机变量的数学期望的实质是相同的：相当于；相当于；相当于.【注3】 物理解释：数学期望重心设有总质量为的个质点构成的质点系，记点在轴上的坐标为，质量为，求该质点系的重心坐标.解：记质点系的重心坐标为，于是，这里是在点处的质量占总质量的比重，因此是以为权的加“权”平均例 甲、乙两人作射击比赛，命中环数分别为，它们的分布律分别为 问：哪一个射手的本领较好？解 （环）（环）显然

4、,，因此甲比乙的本领要好些例2 设随机变量X的密度函数为：，求解：.二 随机变量函数的数学期望 1.定义 设为离散型随机变量，其概率函数，为连续函数，且级数绝对收敛，则的函数的数学期望为 2定义 设为连续型随机变量，其概率密度为，如果广义积分 绝对收敛，则的函数的数学期望为：.例3.设离散型随机变量X的分布律如下，求：.X0 1 2 P3/10 6/10 1/10解：.例4.设风速X是一个随机变量，在0，上服从均匀分布，而飞机的两机翼受到的压力Y与风速X的平方成正比，即，求：.解：X的密度函数为，而，所以.三 数学期望的性质 1. (其中c为常数；2. (其中c为常数； 3. ； 4. 如果X

5、与Y相互独立，则.例4. 若X的数学期望E（X）存在，求： 解：第二节 方差与标准差一 方差（Variance）与标准差(Standard deviation的概念 1方差与标准差的定义定义 设是随机变量，若存在，则称为的方差，记为或，即随机变量的标准差定义为方差的算术平方根，记为从定义中可清楚地看出：方差实际上是随机变量X 的函数的数学期望，于是当为离散型随机变量，其方差为 ；当为连续型随机变量，其方差为 .【注1】方差描述的是随机变量取值的波动程度，或随机变量偏离均值的程度2.计算方差的简便公式：利用数学期望的性质，可以得到：.因此，方差的计算常常用简便公式：例1 设， 求：解：=0；所以

6、：.二 方差的性质 1. (c是常数； 2. (c是常数；3. (c是常数；4. 如果与独立，则这个结论可以推广到有限个相互独立的随机变量的情况：设相互独立，则有.例2.设两个相互独立的随机变量与 ，它们的方差分别为4和2，求解：.例3. 随机变量X有，且已知求解：由，故：.三 常用分布的数学期望与方差分布名称数学期望方差0-1 分布pp(1p二项分布npn p (1p泊松分布(均匀分布指数分布 Exp(正态分布 N(, 22例4. 设随机变量X在区间上服从均匀分布，求解： ， ；.例5. 设随机变量X服从参数为的二项分布，求解：由二项分布的定义可知：随机变量X表示重贝努里试验中事件A发生的次

7、数，且在每次试验中A发生的概率为.现在引进随机变量，表示在第次试验中A发生；表示在第次试验中A不发生，则.由于各次试验的独立性，且 ，可得：，所以：；.【注2】当直接求某个随机变量的数学期望或方差有困难或计算麻烦时，一个较为有效的处理技巧是把它分解成若干容易求数学期望或方差的随机变量的和，从而可以方便地求出该随机变量的数学期望或方差。四 切比雪夫（Chebyshev）不等式切比雪夫定理 对于随机变量，则对于任意>0， 或 切比雪夫（Chebyshev）不等式（证略）【注2】 从定理中看出，越小，随机变量取值于中的概率就越大，这就说明方差是一个反映随机变量的概率分布对其分布中心(的集中程度

8、的数量指标【注3】 利用切比雪夫不等式，可以在随机变量的分布未知的情况下估算事件的概率(只不过精度太差切比雪夫不等式在理论上的意义更大一些.例6.设随机变量X的数学期望方差，若，求及.解： 这说明：具有数学期望为0，方差为1.称Y为X经标准化后的随机变量.例7. 设随机变量相互独立，服从相同的分布，且，求 的数学期望和方差.解： ； .例8. 某批产品的次品率为0.04，试用切比雪夫不等式估计15000件产品中，次品数在500700件之间的概率.解：设次品数为X，则X服从二项发布，所以；，即，其中.由切比雪夫不等式 可得：.* 第三节 矩、协方差及相关系数 一. 协方差(Covariance设

9、为二维随机变量，随机变量的协方差定义为计算协方差常用下列公式：当时，协方差具有下列性质：(1 (c是常数；(2 ；(3 (是常数；(4 【注1】【注2】【注3】二 相关系数(Correlation coefficient）随机变量的相关系数定义为相关系数反映了随机变量与之间线性关系的紧密程度，当越大，与之间的线性相关程度越密切，当时，称与不相关相关系数具有下列性质：(1 ；(2 的充要条件是，其中为常数；(3 若随机变量与相互独立，则与不相关，即，但由不能推断与独立(4 下列5个命题是等价的： (i ；(ii ；(iii ；(iv ；(v 利用协方差或相关系数可以计算【注4】的大小反映了与之间的线性关系若，则说与间正相关（，完全正相关）；若，则说与间负相关（，完全负相关）【注5】与不相关表示与之间不存在线性关系【注6】与不相关【注7】若与相互独立，则与不相关反之不然，反例见教材三 k阶原点矩与k阶中心矩随机变量的阶原点