边界条件随时间变化的热传导问题的一种近似解法

1、边界条件随时间变化的热传导问题的一种近似解法第33卷第2期Vo1.33No.2菏泽学院JournalofHezeUniversity2011年3月Mar.20ll文章编号:16732103(2011)02004805边界条件随时间变化的热传导问题的一种近似解法袁国静一,令锋(1.内蒙古212业大学理学院,内蒙古呼和浩特010051;2.肇庆学院计算机学院,广东肇庆526061)摘要:在热平衡积分法和改进的热平衡积分法的基础上,提出了一种求解热传导问题的新方法.应用此方法求解边界条件随时间变化的热传导问题,结果表明:此方法计算过程简单且计算精度高.关键词:热传导;固定温度边界条件;线性温度边界条

2、件中图分类号:0241.82文献标志码:A引言热平衡积分法(HeatBalanceIntegralMethod;HBIM)是Goodman提出的解决热传导问题的一种解析方法.即通过对导热微分方程在f时刻的摄动深度()关于空问变量积分得到一个积分方程,选取满足边界条件的函数代人积分方程,求得整个区域的温度分布.用简单函数来近似描述温度场,计算难度低于分析解法,计算速度快于数值解法,且计算精度较高,这使其在导热问题的求解中被广泛应用.改进的热平衡积分法(RefinedIntegralMethod;RIM)是Sadoun等人提出的一种半解析方法.即通过对导热微分方程关于空间变量积分2次并结合传统的热

3、平衡积分方程得到一个新的积分方程,选取满足边界条件的函数代入这个积1叮'分方程,求得整个区域的温度分布.该方法建立在前人提到的改进积分基础上J,避免了在=0处产生ox的误差,在一定Stefan数范围内该方法比其他解析方法显示出更高的准确性2J.近似函数的选择是应用热平衡积分法及改进的热平衡积分法需要考虑的关键问题,大多数学者采用的形式为多项式函数和指数函数一J,Goodman最先提出选用二次函数,同时也提及三次函数的情况J,Antic和Hill在2003年研究谷物储藏的扩散问题中采用的三次函数.Langrd介绍了测量误差函数E()=,T'2,2f,I警一ldx,使E(f)最小化

4、得到n的值.在相同的条件下由测量误差函数确定,t值得到的解较先前nua值得到的解显示出更高的精确性J,但是求解n值的代数计算过程较繁琐,首先须对假设的近似温度分布函数求得对t和的偏导数,然后代人E(t)取平方后在区间0,上积分求得关于6,6和凡的复杂的表达式,把通过热平衡积分法和改进的热平衡积分法求得的摄动深度代人求得的表达式,最后对(f)求最小化得到n的值.本文在热平衡积分法和改进的热平衡积分法的基础上,提出了一种求解热传导问题的新方法,应用此方法求解了边界条件随时间变化的热传导问题,结果表明:此方法计算精度高且计算过程简单.48收稿日期:2011119基金项目:广东省自然科学基金资助项目(

5、04011600)作者简介:袁国静(1983一),女,山东潍坊人,在渎硕士研究生,研究方向:相变热传导问题.令锋(1963一),男,陕西岐山人,教授,博士,硕士研究生导师,研究方向:冰川冻土2011年袁国静,等:边界条件随时间变化的热传导问题的一种近似解法第2期1模型方程边界条件随时间变化热传导问题的半无限大区域模型方程如下:OT:磐0<<afaT=0T:(t)塑一0a对任意西(t)解析解可表示为:t=0=0(1)(2)(3)(4)():f业孚dA(5)21T如(tA)丁由于对随时间变化的边界条件咖(t),式(5)的求解过程繁琐甚至很多情况下的结果无法求得,故考虑求

6、解过程相对简单的近似解.2近似解法介绍为保证近似解与温度场光滑融合,近似温度分布函数需满足T(6,t)=0,(6,t)=0,假设温度近似函数为:=()(1一(6)2.1热平衡积分法将式(1)关于空间变量积分,有:OT,dx=Ox(7),整理得:一乳.将式(6)代人式(8)得:dt【1】=6(9)【n+J2.2改进的热平衡积分法将式(1)关于空间变量积分两次,有:(=(一:.)整理得:6r一广:一f一6一OTI(11)JoOt.OtJ:oc3xJ:0将式(1)代人式(11)左边第一项,整理得:UoTd:r(o,)(12)将式(6)代人式(12)得:201I丘菏泽学院第2期f】=(13i2)d【(

7、n十)(n+)J丫将不同的温度边界条件代人式(9),式(13)求得摄动深度,令两式求得的结果相等得/7,值.3边界条件随时间变化条件下的近似解Sadoun在文献2中研究了固定温度边界条件和线性温度边界条件两种情形,本文以这两种情形为例研究热传导问题.3.1固定温度边界条件(t)=I将条件(t)=l代人式(13)并积分得:=(14)式(9)中假定n是常数,将条件()=l代人式(9)并积分得:=(15)令式(14)和式(15)相等得n=2,可见结果与假设相符合.将(t)=I代人式(5)得精确解:T:erfc(16)2f在固定温度边界条件(t)=1且t:I,取不同值时温度r的精确解,与本文方法解的比

8、较,见表I.表1温度精确解和本文方法解比较3.2线性温腰边界条件西(t)=lt将条件()=It代入式(13)并积分得:6=/(n+1)(n+2)(2t-t2)?(17)式(9)中假定n是常数,将条件()=1一f代人式(9)并积分得:6=,【l一(1一f)】(18)令式(17)和式(18)相等得n=,可见n不是常数且n=n(),故利用假设得到的式(I8)结果有误,此问题需转向讨论随时问变化的n值.将本文方法应用于随时间变化的边界条件,假设n:几(t),则式(9)和式(13)分别转化为下面的式(19)和式(20):咖掌一:一币(19)一面一中cD2011年袁国静,等:边界条件随时间变化的热传导问题

9、的一种近似解法第2期24,d6一揣=)式(19)和(20)可简化为式(21)和式(22):+1)【)+】('1)=(凡+1)(n+2)(n+1)(2+】(22)对一般的()和随时间变化的n()需确定初始条件n(o).考虑实际,假定时一,.(n.是非零常数),替换和n.到式(13)积分得:12南1(23)(0+)(凡0+)+J由式(23)得:)将式(24),咖和/,.代人式(9)积分得:(_+JB)(+2)no(25)由上式可见方程独立于f,说明假设凡一凡.合理.由上式得:n0=+2(26)故咖(t)=1一时,当时咖一l,得出卢=0,n.=2.对线性边界条件()=1一,式(9),式(13

10、)转化为:【】=,一ddtT/,1dt-I-14-2=)【+J'【(凡)fn)J一,'一/上式第二个方程可直接解析积分,第一个方程进行数值估计,初始值n(O)=2,a(o)=O.将()=1一t代人式(5)得精确解:(,一一等)errc+e)在线性温度边界条件咖()=1一且0.2,取不同值时,温度的精确解与本文方法解的比较(n(0.2)=1.3672).见.表2.表2温度精确解和本文方法解比较4结语本文提出的方法代数计算过程简单.由表l,表2可看出,在固定温度边界条件和线性温度边界条件下,5l2011血菏泽学院第2期本文方法得到的近似解与精确解的相对误差较小.参考文献:1Good

11、manTR.TheheatbalanceintegralanditsapplicationtoproblemsinvolvingachangeofphaseJ.TransAsmeJournalofHeatTransfer,1958,8O:335342.2SadoaaN,SiAhmedE,ColineTP.OntherefinedintegralmetilodfortheonephaseStefanproblemwithtimedependentboundaryconditionJ.AppliedMathematicalModeling,2006,30:531544.3SadounN,SiAhm

12、edE.AnewanalyticalexpressionofthefreezingconstantintheStefanploblemwithinitialsuperheatJ.NumerMethThermProbl,1995,9:843854.4MosallyF,WoodAS,AIFhaidA.AnExponentialHeatBalanceIntegralMethodJ.AppliedMathematicsandComputation,2002,l30:87100.5LangordD.TheHeatBalanceIntegralMethodJ.Int.J.HeatMassTransfer,

13、1973.16:24242428.6CrankJ.ThemathematicsofDiffusionM.Oxford:ClarendonPress,1964:310325.7AnticA,HillJM.ThedoublediffusivityheattransfermodelforgrainstoresincorporatingmicrowaveheatingJ.ApplMathModel,2003,27:629647.8MyersTG.OptimalexponentheatbalanceandrefinedintegralmethodsappliedtoStefanproblemsJ.Hea

14、tMassTransfer,2010.53:1l1911279CarslawHS,JaegerJC.HeatinsolidsM.Oxford:ClarendonPress,1959:5091.AnapproximateSolutiontotheHeatConductionProblemwiththeTimedependentBoundaryConditionsYUANGuojing'-.LINGFeng2(1.CollegeofSciences,NeimengguIndustrialUniversity,HuhehaoteNeimenggu010051,China;2.SchoolofComputer,ZhaoqingUniversity,ZhaoqingGaangdong526061,China)Abstract:Anewmethodforsolvingheatconductionproblemisprovidedbasedonheatbalanceintegralmeth.odandrefinedintegralmethod.Theheatconductionproblemwithtimedependentboundaryconditionsissolved