圆锥曲线题型总结

1、直线和圆锥曲线常考题型运用的知识: 1、中点坐标公式:1212,y 22x x y y x +=,其中,x y 是点1122(,(,A x y B x y ,的中点坐标。2、弦长公式:若点1122(,(,A x y B x y ,在直线(0y kx b k =+上,则1122y kx b y kx b =+=+,这是同点纵横坐标变换,是两大坐标变换技巧之一,AB = = 或者AB = = 3、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直:则121k k =-两条直线垂直,则直线所在的向量120v v =4、韦达定理:若一元二次方程20(0ax bx c a +

2、=有两个不同的根12,x x ,则1212,b c x x x x aa+=-=。常见的一些题型:题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二:弦的垂直平分线问题 题型三:动弦过定点的问题题型四:过已知曲线上定点的弦的问题 题型五:共线向量问题 题型六:面积问题题型七:弦或弦长为定值问题 题型八:角度问题问题九:四点共线问题问题十:范围问题(本质是函数问题 问题十一、存在性问题:(存在点,存在直线y=kx+m ,存在实数,存在图形:三角形(等比、等腰、直角,四边形(矩形、菱形、正方形,圆题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22:14x

3、yC m+=始终有交点,求m 的取值范围解:根据直线:1l y kx =+的方程可知,直线恒过定点(0,1,椭圆22:14xyC m+=过动点04m ±(,且,如 果直线:1l y kx =+和椭圆22:14xyC m+=14m ,且,即14m m 且。 规律提示:通过直线的代数形式,可以看出直线的特点: :101l y kx =+过定点(, :(11l y k x =+-过定点(,0 :2(11l y k x -=+-过定点(,2 题型二:弦的垂直平分线问题例题2、过点T(-1,0作直线l 与曲线N :2y x =交于A 、B 两点,在x 轴上是否存在一点E(0x ,0,使得ABE

4、 是等边三角形,若存在,求出0x ;若不存在,请说明理由。 解:依题意知,直线的斜率存在,且不等于0。设直线:(1l y k x =+,0k ,11(,A x y ,22(,B x y 。由2(1y k x y x=+=消y 整理,得2222(210k x k x k +-+= 由直线和抛物线交于两点,得2242(214410k k k =-=-+> 即2104k <<由韦达定理,得:212221,k x x k-+=-121x x =。则线段AB 的中点为22211(,22k kk-。线段的垂直平分线方程为: 221112(22k y x kk k-=-令y=0,得0211

5、22x k=-,则211(,022E k-A B E 为正三角形,211( ,022E k-到直线AB 的距离d B 。AB = k=2d k= 2 22kk=解得13k =±053x =。 题型三:动弦过定点的问题例题3、已知椭圆C :2222 1(0x y a b ab+=>>的离心率为2,且在x 轴 上的顶点分别为A 1(-2,0,A 2(2,0。 (I 求椭圆的方程;(II 若直线:(2l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点,直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点,试问直线MN 是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论

6、解:(I 由已知椭圆C 的离心率2c e a=,2a =,则得1c b =。从而椭圆的方程为2214xy += (II 设11(,M x y ,22(,N x y ,直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为1(2y k x =+,由122(244y k x x y =+=消y 整理得222121(14161640kx k x k +-=12x - 和是方程的两个根,21121164214k x k-=+则211212814k x k-=+,1121414k y k =+,即点M 的坐标为2112211284(,1414k k k k -+,同理,设直线A 2N 的斜率为k 2,则

7、得点N 的坐标为2222222824(,1414k k kk-+12(2,(2p p y k t y k t =+=- 12122k k k k t-=-+, 直线MN 的方程为:121121y y y y x x x x -=-,令y=0,得211212x y x y x y y -=-,将点M 、N 的坐标代入,化简后得:4x t= 又2t > ,402t<<椭圆的焦点为04t=3t = 故当3t =时,MN 过椭圆的焦点。题型四:过已知曲线上定点的弦的问题 例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E :22221x y ab+= (0a b >>上的三点,其中点

8、A 0是椭圆的右顶点,直线BC 过椭圆的中心O ,且0AC BC =,2BC AC =,如图。(I求点C 的坐标及椭圆E 的方程;(II若椭圆E 上存在两点P 、Q ,使得直线PC 与直线QC关于直线x =PQ 的斜率。 解:(I 2BC AC =,且BC 过椭圆的中心O O C AC = 0AC BC = 2A C O =又0 点C 的坐标 为。 A 0是椭圆的右顶点,a =222112xy b+= 将点C 代入方程,得24b =,椭圆E 的方程为221124xy+= (II 直线PC 与直线QC关于直线x = 设直线PC 的斜率为k ,则直线QC 的斜率为k -,从而直线PC 的方程为:(

9、y k x -=-,即y kx k =+-,由223120y kx k x y =+-+-=消y ,整理得: 222(13(191830k x k x k k +-+-=x = 22918313P k k x k-=+即29183P k k x -=29183Q k k x +-= P Q P Q y y kx k kx k -=+-+-+=(P Q k x x +- 22P Q x x -=-13P Q PQ P Qy y k x x -=- 则直线PQ 的斜率为定值13。题型五:共线向量问题例题5、设过点D(0,3的直线交曲线M :22194xy+=于P 、Q 两点,且D P D Q l

10、=uuu r uuu r,求实数l 的取值范围。解:设P(x 1,y 1,Q(x 2,y 2,Q D P D Q l =uuu r uuu r(x 1,y 1-3=l (x 2,y 2-3即12123(3x x y y l l ì=ïïíï=+-ïïî判别式法、韦达定理法、配凑法设直线PQ 的方程为:3,0y kx k =+,由2234936y kx x y =+=消y 整理后,得 22(4954450k x kx += P 、Q 是曲线M 上的两点22(54445(49k k =-+=2144800k - 即29

11、5k 由韦达定理得:1212225445,4949k x x x x kk+=-=+ 212121221(2x x x x x xxx+=+222254(145(49kk +=+即22223694415(199k kk+=+ 由得211095k<,代入,整理得 236915(15<+, 解之得155<<当直线PQ 的斜率不存在,即0x =时,易知5=或15=。总之实数l 的取值范围是1,55。题型六:面积问题例题6、已知椭圆C :12222=+by ax (a >b >0的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。(求椭圆C 的方程;(设直线l 与椭圆C

12、 交于A 、B 两点,坐标原点O 到直线l 的距离为23,求AOB 面积的最大值。解:(设椭圆的半焦距为c,依题意3c a a =1b =,所求椭圆方程为2213xy +=。 (设11(A x y ,22(B x y ,。(1当A B x 轴时,AB =。 (2当A B 与x 轴不垂直时, 设直线A B 的方程为y kx m =+=223(14m k =+。 把y kx m =+代入椭圆方程,整理得222(316330k x km x m +-=,122631km x x k -+=+,21223(131m x x k -=+。22221(1(ABk x x =+-22222223612(1(

13、1(3131k m m k k k -=+-+22222222212(1(313(1(91(31(31k k m k k k k +-+=+2422212121233(034196123696kk k k k k=+=+=+。当且仅当22 19k k=,即3k =±时等号成立。当0k =时,AB =, 综上所述max2AB=。当A B 最大时,A O B 面积取最大值m ax 1222S AB=。题型七:弦或弦长为定值问题例题7、在平面直角坐标系xOy 中,过定点C (0,p 作直线与抛物线x 2=2py (p>0相交于A 、B 两点。(若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点

14、,求ANB 面积的最小值;(是否存在垂直于y 轴的直线l ,使得l被以AC 为直径的圆截得弦长恒为定值?若存在,求出l 的方程;若不存在,说明理由。 (依题意,点N 的坐标为N (0,-p ,可设A (x 1,y 1,B (x 2,y 2,直线AB 的方程为y=kx+p,与x 2=2py 联立得+=.22p kx y py x 消去y 得x 2-2pkx-2p 2=0.由韦达定理得x 1+x 2=2pk,x 1x 2=-2p 2.于是21221x x p S S S ACN BCN ABN -=+= =21221214(x x x x p x x p -+=-=.228422222+=+k p

15、 p k p p222min 0p S k ABN =时,(当.(假设满足条件的直线l 存在,其方程为y=a,AC 的中点为为直与AC t O ,'径的圆相交于点P 、Q ,PQ 的中点为H ,则点的坐标为(2,2,11p y x O PQ H O +''2121(2121p y x AC P O -+=' =22121p y +.,221211p y a p y a H O -=+-='222HO PO PH'-'=212212(41(41p y a p y -+=,(2(1a p a y p a -+- 222(PH PQ=.(2(4

16、2-+-a p a y p a令02=-p a ,得p PQ p a =此时,2为定值,故满足条件的直线l 存在,其方程为2p y =,即抛物线的通径所在的直线.解法2:(前同解法1,再由弦长公式得 22222122122128414(11p k p k x x x x k x x k AB +=-+=-+=.21222+k k p又由点到直线的距离公式得212kp d +=.从而,2212212212122222+=+=k pkp k k p AB d S ABN.22max 02p S k ABN =时,(当(假设满足条件的直线t 存在,其方程为y=a ,则以AC 为直径的圆的方程为,0(

17、0(11=-y y p y x x x 将直线方程y=a 代入得.(12(4(4,0(121112a p a y p a y a p a x y a p a x x x -+-=-=-=则 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为P (x 2,y 2,Q (x 4,y 4,则有 .(2(2(2(41143a p a y p a a p a y p a x x PQ -+-=-+-=-=令p PQ p a p a =-此时得,2,02为定值,故满足条件的直线l 存在,其方程为2p y =.即抛物线的通径所在的直线。题型八:角度问题例题8、(如图(21图,M (-2,0和N (2,0是平面上的两点,

18、动点P 满足: 6.PM PN +=(求点P 的轨迹方程;(若2·1cos PM PN M PN-=,求点P 的坐标.解:(由椭圆的定义,点P 的轨迹是以M 、N 为焦点,长轴长2a =6的椭圆. 因此半焦距c =2,长半轴a =3,从而短半轴b =221.95xy+=(由2,1cos P M P N M P N=- 得cos 2.PM PN M PN PM PN =- 因为cos 1,MPN P 不为椭圆长轴顶点,故P 、M 、N 构成三角形.在PMN 中,4,M N =由余弦定理有 2222cos .M NPMPNPM PN M PN =+- 将代入,得 22242(2.PM P

19、NPM PN =+-故点P 在以M 、N 为焦点,实轴长为2213xy -=上.由(知,点P 的坐标又满足22195xy+=,所以由方程组22225945,3 3.x y x y +=+= 解得22x y =±= 即P 点坐标为22222222-、-、(-或(-.问题九:四点共线问题 例题9、设椭圆2222:1(0x y C a b ab+=>> 过点M ,且着焦点为1(0F(求椭圆C 的方程;(当过点(4,1P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时,在线段A B 上取点Q ,满足AP Q B AQ PB = ,证明:点Q 总在某定直线上解 (1由题意:222

20、2222211c ab c a b =+=-,解得224,2a b =,所求椭圆方程为 22142x y +=(2方法一设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,(,(,x y x y x y 。由题设知,AP PB AQ Q B 均不为零,记A P A QP B Q B=,则0>且1又A ,P ,B ,Q 四点共线,从而,AP PB AQ Q B =-=于是 1241x x -=-, 1211y y -=- 121x x x +=+, 121y y y +=+从而22212241x x x -=-, (12221221y y y -=-, (2又点A 、B 在椭圆C 上,即22112

21、4,(3x y += 222224,(4x y +=(1+(2×2并结合(3,(4得424s y += 即点(,Q x y 总在定直线220x y +-=上 方法二设点1122(,(,(,Q x y A x y B x y ,由题设,PA PB AQ Q B均不为零。且 P A P B A Q Q B=又 ,P A Q B 四点共线,可设,(0,1PA AQ PB BQ =-=±,于是1141,11x y x y -=- (1 2241,11x y x y +=+ (2由于1122(,(,A x y B x y 在椭圆C 上,将(1,(2分别代入C 的方程2224,x y

22、+=整理得222(244(22140x y x y +-+-+= (3 222(244(22140x y x y +-+-+= (4(4-(3 得 8(220x y +-= 0,220x y +-=即点(,Q x y 总在定直线220x y +-=上问题十:范围问题(本质是函数问题设1F 、2F 分别是椭圆1422=+yx的左、右焦点。(若P 是该椭圆上的一个动点,求1PF ·2PF 的最大值和最小值;(设过定点2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ,且AOB 为锐角(其中O 为坐标原点,求直线l 的斜率k 的取值范围。解:(解法一:易知2,1,a b c =所以(12

23、0,0F F ,设(,P x y ,则 (2212,3PF PF x y x y x y =-=+-(2221133844xx x =+-=- 因为2,2x -,故当0x =,即点P 为椭圆短轴端点时,12PF PF 有最小值2- 当2x =±,即点P 为椭圆长轴端点时,12PF PF 有最大值1解法二:易知2,1,a b c =(120,0F F ,设(,P x y ,则 2221cos 2PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF +-=(22222211232x y x y x y =+-+-=+-(以下同解法一 (显然直线0x =不满足题设条

24、件,可设直线(1222:2,l y kx A x y B x y =-,联立22214y kx x y =-+=,消去y ,整理得:2214304k x kx += 12122243,1144k x x x x k k +=-=+由(2214434304k k k =-+=-> 得:2k <或2k >- 又00090cos 000A B A B OA OB <<>> 12120OA OB x x y y =+>又(22223841144kk k k -=+22114k k -+=+2223101144k k k -+>+,即24k <

25、 22k -<< 故由、得22k -<<-22k <<问题十一、存在性问题:(存在点,存在直线y=kx+m ,存在实数,存在图形:三角形(等比、等腰、直角,四边形(矩形、菱形、正方形,圆 设椭圆E:22221x y ab+=(a,b>0过M (2,两点,O 为坐标原点, (I 求椭圆E 的方程;(II 是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。 解:(1因为椭圆E:22221x y ab+=(a,b>0过M (2,1两点, 所以2

26、222421611a b a b +=+=解得22118114a b=所以2284a b =椭圆E 的方程为22184x y +=(2假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ,设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组22184x y y kx m +=+得222(8x kx m +=,即222(124280k x km x m +-=,则=222222164(12(288(840k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>12221224122812km x x k m x x k +=-+-=+,2222

27、2222212121212222(2848(121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m kkk-=+=+=-+=+要使OA OB ,需使12120x x y y +=,即2222228801212m m k k k -+=+,所以223880m k -=,所以223808m k -=又ì m2 > 2 8 2 6 2 6 2 8k 2 - m2 + 4 > 0 ,所以 í 2 ,所以 m ³ ,即 m ³ 或m£- ,因为直线 y = kx + m 为圆心在原点的 3 3 3 î 3m ³ 8 圆的一条切线,所以圆的半径为 r = m 1+ k 2 ,r = 2 m2 = 1+ k 2 8 m2 8 2 6 2 2 = ,r = ,所求的圆为 x + y = ,此 2 3m - 8 3 3 3 1+ 8 时 圆的 切线 y = kx + m 都 满 足 m ³ 2 6 2 6 2 6 或m£- , 而当 切线 的斜 率不 存在 时切 线为 x = ± 与 椭圆 3 3 3 uuu uuur r x2 y 2 2 6 2 6 2 6 2 6 + =1 的两个交点为 ( ,± 或 (- ,± 满