圆锥曲线——椭圆

1、圆锥曲线椭圆刘 忠（江西省永丰中学） 圆锥曲线椭圆双曲线抛物线圆锥曲线统一定义椭圆及其标准方程椭圆的几何性质双曲线及其标准方程抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程抛物线的几何性质知识框架81 椭圆复习要求 高 考 资 源 网w w w.k s 5 u.c o m掌握椭圆的两个定义，标准方程和椭圆的简单几何性质；理解椭圆的参数方程；能根据条件求椭圆方程；会利用椭圆的标准方程求出椭圆的焦点、顶点、离心率、准线方程及解决一些简单的实际问题基础题解1已知点P是椭圆上的点，若点P到椭圆右准线的距离是，则点P到左焦点的距离等于（B）（A） （B） （C） （D）提示：利用椭圆的两个定义2若椭圆的准线平行于

2、x轴，则m的范围是（D）（A） （B）（C）且m1 （D）且m0提示：由及m0，可得3在椭圆上取三点，其横坐标满足，三点顺次与某一焦点连结的线段的长是，则有（A）（A）成等差数列（B）成等比数列（C）成等差数列（D）成等比数列提示：利用焦半径公式，由已知, 4已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（D）（A） （B）3 （C） （D）提示：直角顶点不可能是P5若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线的焦点分成5：3的两段，则此椭圆的离心率为（D）（A） （B）（C） （D）提示：依题意6椭圆的焦点F1

3、、F2，点P为椭圆上的动点，当时，点P的横坐标的取值范围是提示：设P（x，y），由-57已知椭圆内有一点P（1，-1），F是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M，则 取最小值时， M点坐标是提示：，作PN右准线于N，PN与椭圆的交点即为所求M点例题评讲例1 根据下列条件，写出中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆方程；（1）准线方程为，离心率为；（2）经过点、；（3）长轴长是短轴长的2倍，焦距为解：（1）显然焦点在x轴上，设椭圆方程为，由条件有，又，解得所求椭圆方程为（2）设椭圆方程为将M、N点坐标分别代入，得 ，联立解得m=1，所求椭圆方程为评注：处理不明焦点位置的椭圆标准方程时，用一般方程可避免分类讨

4、论（3）由已知得，又由得，所求椭圆方程为或评注：下结论时，要注意焦点位置例2 已知椭圆，A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点证明：解：设A、B的坐标分别为和，因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB不平行于y轴，即，又交点为故即， A、B在椭圆上，将上式代入得： ，可得且，故评注：根据曲线的范围建立不等关系是解析几何中求变量范围的一种途径实际上，这也是许多学生往往容易忽视的一种思维方法例3 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF2=600（1）求椭圆离心率的范围；（2）求证F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关解法一：设椭圆方程为，P点坐标为（1），在F1P

5、F2中，由此解得，解得椭圆离心率（2），解法二：设，由题设（1）在F1PF2中，应用正弦定理，得 ，故，当且仅当时，取等号，（2）在F1PF2中，由余弦定理得，又，.评注：椭圆上的点与两个焦点F1、F2所成的三角形，常称为焦点三角形，解焦点三角形问题经常使用三角形边角关系定理解题中，通过变形，使之出现，这样便于运用椭圆的定义，得到a、c关系，找到解题的思路例4 如图8-1，已知椭圆，直线，P是直线上一点，射线OP交椭圆于点R，点Q在OP上，且满足，点P在直线上移动时，求点Q的轨迹方程分析：因O、Q、R、P四点共线，则= ,由点R、P的运动轨迹，消去、（均为正实数），可求出点Q的轨迹方程解：设（

6、、为正实数），则故 ，即，P、R点分别在已知直线与椭圆上，即为，将、代入得，即（x，y不同时为0）故所求的轨迹方程为2评注：借助于向量求解，可减少运算量例5 设（n3，nN）是二次曲线C上的点，且 ，构成了一个公差为d（d0）的等差数列，其中O是坐标原点记（1）若C的方程为点P1（10，0）及S3=255，求点P3的坐标；（只需写出一个）（2）若C的方程为点P1（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求Sn的最小值解：（1），由 ，得由得点P3的的坐标可以为（2）解法一：原点O到二次曲线C： 上各点的最小距离为b，最大距离为a，d1），其右焦点为F（c，0），到直线的距离为,，故椭圆的

7、方程为（2）设M（x，y）是椭圆上一点，则，于是 ，即 是关于y的二次函数，其图象为开口向下的抛物线，对称轴方程为，点在椭圆上，-1y1当，即m2时，=+为最大值 ；当， 为最大值；当，即时，为最大值8如图83，已知OFQ的面积为S，且（1）若，求向量与的夹角的取值范围；（2）设, ，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当取得最小值时，求此椭圆方程解：（1）由已知得两式相除，得，（2）以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，设椭圆方程为，点Q的坐标为，则OFQ的面积为. 又由，得 ，记，则=，c2，在上递增当时，最小，此时Q点坐标为，由此可得， =4所求椭圆方程为9已知平面上一定点C（-1

8、，0）和一定直线 -4，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，（1）问点P在什么曲线上？并求出该曲线方程；（2）过点C作直线交点P的轨迹于A、B两点，若，求；（3）若在第（2）小题中，将条件“”改为“”，请求出的取值范围解：（1）设P，则，化简得（2）椭圆的左焦点C（-1，0），左准线，离心率，设A、B、C在左准线上的射影分别为A1、B1、C1，B在x轴、AA1上的射影分别为E、D（如图），设，则， BECBDA， ，+ ，= （3），评注：要重视“平几”在解题中的作用10椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线l与x轴相交于点A，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点（1）求椭圆的方程及离心率；（2）由，求直线PQ的方程；（3）设，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明：（1）解：由题意，可设椭圆的方程为由已知求得所以椭圆的方程为，离心率（2）