D101二重积分概念课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算 二重积分的概念与性质 第十章 D101二重积分概念第九章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重 积 分 目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念柱体体积柱体体积= =底面积底面积高高特点：平顶特点：平顶. .柱体体积柱体体积=？特点：曲顶特点：曲顶. .),(yxfz D曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出

2、目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念解法解法: 类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:0),(yxfz底：底： xOy 面上的闭区域 D顶顶: 连续曲面侧面：侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求求 极限极限” D),(yxfz 目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念D),(yxfz 1)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域n,21以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个k, ),(kk3)“近似和”nkkVV1nkkkk

3、f1),(),(kkf),2, 1(),(nkfVkkkk则中任取一点小曲顶柱体k),(kk目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念4)“取极限”的直径为定义kkk,PPPP2121max)(令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(yxfz ),(kkfk),(kk目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念2. 平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xOy 平面上占有区域 D ,),(Cyx计算该薄片的质量 M .度为),(),(常数若yx设D 的面积为 , 则M若),(yx非常数 , 仍可用其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求极限” 解决.

4、1)“大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区域,21n相应把薄片也分为小块 .DyxO目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念yx2)“常代变”中任取一点k在每个),(kk3)“近似和”nkkMM1nkkkk1),(4)“取极限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk),2, 1(),(nkMkkkk则第 k 小块的质量O目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念两个问题的共性共性：(1) 解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同“大化小, 常代变, 近似和,取极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积: 平面薄片

5、的质量: 目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:),(yxf设将区域 D 任意分成 n 个小区域),2,1(nkk任取一点,),(kkk若存在一个常数 I , 使nkkkkfI10),(lim可积可积 , ),(yxf则称Dyxfd),(),(yxfI为称在D上的二重积分二重积分.称为积分变量yx,积分和Dyxfd),(积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数 , 目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义

6、当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值的取法是任意的点),(ii目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念DyxfVd),(引例1中曲顶柱体体积:DyxMd),(引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,),(yxf元素d也常记作,ddyx二重积分记作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 这时分区域 D , 因此面积 可用平行坐标轴的直线来划 Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(yxO目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念二重积分存在定

7、理二重积分存在定理:若函数),(yxf),(yxf定理2.),(yxf上可在则Dyxf),(证明略)定理1.在D上可积可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续 ,积.在有界闭区域 D上连续, 则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如例如, yxyxyxf22),(在 D :10 x10 y上二重积分存在 ;yxyxf1),(但在D 上 二重积分不存在 . y1x1DO目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念三、二重积分的性质三、二重积分的性质Dyxfkd),(. 1( k 为常数)Dyxgyxfd),(),(. 2Dyxfd),(. 3, 1),(. 4yxfD上若在DDdd1 为D

8、 的面积, 则 ),(2121无公共内点DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(21d),(d),(DDyxfyxf目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念特别, 由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(则Dyxfd),(Dyxd),(5. 若在D上),(yxf, ),(yxDyxfd),(6. 设),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面积为 ,MyxfmDd),(则有目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念7.(二重积分的中值定理),(yxf设函数,),(D),(),(fdyxfD证证: 由性质6 可知,),(maxd),(

9、1),(minyxfyxfyxfDDD由连续函数介值定理, 至少有一点D),(Dyxffd),(1),(),(d),(fyxfD在闭区域D上 为D 的面积 ,则至少存在一点使使连续,因此目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念在在D上上 2220ayx ,12220ayxeee ,222)(aDyxede 解解 deDyx)(22 ab.2aeab 区域区域 D的面积的面积 , ab目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念例例2. 估计下列积分之值10:coscos100dd22yxDyxyxID解解: D 的面积为200)210(2由于yx22coscos1001积分性质

10、5100200 I102200即: 1.96 I 210101010D10011021xyO目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念例例3. 比较下列积分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中2) 1()2( :22yxD解解: 积分域 D 的边界为圆周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线.1相切 yx, 1 yx从而d)(d)(32DDyxyx而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上1y2x1OD目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念例例 4 4 比较积分比较积分 Ddyx )ln(与与 Ddyx 2)ln

11、(的大小的大小, 其中其中 D 是三角形闭区域是三角形闭区域, 三顶点各为三顶点各为(1,0),(1,1), (2,0).解解2 yx在在 D 内内有有 eyx 21,故故 1)ln( yx,于于是是 2)ln()ln(yxyx ,因因此此 Ddyx )ln( Ddyx 2)ln(.oxy121D目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念例例5. 判断积分yxyxyxdd1432222的正负号.解解: 分积分域为,321DDD则原式 =yxyxDdd11322yxyxDdd12322yxyxDdd133221ddDyxyxDdd1333)34(2323D32D11D0)21 (3猜想结

12、果为负 但不好估计 .舍去此项yxO目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念xyO8. 设函数),(yxfD 位于 x 轴上方的部分为D1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍1D在 D 上d),(21Dyxf在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分, 则有1:,221 yxDD 为圆域例如Dyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0D目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念如果积分区域为：如果积

13、分区域为：, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.)(1x )(2x ,ba1、利用直角坐标系计算二重积分、利用直角坐标系计算二重积分X X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念yyxfxxxbad),(d)()(21xbad 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx 故曲顶柱体体积为DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(00020

14、1截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱体的)(2xy)(1xy0 x),(yxfz zxyabDO记作记作 目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy Y Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念ydcd dycyxyyxD),()(),(21同样, 曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()(

15、)(21dcydOydcx)(2yx)(1yxy记作记作 目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念 X X型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y y轴的轴的直线与区域边界相交不多于两个交点直线与区域边界相交不多于两个交点. . Y Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点. .若区域如图，若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.321 DDDD则必须分割则必须分割. .目录 上页 下页 返回 结束 D101

16、二重积分概念xy 1例例 1 1 改改变变积积分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序.原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解积分区域如图积分区域如图目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念xy 222xxy 例例 2 2 改改变变积积分分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的的次次序序.原式原式 102112),(yydxyxfdy.解解积分区域如图积分区域如图目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念例例 3 3 改变积分改变积分)0(),(20222 adyyxfdxaaxxax 的次序的次序.axy2 解解= ayaaay

17、dxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念所围成的闭区域及、是由直线其中计算例xyxyDxydD21,4811Dxyd解法一：dxxydyx 211dxydyxx 211 dxyxx121221dxxx212121dxxx213)(2124214121xx 目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念811Dxyd解法二：dyxydxy 212dyxdxyy 212 dxxyy221221dyyy212421dyyy213

18、)4(213241221yy目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念解：原式21.111522所围成的闭区域和、是由直线其中计算例yxxyDdyxyDdxdyyxyx 111221dxydyxx 111222)(121dxyxx1112322)1 (31dxx113) 1(31dxx103) 1(32目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念所围成的闭区域直线及是由抛物线其中计算例2,62xyxyDxydD目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念所围成的闭区域直线及是由抛物线其中计算例2,62xyxyDxydDDxyd解：8556234421216234yyyydy

19、xydxyy 2122dyyxyy2212221dyyyy2152)2(21目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念例例4. 求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积.解解: 设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxDxyzRRO目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念例例 4 4 求求 Ddxdyyx)(2，其其中中D是是由由抛抛物物线线2xy 和和2yx

20、 所所围围平平面面闭闭区区域域.解解两曲线的交点两曲线的交点),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念例例5 5 求求 Dydxdyex22，其中，其中 D 是以是以),1 , 1(),0 , 0()1 , 0(为顶点的三角形为顶点的三角形. dyey2无无法法用用初初等等函函数数表表示示解解 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 1033221

21、0262dyyey ).21(61e 目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念例例 6 6 计计算算积积分分 yxydxedyI212141 yyxydxedy121.解解原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念例例 7 7 求由下列曲面所围成的立体体积，求由下列曲面所围成的立体体积，yxz ，xyz ，1 yx，0 x，0 y.解解曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图.目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念, 10 yx,xyyx 所所求求体体积积 DdxyyxV )(

22、 1010)(xdyxyyxdx 103)1(21)1(dxxxx.247 所所围围立立体体在在xoy面面上上的的投投影影是是目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念内容小结内容小结1. 二重积分的定义Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)3. 曲顶柱体体积的计算二次积分法.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf X X型型.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y Y型型（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念被积函数相同, 且非负, 思考与练习思考与练习yxyxIyxdd1122yxyxIyxdd12yxyxIdd11113解解: 321,III由它们的积分域范围可知312III11xyO1. 比较下列积分值的大小关系:目录 上页 下页 返回 结束 D101二重积分概念2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小顺序为 ( ).)(;)(;)(;)(213123