初三数学二次函数专题训练(含答案)-.

1、二次函数专题训练(含答案)一、填空题1 21. 把抛物线yx2向左平移2个单位得抛物线 ，接着再向下平移 3个2单位，得抛物线2. 函数y =2x2 - x图象的对称轴是 ，最大值是3. 正方形边长为3,如果边长增加x面积就增加y，那么y与x之间的函数关系是.4. 二次函数y = _2x2 8x -6，通过配方化为y = a(x - h)2 k的形为 .5. 二次函数y = ax2 c (c不为零)，当x取xi, X2(ximX2)时，函数值相等，贝UX1与X2的关系是.6. 抛物线y =ax2 bx c当b=0时，对称轴是 ，当a, b同号时，对称轴在y轴侧，当a, b异号时，对称轴在 y轴

2、侧.7. 抛物线y - -2(x 1)2 -3开口,对称轴是,顶点坐标是 .如果y随x的增大而减小，那么 x的取值范围是8. 若a ：0，则函数y =2x2 ax -5图象的顶点在第 象限；当x 时，函4数值随x的增大而.9. 二次函数 y =ax2 bx c ( a丰0)当a 0时，图象的开口a：0时，图象的开口，顶点坐标是.1 210. 抛物线v (x-h)2，开口，顶点坐标是，对称轴2是.211. 二次函数y=_3(x)- ()的图象的顶点坐标是(1, -2 ).1 212. 已知y (x * 1)2 -2，当x时，函数值随x的增大而减小.313. 已知直线y = 2x -1与抛物线y

3、= 5x2 k交点的横坐标为2,则k=,交点坐标为.214. 用配方法将二次函数v =x2x化成y二a(x -h)2 k的形式是15. 如果二次函数 y =x2 -6x m的最小值是1,那么m的值是二、选择题：16. 在抛物线y = 2x2 -3x 1上的点是()A. (0,-1 ) B. 1,0 C. (-1 , 5) D. (3, 4) 12丿5 2117. 直线y x - 2与抛物线y=xx的交点个数是()2 2A.0个 B.1 个 C.2 个 D. 互相重合的两个218. 关于抛物线y=ax +bx+c (a* 0),下面几点结论中，正确的有() 当a 0时，对称轴左边y随x的增大而减

4、小，对称轴右边y随x的增大而增大，当 a：0时，情况相反. 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点 只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同 一元二次方程 ax2 bx c = 0 (a丰0)的根，就是抛物线y = ax2 bx c与x轴交点的横坐标.A. B. C. D. 19. 二次函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是()A.x=1B.x=-2C.x=3D.x=-3y = ax2bx-3的大致图象是(如果一次函数 y = ax b的图象如图代13-3-12中A所示，那么二次函3#图代 13-2-12A.(-1, -1)B.(1,1)C.(1,-1) D.(-1

5、 , 1)21.若抛物线y = ax2 bx c的对称轴是x = -2,则旦二()A.2B.1 C.42D.14ba22.若函数y的图象经过点x(1 , -2 ),那么抛物线2y =ax (a -1)x a 3 的性质说得全对的是()A.开口向下,对称轴在y轴右侧，图象与正半y轴相交B.开口向下,对称轴在y轴左侧，图象与正半y轴相交C.开口向上,对称轴在y轴左侧，图象与负半y轴相交D.开口向下,对称轴在y轴右侧，图象与负半y轴相交23.二次函数y=x2 bx c中，如果b+c=0，则那时图象经过的点是()#2a24.函数y =ax与y二 (a：0)在同一直角坐标系中的大致图象是(xA,D”#图

6、代 13-3-1325.如图代 13-3-14，抛物线y = x2 bx c与y轴交于A点，与x轴正半轴交于 B,C两点，且BC=3A.b=5B.b=-5D.b=4Sx AB(=6,C.b=#图代 13-3-1426.二次函数y = ax2(a<0)，若要使函数值永远小于零，则自变量x的取值范围是( )A.X取任何实数B.x：0C.x 0 D.x ：0 或 x 0227.抛物线y =2(x -3)4向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为( )A. y = 2(x4)2 6B.C. y =2(x -2)2 2D.y =2(x -4)22y = 3(x - 3)222 228.二次函

7、数 y = X ykx 9k(k 0)图象的顶点在(#点的函数有()xA.1 个B.2个C.3个D.4个30.不论x为值何，函数y二ax bx c (0)的值永远小于 0的条件是()A.y轴的负半轴上B.y轴的正半轴上C.x轴的负半轴上D.x轴的正半轴上、， 1 229.四个函数：y =-x, y = x+1, y =-一 (x>0), y =x(x0),其中图象经过原A.a 0, 0B.a0, ：0C . a ：0, 0 D.a：0, ：0三、解答题31.已知二次函数、二yX 2ax - 2b 1和y - -x2 （a - 3）x b2 -1的图象都经过x 轴上两上不同的点 M N求a

8、, b的值.132. 已知二次函数 y =ax2 +bx +c的图象经过点 A（2，4），顶点的横坐标为 一，它2的图象与x轴交于两点B（X1, 0），C（X2, 0），与y轴交于点D,且x： +x； =13，试问：y轴上是否存在点 P,使得卩08与厶DOCK似（0为坐标原点）？若存在，请求出 过P, B两点直线的解析式，若不存在，请说明理由33. 如图代13-3-15，抛物线与直线y=k（x-4）都经过坐标轴的正半轴上A, B两点，该抛物线的对称轴x=-21与x轴相交于点C,且/ ABC=90，求：（1）直线AB的解析式;（2）抛物线的解析式.图代 13-3-1634. 中图代13-3-16

9、，抛物线y =ax? -3x C交x轴正方向于 A, B两点，交y轴正方向于C点，过A B, C三点做O D,若O D与y轴相切.（1）求a, c满足的关系；（2） 设/ ACBa，求tg a ；（ 3）设抛物线顶点为 P,判断直线PA与O O的位置关系并证明735. 如图代13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为 x轴，横断面的对称轴为 y轴，桥拱的DGD部分为一段抛物 线，顶点C的高度为8米，AD和A D是两侧高为5.5米的支柱，0A和OA为两个方 向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD和C D/为两段对称的上桥斜坡， 其坡度为1 :4

10、.求(1)桥拱DGD所在抛物线的解析式及CC的长；(2) BE和B/ E为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB和A B'为两个方向的行人及非机动车通行区，试求AB和A B/的宽；(3) 按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能否从OA(或OA)区域安全通过？请说明理由.图代 13-3-17#36.已知：抛物线 y =x2 - (m 4)x m 2与 x 轴交于两点 A(a,O), B(b,O) (a：b) .0为坐标原点，分别以0A OB为直径作O 0和O 02在y轴的哪一侧？简要说明理由，并指出两圆的位置关

11、系.37.如果抛物线y - -x2 2( -1)x m 1与x轴都交于A, B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x同的负半轴上，0A的长是a, 0B的长是b.(1) 求m的取值范围；(2) 若a : b=3 : 1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式； 设(2)中的抛物线与y轴交于点C,抛物线的顶点是 M问：抛物线上是否存 点巳使厶PAB的面积等于 BCM面积的8倍？若存在，求出 P点的坐标；若不存在, 请说明理由.938.已知：如图代13-3-18 , EB是O O的直径，且EB=6,在BE的延长线上取点 P,使EP=EB.A 是EP上一点，过 A作O 0的切线 AD切点为 D,过D作DF

12、丄AB于F,过B作AD的垂线 BH交AD的延长线于 H连结ED和 FH.(1) 若AE=2求AD的长.(2) 当点A在EP上移动(点A不与点E重合)时，是否总有 » = 竺 ？试证 明AH FH你的结论；设 ED=x BH=y求y与x的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围.2252939.已知二次函数 y=x -(m -4m)x-2(m -4m)的图象与x轴的交点为2 2A, B (点A在点B右边)，与y轴的交点为 C.(1) 若厶ABC为Rt，求 m的值；(2) 在厶ABC中，若 AC=BC求/ ACB的正弦值； 设厶ABC的面积为S,求当m为何值时，S有最小值，并求这个最小值

13、.#40.如图代13-3-19，在直角坐标系中，以 AB为直径的O C交x轴于A,交y轴于B, 满足OA： 0B=4： 3,以0C为直径作O D,设O D的半径为2.图代 13-3-19(1) 求O C的圆心坐标.(2) 过C作O D的切线EF交x轴于E,交y轴于F,求直线EF的解析式.(3) 抛物线y = ax2 bx c (a丰0)的对称轴过C点，顶点在O C上，与y轴交点为B,求抛物线的解析式1 241.已知直线y x和y = _x m，二次函数 y = x px q图象的顶点为 M.21（1）若M恰在直线y x与y = _x m的交点处，试证明：无论m取何实数值,2二次函数y =x2

14、px q的图象与直线y二-x m总有两个不同的交点.（2）在（1）的条件下，若直线 y =_x+m过点D（ 0，-3），求二次函数y =x2 px q的表达式，并作出其大致图象.（3）在（2）的条件下，若二次函数 y = x2 px q的图象与y轴交于点C,与x 同1的左交点为 A,试在直线yx上求异于M点P,使P在厶CMA勺外接圆上.21142.如图代13-3-20，已知抛物线 y = _x2 ax b与x轴从左至右交于 A, B两点,与 y 轴交于点 C,且/ BACa，/ ABC邛,tg a -tg 3 =2, / ACB=90（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若抛物线的

15、顶点为 P,求四边形ABPC的面积.13参考答案 动脑动手(100-10x )1.设每件提高x元(owx< 10),即每件可获利润(2+x)元，则每天可销售件，设每天所获利润为 y元，依题意，得y =(2x)(100 -10x)2-10x80x2002-10(x-4)360.x=4时(0 w x< 10)所获利润最大，即售出价为14元，每天所赚得最大利润360 元.y = mx23mx=0 时，y=4.2mx3m 4x4 = 0, m = 0时 mb = 3, m23m即抛物线与y轴的交点为4),与x轴的交点为A (3, 0), B ,0 i.13m丿(1)当AC=BC时,3,m3

16、m(2)当AC=AB寸,AO =3,OC =4, AC =5.3- 4=5.3m1 2m1, m2 二6 3(3)时，y6一-时,当AB=BC时,11-x 4.3#3-43m42/、2.14!+ I ,3丿8 244/yx2x 4.7 214 21 21 1222可求抛物线解析式为：y-x4,y= x- 一 x，4, y- x- x4或966338 244y x x 4.7213. (1) 二-(m2 -5)2 -4(2m2 6)2 2二 m2 2m21= (m21)2 - 015图代 13-3-21 不论m取何值，抛物线与 x轴必有两个交点.令 y=0,得 x2 -(m25)x 2m2 6

17、= 0(x -2)(x -m2 -3)=0，x1 = 2, x2 二 m23.两交点中必有一个交点是(2)由(1)得另一个交点A (, 0).B的坐标是(nf+3,0 )#2 2+10 0,. d=m+1.(,0), B (12, 0)d = m2 +3 _2 = m2 +1m(3) 当d=10时，得m=9.Ay = x2 _14x 24 = (x7)225.该抛物线的对称轴是直线 x=7，顶点为(7,-25 ), AB的中点E ( 7, 0).过点P作PML AB于点 M 连结PE1 2222则 PE AB =5, PM 2 二b2,ME2 =(7 - a)2,22 2 2(7 - a) b

18、= 5 .点PD在抛物线上,b =(a - 7)2 25.解联合方程组，得 b, - -1,b2 =0.当b=0时，点P在x轴上， ABP不存在，b=0,舍去. b=-1.注：求b的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程厶ABP为锐角三角形时，则-25 < b：-1 ;ABP为钝角三角形时，则 b -1，且b丰0.同步题库一、填空题1 2 1 2 1 1 21. y (x 2) , y (x 2) -3 ；2. x ,；3. y = (x 3) -9 ； 4.2 24 82y = -2(x-2)2; 5.互为相反数；6.y 轴，左，右；7.下，x=-1,(-1,-3), x -1 ;8

19、.四，增大；9.向上，向下,b2a4ac - b24ab2a ；10.向下，(h,0 ), x=h ；17#11.-1 , -2 ；12.x <-1 ；13.-17,(2, 3)；14. yJxjL1 ；15.10.<3)9二、选择题16.B 17.C 18.A 19.A 20.C 21.D 22.B 23.B 24.D 25.B 26.D 27.C 28.C 29.A 30.D三、解答题31.解法一：依题意，设 M( X1, 0), N( x, 0),且 X1M X2，则洛,X2 为方程 x2+2ax-2b+1=0 的两个实数根，x1 x2 二-2a , x12 x2 = -2b

20、 1. X1, X2又是方程-x2 (a3)x b21=0的两个实数根,1+X2=a-3 , X12 X2=1-b2.一 2 a = a - 3,2厂 2b +1 =1 _b2.a = 1, a = 1,解得y 'j _p. y 1 j或*b = 0; A = 2.当a=1,b=0时，二次函数的图象与 x轴只有一个交点，- a=1, b=0 舍去.当a=1； b=2时，二次函数y =x2 2x -3和y =-x2 -2x 3符合题意.a=1, b=2.2解法二：二次函数 y = x 2ax -2b 1的图象对称轴为x二-a ,22a 3二次函数y =-x (a -3)x b -1的图象

21、的对称轴为 x =2又两个二次函数图象都经过x轴上两个不同的点M N两个二次函数图象的对称轴为同一直线.a 3-a .2解得a = 1.两个二次函数分别为y = x2 2x -2b 1 禾口 y =x2 2x b2 -1依题意，令y=0,得2x 2x -2b 仁0 ,2 2-x -2x b -1=0.+得b2 -2b =0.解得bi = 0, b2 = 2.fAfAa =1a =1,丿或*b = 0;b=2.当a=1, b=0时，二次函数的图象与 x轴只有一个交点，- a=1, b=0 舍去.2 2当a=1, b=2时，二次函数为 y =x ，2x-3和y - -x -2x 3符合题意.a=1

22、, b=2.32.解： y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 B (xi, 0), C (X2, 0),bcx-ix2 ,x1 x2.aa2 2 2又t x1x2 =13 即(捲 x2) -2x1x2 =13,(_b)2 _2 c =13.aa1又由y的图象过点A ( 2, 4),顶点横坐标为一，则有24a+2b+c=4,_ b = 12a 2 .解由组成的方程组得a=-1,b=1,c=6.y=_x2+x+6.与x轴交点坐标为(-2 , 0), (3, 0).与y轴交点D坐标为(0, 6).设y轴上存在点 P,使得 POB DOC则有(1) 当 B (-2 , 0), C ( 3 ,

23、0), D ( 0 , 6)时，有QB QP OP=4 即点 当P点坐标为工 ，QB =2,0C =3,QD =6 . QC QDP坐标为(0 , 4)或(0 , -4 ).(0 , 4)时，可设过P, B两点直线的解析式为y=kx+4. OP=1这时当P点坐标为0=-2k-4.k=-2.y=-2x-4.QBQDP点坐标为(0 ,1 )时，可设过1)QPYQB =2,QD =6,QC =3.QC)或(0 , -1 ).:P, B两点直线的解析式为y=kx+1.0=-2k+1.当P点坐标为-1 ）时，可设过kJ.2y = x 1.2P , B两点直线的解析式为y=kx-1 ,0=-2k-1(2)

24、0)，C(-2，k21 1y x1.20), D (0 , 6)时，同理可得y=-3x+9 ,y=3x-9y = -1x 1 ,31 .y = x -1.333.解：（1）在直线 令 y=0 ,得 x=4. A点坐标为（4 , 0）.y=k(x_4)中,/ ABC=90 . CB»A BAQ警QB,即。心oc.又CO=1OBOB=2,OA=42=13 4=4.(OB=-2 舍去)二B点坐标为(0, 2)(2)解法一：设抛物线的解析式为2y =a(x +1) +h ,函数图象过 A (4 , 0), B (0 ,2), 得25a+h=0,-a + h = 2.125解得a=-丄，h-2

25、5.12121225抛物线的解析式为：y -(x 1)2 25.12 12解法二：设抛物线的解析式为：y = ax2 bx c，又设点A (4, 0)关于x=-1的对称是D.CA=1+4=5,CD=5.OD=6. D点坐标为(-6 , 0).将点A ( 4, 0), B ( 0, 2), D (-6 , 0)代入抛物线方程，得16a 4b c =0,<c = 2,36a -6b + c = 0.11解得a = ，b =，c=2.1261 2 1抛物线的解析式为：y1 x2 -丄x 2.12 634.解：(1) A, B的横坐标是方程ax2 -3x+c=0的两根，设为X1,x 2 (X2&

26、gt;x1), C的纵坐标是C.又 y轴与O O相切，OA2 OB=OC2x12 X2=c .2又由方程ax -3x c = 0知cx1 x2将点B( 0 , 2)的坐标代入 y=k(x-4)1中，得k -.21直线的解析式为：y - _丄x 22a21，即ac=1.(2)a连结PD,交x轴于E,AD BD#.ADB "ADE »” 1ACB工20,X2 xi,、9 一 4acAE，2aED=OC=c(3)设/PAB=0 ,tg ： AEDE 2#4a在 Rt PAE 中,PE 5 .4aS=AE =虽2 .tg3 =tga . 3 = a . Z PAE玄 ADE/ AD

27、E+Z DAE=90PA和O D相切.T P点的坐标为，又 a 0,35.解：（1 ）设DGD所在的抛物线的解析式为y = ax2 c，由题意得 G （ 0，8），D（ 15，5.5）8 = c,5.5 =25a +c.a 1 解得a 90,c = 8. DGD所在的抛物线的解析式为y x2890AD = 1 且 AD=5.5,4ACAC=5.53 4=22(米).cc： =20C =2 (OA AC) =2 (15 - 22)23#答：cc /=74的长为(米).74米.#EBBC(2)vBC=16.#答：AB和A(3)AB=AC-BC=22-16=6的宽都是1 2x908中,当x=4时，(

28、米).#13745190.45168=790377(70.4)45该大型货车可以从 OA(OA)区域安全通过.36. 解：(1 )TO O与O O2外切于原点 O, A, B两点分别位于原点两旁，即a ：0, b 0.b异号.二方程x2(m 4)x m 0的两个根a, ab=m+2：0,. m：-2.(2) 当m：-2，且m -4时，四边形POOQ是直角梯形. 根据题意，计算得S四边形pO1O2q =丄b2 (或- a2或1).2 2m=-4时，四边形 POQQ是矩形.1 2 1 2根据题意，计算得S四边形pO1O2q 二 b2 (或a2或1).2 2(3) v."： =(m 4)2

29、 -4(m 2) = (m 2)2 4 0方程x2 -(m 4)x m 0有两个不相等的实数根m-2 ,a+b = m+ 4»0, 丿_ab = m + 2 a 0.a0, b 0.O O与O 02都在y轴右侧，并且两圆内切.37. 解：(1 )设A, B两点的坐标分别是(xi, 0)、(X2, 0), A, B两点在原点的两侧， xiX2：0,即-(m+1) ：0,解得m-1.1)2 4 (1) (m 1)2=4m -4m 81 2 二 4(m)72当 m -1 时， 0, m的取值范围是m-1.(2) v a : b=3 : 1，设 a=3k, b=k (k 0),则x1=3k,

30、 X2=-k ,"3k -k =2(m -1),3k，(-k) = -(m+1).1 解得m1 =2,m2.314m 时，x1X2(不合题意，舍去)，3 3m=2抛物线的解析式是 y = -x2 x 3.2(3) 易求抛物线 y = -x 2x 3与x轴的两个交点坐标是 A (3, 0), B (-1 , 0) 与y轴交点坐标是 C ( 0, 3),顶点坐标是 M( 1, 4).设直线BM的解析式为p 1 q, p (-1)q.P = 2, 曰=2.y=2x+2.N贝U N点坐标是(0 , 2),则解得直线BM的解析式是 设直线BM与y轴交于S.BCM = S.BCNS.MNC1 1

31、1 1 1 1 2=1.设P点坐标是（x,y ）,S.ABP = 8S BCM ,1AB y =8 112 4 y当y=4时，P点与M点重合，即P (1 , 4),2当 y=-4 时，-4=-x +2x+3,解得满足条件的P点存在.P点坐标是(1, 4), (1+22,4),(12J2,4).38. ( 1)解：T AD切O O于 D, AE=2 EB=6,2AD=AE2 AB=23 ( 2+6) =16.AD=4.27#图代 13-2-23EDFHAD(2)无论点A在EP上怎么移动(点 A不与点E重合)，总有 AH证法一：连结 DB交FH于G,/ AH是O O的切线，/ HDB=/ DEB.

32、又 BHL AH, BE为直径，/ BDE=90/ DBE=90 - / DEB=90° - / HDB=/ DBH.在厶 DFBD DHB中,DF丄 AB / DFB=/ DHB=90 , DB=DB / DBE玄 DBH DFBA DHB. BH=BFBHF是等腰三角形 BG1 FH, 即卩 BDL FH.# ED/ FH,AD EDAHFH证法二：连结 DB/ HDB=/ DEF./ EDFh DBH./ AH是O O的切线，又 DF丄 AB, BHL DH以BD为直径作一个圆，则此圆必过 F, H两点,/ DBH=/ DFH EDFh DFH.ED/ FH.AD EDAH 一

33、 FH . ED=x BH= BH=y, BE=6, BF=BH - EF=6y. 又 DF是Rt BDE斜边上的高， DFEA BDEEFED巴,即 ED2 二 EFEBEB .# x2 = 6(6 - y),即 y = -1 x26.6点A不与点E重合， ED=x 0.则 ODL PH.A从E向左移动，ED逐渐增大，当A和P重合时，ED最大，这时连结OD/ BH.PO = PE EO = 6 3 =9,PB =12 ,ODBHPOPB,BHOD卩BPOBF =BH =4, EF =EB - BF =6 -4 =2 ,由 ED=EF2 EB 得X2 = 2 6 =12 , t x 0,. x

34、 = 2、3.0x w 21 3.（或由BH=4=y,代入y x26中，得x = 2】3）12l故所求函数关系式为 y=- x26 (0 :x< 2 3 ).m2 4m 9 ： = (x 2)x 639.解：T y = x2 i m-4m 5 x-2I 2丿可得 A(2,0),B m2 4m 9,0 ,C 0,一2 I#(1)：公ABC为直角三角形，OC=A0| OB#-4m I,f9 f即 4 m2 4m + i = 2 乂 I2丿化得(m2)2 =0.m=2.#(2)t AC=BCCCL AB,. AO=BO 即 卩 m2 4m=2#2 OC =2 m-4m 9 =4. AC 二 B

35、C =二2丿 2#过A作AD丄BC垂足为D,AB2 CC=BC AD.#8A5(3) S.ABCsin ACB 二 AD=AC 2.5=1 AB CO2#2<m2 _4m 9 22-1.-(u 2)u =(u 1)21 5当u，即m =2时，S有最小值，最小值为2 440.解：(1 )T OAL OB OA： 0B=4： 3, O D的半径为 2, O C过原点，0C=4 AB=8.A点坐标为勺2( 24E，0丿B点坐标为牙丿. OC的圆心C的坐标为*16 12<5，5 丿31(2)由 EF是O D切线， OCL EF.CO=CA=CB,/ COAK CAO / COB2 CBO. Rt AO阱 Rt OC0 Rt FCO.OE OC OF OC AB 一 OA ' AB 一 OB .20OE =5,OF3一 一 20、'E点坐标为(5, 0) , F点坐标为 0, 一 I,<3丿4 20切线EF解析式为y=_ x+ .3 3(3)当抛物线开口向下时，由题意，得抛物线顶点坐标为5a =-一326=1,24c =.5b 164ac -b2 = 324a _ 524c .55 2x32当抛物线开口向上时，顶点坐标为I'16 12-4 L得15 , 5 丿