【学习】第二章概率论与数理统计

1、.第二章随机变量第二章随机变量 随机变量与分布函数随机变量与分布函数 离散型随机变量离散型随机变量 连续型随机变量连续型随机变量 一维一维随机变量函数的分布随机变量函数的分布.一、随机变量一、随机变量 , :( )XxXxX定义：设 是随机试验E的样本空间，如果 是定义 在 上的一个单值实函数，且对于任意实数是随机事件，则称 为随机变量。随机变量的特点随机变量的特点:(1)(1)随机变量的全部可能取值是互斥且完备的。随机变量的全部可能取值是互斥且完备的。(2)(2)随机变量的部分可能取值描述随机事件。随机变量的部分可能取值描述随机事件。.1 ( ),33j|1,2,., jXXXXXX 、掷一

2、粒骰子，用 表示掷出的点数，则 是随机变量。表示掷出的点数不超过 。将 看做样本空间上的函数，则25 1A 2B 3C3、进行 次独立重复试验，试定义一个随机变量来描述事件：）试验成功一次）试验至少成功一次）至多成功 次.奇异型（混合型）连续型非离散型离散型随机变量随机变量的分类随机变量的分类：随机变量随机变量.二、离散型随机变量二、离散型随机变量1、定义、定义 ： 若随机变量若随机变量X取值取值x1, x2, , xn, 且取这些值的概率依次为且取这些值的概率依次为p1, p2, , pn, , 则称则称X为离散型随机变量为离散型随机变量。称称PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 为为X

3、的的概率概率分布律分布律或概率分布。或概率分布。通常表示通常表示为为 X PX=xk=pk, (k=1, 2, )，或或 XX Xx x1 1 x x2 2x xK KP Pk kp1p2pk.(1) pk 0, k1, 2, ;(2) 1.1kkp 323350,1,2kkC CP XkkC，例例1 1 设袋中有设袋中有5 5只球，其中有只球，其中有2 2只白球只白球3 3只黑球。只黑球。现从中任取现从中任取3 3只球只球( (不放回不放回) )，求取的白球数，求取的白球数X X为为k k的概率。的概率。解解 k的所有可能的所有可能取值取值为为0 0，1 1，2 22. 分布律的性质分布律的

4、性质.例例2.2.设一射手对目标独立射击设一射手对目标独立射击5 5次，每次命中目标的次，每次命中目标的概率均为概率均为p p。用。用X X表示命中目标的次数，求表示命中目标的次数，求X X的概率分的概率分布律。布律。解：设解：设A Ai i=第第i i次射击时命中目标次射击时命中目标i=1,2,3,4,5i=1,2,3,4,5。 则则A A1 1,A,A2,2,A A5,5,相互独立，且相互独立，且P(AP(Ai i)=p,i=1,2,)=p,i=1,2,5. 5. (1-p)5 )(054321AAAAAPXPAAAAAAAAAPXP4)1 (5pp5,.,1 ,

5、 0)1 (55kppCkXPkkk.25432154321AAAAAAAAAAPXP3225)1 (PPC.3 3、几个常用的离散型分布、几个常用的离散型分布（1） (0-1)分布分布 若用若用X表示一次试验中事件表示一次试验中事件A发生的次数，则称发生的次数，则称X服从服从(01)分布分布(两点分布两点分布) XPXkpk(1p)1k, (0p1时时,X的全部取值为的全部取值为:m,m+1,m+2,mpmXPPX=m+1=P第第m+1次试验时成功并且次试验时成功并且 在前在前m次试验中成功了次试验中成功了m-1次次,.2, 1,)1 (111mmmkpppCkXPmkmmkpppCmmm)

6、1 (11.三、三、 随机变量的分布函数随机变量的分布函数1、分布函数的概念、分布函数的概念xX P XxF xXxxF xX定义:设 是随机变量，对任意实数 ，令，则称函数为随机变量 的分布函数。 , PPP=a babaXbXbXaF bF a易知，对任意实数，-.2、分布函数的性质、分布函数的性质反之，具有上述三个性质的实函数，必反之，具有上述三个性质的实函数，必定定是某是某个随机变量的分布函数。故该三个随机变量的分布函数。故该三条条性质是分布性质是分布函数的充分必要性质函数的充分必要性质。 ,01, ()lim( )0,()lim( )1;xxxF xFF xFF x (1)有界性：对

7、任意实数且 1212;xxF xF x(2)单调不减性：若,则0000 (0)lim( )()xxxF xF xF x(3)右连续性：对任意实数 ，有. X-102P0.1 0.60.3X例:设随机变量 的概率分布律如下表11.6 11.6 11.6 11.6XXXXX 试求(1)随机变量 的分布函数 (2)P(3)P(4)P(5)P. ,xF xP Xx 解：（1）0, 1;0.1, 10;0.7, 02;1, 2.XXXX 11.600.6(1.6)( 1)11.600.611.6100.7(5)11.6100.7XP XFFXP XXP XP XXP XP X (2)P(3)P(4)PP

8、.: 12 ( )kkkkk xxXP Xxp kF xP Xxp一般地，对离散型随机变量， ，其分布函数为.0, 0( )(),011, 1 xF xP Xxxxx当x1时, F(x)=1；0,10,1XX例：向区间随机抛一质点，用 表示质点坐标。假定质点落在区间内任一子区间内的概率与区间的长度成正比，求 的分布函数.四、连续型随机变量( )( )xF xP Xxf u du( )()Xf x xx定义：设 是随机变量，若存在非负函数，使得对任意实数 ，都有1、概率密度函数的定义、概率密度函数的定义( )Xf xX则称 为连续型随机变量，为随机变量 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。(

9、 ),Xf x x常记为：.概率概率密度函数的密度函数的几何意义几何意义：( )dbaP aXbf uu.2、概率密度函数的性质、概率密度函数的性质 ( )d1fxx(2)归一性: 反之，凡是满足上述两条性质的函数都可以作为某个随机变量的概率密度函数。( ) xf xaex求常数a.21aX设随机变量 的概率密度为 0f xx(1)非负性:.)()(xfdxxdF0211021)(xexexFxx求f(x) 3( )xf x若 是的连续点，则X设随机变量 的分布函数为. PPPP( )dbaaXbaXbaXbaXbf x x= = = Xf xbP Xb(4)若 ，则对任意实数 ，有=0。由此

10、可知：.,01;( )2,12;0,axxf xxx其他.(1); ( ); (3)12.5 ; (4)01.5 .aXF xPXPX求常数 (2)随机变量 的分布函数:X例 设随机变量 的概率密度函数为.3、几个常用的连续型分布、几个常用的连续型分布(1)均匀分布均匀分布(uniform distribution)1, ( )0 axbXfxba；若，其 他 .0, ;( ), ;1, .xax aF xaxbb abx =, , Xa bXU a b则称 在区间上服从均匀分布。记作。其分布函数为：.例：长途汽车在每时的例：长途汽车在每时的1010分、分、2525分、分、5555分发车分发车

11、. .如果乘如果乘客不知道发车时间，在每小时的任意时刻随机到达车客不知道发车时间，在每小时的任意时刻随机到达车站，求乘客候车时间超过站，求乘客候车时间超过1010分钟的概率。分钟的概率。 101525455560P APXPXPX1515454521605205A10解：设乘客候车时间超过 分钟 ，0,60XXXU用 表示乘客于某时 分钟到达，则.(2)指数分布指数分布(exponential distribution), 0;( ) 00, 0.xexXf xx如果其中参数，1, 0;( )0, 0.xexF xx ( )XXEXP则称 服从参数为 的指数分布，记作。其分布函数为:.例例 :

12、电子元件的寿命电子元件的寿命( (单位单位: :小时小时) )服从参数为的指数分服从参数为的指数分布。布。(1)(1)求该电子元件寿命超过求该电子元件寿命超过200200小时的概率。小时的概率。(2)(2)已知该电子元件已经使用了已知该电子元件已经使用了300300小时，求它还能再小时，求它还能再 使用使用200200小时的概率为多少？小时的概率为多少？0.0010.0010( )00.xexf xx；0.2(1)2001(200)P XFe (2)500|300P XX(0.001).XXEXP解：用 表示电子元件的寿命，则0.2500,300500300300P XXP XeP XP X-

13、指数分布具有无记忆性指数分布具有无记忆性.若随机变量若随机变量(3) 正态分布正态分布(normal distribution)22()221( ; ,),2xXf xex 220,XXN 其中 为实数，则称 服从参数为的正态分布。记为，.正态分布的性质：正态分布的性质： .1 max 2Xff x1）单峰对称正态分布的概率密度曲线关于直线对称 1, 12FFxFx =.2) 的大小直接影响概率的分布的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦越大，曲线越平坦， 越小，曲线越陡峻越小，曲线越陡峻。正态分布也称为高斯正态分布也称为高斯(Gauss)分布分布.（4）标准正态分布）标准正态分布(sta

14、ndard normal distribution) 2010, 1 .XN参数， 时的正态分布称为标准正态分布，记作.221( ), .2xxex 分布函数表示为分布函数表示为2122( ) d , txxP Xxetx 其概率其概率密度函数密度函数表示为表示为.22()2221( , ,)( ; ,)2( , ,)( ; ,)dxxnormpdf xf xenormcdf xf xx 2,xXNF x 两个正态分布函数之间的关系：若 ，则 一般的概率统计教科书均附有标准正态分布一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅。我们可以使用表供读者查阅。我们可以使用MATLAB软件软件来计

15、算任意正态分布的密度函数和分布函数来计算任意正态分布的密度函数和分布函数值。值。.21,2,2.50.5?XNPX1、设随机变量求2( ,),1,2,3XNPkXkk 2、设求33 1X33P X本题结果称为原则。在工程应用中，通常认为，忽略的值。如在质量控制中，常用标准指标值作两条线，当生产过程的指标观测值落在两条线之外时发出警报,表明生产出现异常。.( 1,4)2.5 10.5 1 P2.50.5P22 =P0.750.75(0.75)(0.75) =2 (0.75) 12 0.7734 10.5468XNXXX 1、解：因为 所以22 ,P = ( )() =2 ( )-10.6 =XN

16、kkkXkkkk 、解：因为所以83, 10.955, 2 0.997, 3kkk.90 10090( 0.67)0.251415pP X 故3010.4195P Yp B 3,Yp则2(100,15 )390XN例：一种电子元件的使用寿命 (小时)服从正态分布。某仪器上装有 个这种元件，三个元件损坏与否相互独立。求在使用的最初小时内没有元件损坏的概率。:90,Y解 设 表示使用的最初小时内损坏的元件数.介绍介绍一、四种概率函数一、四种概率函数1、概率密度函数、概率密度函数(probability density function) pdf2、累积分布函数、累积分布函数(cumulative

17、distribution function) cdf3、分位数、分位数(quantile) inv4、随机数、随机数(random number) rnd.-x12 unifpdf(x,a,b)1 exppdf x,e,x03normpdf(x,)4chi2pdf(x,n)5t tpdf(x,n ,n )6F fpdf(x,n,二、常见分布命令1、均匀分布2、指数分布 、正态分布 、卡方分布 、 分布 、 分布xxn-xMN-MnNm)7 binopdf(x,n,p)8 geopdf(x,p) = p(1-p) ,x=0,1,2,.C C9 hygepdf(x,N,M,n) =C10 pois

18、spdf(x,)、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布.五、一维随机变量函数的分布五、一维随机变量函数的分布 yg xXXyg xYg X 一般地，设是一元实函数， 是一个随机变量，若 的取值在函数的定义域内，则也是一个随机变量。背景：.X()Yg X随机变量的函数随机变量( )Xfx( )XFx密度函数或分布列分布函数( )YFy( )Yfy.1 1、一维离散型随机变量函数的概率分布律、一维离散型随机变量函数的概率分布律例例:已知已知XPX-1 0 10.20.10.7求：求：Y=2X的概率分布律的概率分布律YPY-2 0 2 0.20.1 0.7 12 3YkkXXP Xxp kyg

19、xYg X设 是一个随机变量，概率分布律为， ，若 是一元单值实函数，则 也是一个随机变量,如何求 的概率分布律？.一般地一般地XPkY=g(X) kxxx2112 kppp )()()(21kxgxgxg: PP ,1,2,3,kiiikk g xyYg XYyg Xyp i或.设随机变量X的概率分布律为求Y=2X2 +1的概率分布律。解例由题设可得如下表格 X1 0 1 2pk 0.2 0.3 0.4 0.1x-1012Y=2x2+13139概率0.20.30.40.1所以，y=2x2+1的概率分布律为 y 1 3 9 pk 0.3 0.6 0.1.例：设随机变量X的概率分布律为解Xpny

20、 -1 0 1 pk 2/15 1/3 8/15 1 2 3 n 231111 2222nsin2YX求的概率分布律。.设 X 为一个连续型随机变量，其概率密度函数为 f (x)。y = g(x)是一元实值函数 ，求随机变量Y=g(X)的概率密度函数(如果存在)(1) 先求Y的分布函数 FY(y)( )YFy根据分布函数的定义P YyP()g Xy(2) 对FY(y) 求导，得到 fY(y) 2、一维连续型随机变量的函数的分布n 一般方法( )( )YYfyFyP( )Xx g xy. 222112( )30PPXYXxyxfxyg xxFyYyXyfx dx 其它 2101,=P33yYyy

21、yFyyXydx当时0( )0YyFy当时，；4( )1YyFy当时，； 1114d11 =0dd33yYXyyyyFyfxxyxx当时 ，2. U1,2 ,XYX例设求的分布函数与概率密度函数。.10131()()1460 YYyyfyFyyy概 率 密 度 函 数 为 ：，；，；，其 他 .0 0 ;2013()1, 1431, 4yYYyyyFyyy所 以 ， 随 机 变 量的 分 布 函 数 为 ：， ， ；. ,XXfxyg xxYg X例：设 的概率密度为关于 处处可导且严格单减，求的概率密度函数。 , PP g XYyFyYyy解：根据分布函数的定义，对于任意给定的 11P1XX

22、gyFgy 11111 dgy ddgy dYXXXYfyFgyfgyyfgyy 所以，随机变量 的概率密度函数为. , ( )( )( ) | ( )|XYXXfxyg xYg Xfyfh yh yh yy g x公式法：一般地，若 是单调可导函数，则其中是的反函数。注注：1 1 ）只有当只有当g(x)g(x)是是x x的单调可导函数时，才可用以的单调可导函数时，才可用以上公式推求上公式推求Y Y的的概率概率密度函数。密度函数。 2 2） 注意定义域的选择。注意定义域的选择。., ( )PPYyFyYyaXby解：先求分布函数。对任意实数2, XNYaXb 例：设随机变量，求的概率密度函数。

23、 0( )PYXaybybFyXFaa当时，所以， 222()11( )2y b aaYXybfyfeaaa . 0P1P 1YXaybybFyXXaaybFa当时 ，222()11( )2y b aaYXybfyfeaaa 综上得 2,()YN aba.22( ,), (0), (, () )XNYaXb aYN aba 设则2( ,),(0,1)XXNN 若则n 推论n 定理正态随机变量的线性函数服从正态分布。-正态随机变量的标准化 .2,0, 1, .XNXYX 例 ： 设求 随 机 变 量；的 分 布 .0 111 22YPY答案. 1, 2;2 ,2,2.XXEXPYX XY例：设求随机变量 的分布函数。答案 440, 1,1,14;1,4.11YyyFyeyeyP Ye 注意：.小结.0 -1 分 布二 项 分 布 B （ n ,p )泊 松 分 布 P ( )离离 散散 型型 分分 布布 律律归 一 性分 布 函 数 与 分 布 律 的 互 变概概 率率 计计 算算分分 布布 函函 数数归 一 性概概 率率 计计 算算单单 调调 性性正 态 分 布 的 概