高等数学09章例题

1、围成的区域。及直线在第一象限轴、圆是由围成的区域及轴、是由。写出两种积分次序为二次积分化二重积分例2 02)2(;1) 1 ()( d),( 122yxxyxxDxyyyDyxfD解:yxDxyxfyyyxfxyxf010101d),(d d),(d d),() 1 (yyxxxDxyxfyyyxfxyyxfxyxf211102120102022d),(d d),(d d),(d d),()2(例1题解：xxxxxyyxfxyyxfxyyxfx12140214110d),(d2)( d),(dd),(d1)( , 2222。并交换累次积分的次序分区域画出下列累次积分的积例如图的图形由此可得区域

2、解, 40 , 21| ),( 41 , 10| ),() 1 ( :22221DxyxyxDxyxxyxD例2题解：2140104140214110222222d),(dd),(d d),(dd),(dyyyxxxxyxfyxyxfyyyxfxyyxfx划分积分区域如图: 1, 21| ),( :)2(如图积分区域区域为由原累次积分可知积分DxyxxyxD例2题解：例2题解： 若将其交换积分次序,先对x积分后对y积分,则其积分区域如下图：2212112121212d),(dd),(d d),(d :yyxxyxfyxyxfyyyxfx交换积分次序为所围成的闭区域。及、是由直线其中计算例xyx

3、yDxyD21,d 3 :积分区域如图解81148d)22(d2d dd2124213211221 1 xxxxxxyxxyxyxyxxD围成的矩型。和、由是其中区域计算二重积分例1010 ,dd 4y y xxDyxeDyx 1010dd dd:xyeexyeyxDyx解2101010) 1(d) 1( d exeexeexyx的闭区域。所围成的在第一象限内轴和抛物线轴、是由其中计算例2221,d3 5xyyxDyxD10102222dd3 d3:2xyyxyxxD解31516d)1 ( d 103221010322xxxxyxx积分运算比较困难。积分，则有后对积分如果先对101023101

4、02222d dd3d3,yyxyxyxyxyxyyD例5题解：围成的图形。和、是由直线其中计算二重积分例03 0321,dd)2( 6yxyxyDyxyxD 03- 032 :yxyx解yyDxyxyyxyxyx3)3(2131d)2(d dd)2(:1积分积分，后对先对解法3d| )(313)3(212yxyxyy交点（0,3）, 积分后对积分先对xy20312013212d| )22(d| )22(xyxyxyxyxxxxDyyxxyyxxyxyx312032101d)2(dd)2(ddd)2(3d 21)3(21) 1(32 d21)32(21) 132(2202012xxxxxxxx

5、例6题解：解法2所围成的闭区域。及直线是由抛物线其中计算例 2,d 72xyxyDxyD212ddd:2yxxyxyyyD解21-22d22yyxyy855d)2(2121-52yyyy。显然这样计算比较麻烦 dd dd ddd2411021xyxyxyxyxyxyxyxxxxDDD 例7题解：例8 求两个底圆半径相等的直角圆柱面所围成的立体的面积。222222 , :,:RzxRy xR两个圆柱面的方程为设圆柱的底半径为解它们在第一象限的图形如下：例8题解：xyxRxyxRxRVRxRRxRDd d dd002200222212222313168RVV于是它的顶是柱面：的底为：看作一个曲顶柱

6、体，它立体在第一卦限部分可,0 ,0| ),(2222xRzRxxRyyxD332R上的连续函数。是，其中证明例 1 , 0)(d)()(d)(d 9101002xfxxfeexxfeyxyy: 0 , 10| ),(:交换积分次序积分区域证明yxyyxD101101d|)( d)(d22xexfyxfexxyxy左边右边10d)(2xeexfx所围在第一象限部分。及为，的二次积分化二重积分为极坐标下例yxyyxDyxfD02d),(: 10224: ,sin2: 0222的极坐标方程方程为的极坐标解：yxryyxsin2040d)sin,cos(d d),(rrrrfyxfD。的二次积分化二

7、重积分为极坐标下例22d),(d , 1110 xxxxyyxfx10 , | ),( 22xxxyxxyxD解：积分区域22cos0d)sin,cos(drrrrf原式。的圆周所围成的闭区域为是由中心在原点，半径其中计算例aDyxeDyx,dd 122220 ,0:arD表示为积分区域解Dyxyxedd22 200dd2arrred210202are)1 (d)1 (212220aaeeDrrredd2-立体的体积。含在圆柱面内的部分所截得的被圆柱面求球体例)()0(24 13222222aaxyxazyx20 ,cos20 : dd44:222arDyxyxaVD为在极坐标中，积分区域由对

8、称性解rrrarrraVaDd4d4 dd44cos20222022)322(332d)sin1 (33232023aa例13题解：所围成的立体的体积。及旋转抛物面求由锥面例22226 14yxzyxz22226 :yxzyxz的交线为解：锥面与旋转抛物面2422zyx得0 4 :22zyxxoy面上的投影为其在面上的投影。抛物面的交线在积分区域为锥面与旋转xoy 例14题解：DDyxyxVVVVd d)6( 222221332d)6(2d)6(d202320202rrrrrrrr之间部分的面积。与夹在两曲面求曲面例yyxyyxyxz2 15222222222222 :,yxyzyxxzyxz

9、yx得解：由平面上的投影如图。曲面在由题义知xoyzzyx,2122例15题解： dd2 dd)()(122rryxyzxzSDD423d2)2cos1 (322d2sin)sin2(20022利用极坐标计算积分sin2sin0dd2rr例15题解： 由于闭区域D位于半径为 与1的两圆之间，而被积函数又是常数，根据二重积分性质4可知，求出的二重积分等于积分区域的面积，即：21423 )21(1 2 dd2 dd2 dd)()(12222yxyxyxyzxzSDDD重心。的均匀薄片的之间和求位于两圆例 sin4sin2 16rrD_yAyxyxcd1 , 0 :),(,:的坐标为重心由于对称解7

10、ddsin dsind0sin4sin222rrryDD)37, 0( 3737_cy重心为边的转动惯量。对于其直径密度为常量的均匀半圆薄片求半径为例)( 17a0 :222, yayxD可表示为区域解DxyId20240230dsin4dsindarra2441241Maa)21(2为半圆薄片的质量其中aM ddsin23Drr所围的闭区域。平面面及为三个坐标，其中12 ddd zyxzyxx例18 计算三重积分:, ) 1 (Dxoy得投影区域面上投影到将解：210 10 xyxDyxzyxzzzyxD210 : 21 , 0 ),()2(得外，穿出过平面内通穿入线先通过的直线，该直轴点作

11、平行过此内任取一点在2101021021010d)21 (d dddddd)3(xyxxyyxxxzyxzyxx481d)2(411032xxxx例18题解：所围成的空间闭区域。是由椭球面，其中1 ddd 2222222czbyaxzyxz例19 计算三重积分解：空间闭区域 可表示为：,1| ),(222222czcczbyaxzyx3222-22154d1 ddd dddabczzczabyxzzzyxzccDccDz例20 利用柱面坐标计算三重积分：是其中zyxzddd所围成的闭区域。与平面由曲面422zyxz为旋转抛物面解：22yxz。的圆形闭区域得半径为面上投影到将闭区域Dxoy2, 20 20:rD例20题解： 4 20 20 : 4, ),( 222zrrzyxzzrD外，则穿出然后通过平面内穿入此直线通过曲面轴的直线，过此点作平行于，内任取一点在420202ddd ddddddrzzrrzrzrzyxz364618221d )16