广东省中考数学第二部分题型研究题型五圆的综合题试题

1、题型五圆的综合题针对演练1.如图，AB是OO的弦，AB= 4,过圆心O的直线垂直 AB于点D,交O 0于点C和点E,1连接 AC BC OB cos/ACB= 3，延长 OE到点 F,使 EF= 20E求证：/ BOE=Z ACB(2) 求O 0的半径；(3) 求证：BF是O O的切线.第1题图2.如图，AB为O O的直径，点 C为圆外一点，连接 AC BC分别与O 0相交于点 D点E,且Ad De，过点D作DF丄BC于点F,连接BD DE AE求证：DF是O 0的切线；(2) 试判断 DEC勺形状，并说明理由；(3) 假设OO的半径为5，AC= 12，求sin / EAB的值.第2题图3.

2、(2021 长沙9分)如图，四边形 ABCD内接于O O,对角线 AC为O O的直径，过点 C 作AC的垂线交AD的延长线于点E,点F为CE的中点，连接 DB DC DF(1) 求/ CDE勺度数；(2) 求证：DF是O O的切线；(3) 假设 AC= 2 ：5DE 求 tan / ABD的值.第3题图4. (2021 德州10分)如图，O 0是厶ABC的外接圆，AE平分/ BAC交O O于点E,交BC 于点D,过点E作直线I / BC(1) 判断直线l与OO的位置关系，并说明理由；(2) 假设/ ABC的平分线 BF交AD于点F,求证：BE= EF(3) 在 的条件下，假设 DE= 4, D

3、F= 3,求AF的长.第4题图5.(2021永州)如图， ABC内接于O O,且AB= AC直径AD交BC于点E F是OE上的一点，使CF/ BD(1) 求证：BE= CE(2) 试判断四边形BFCD勺形状，并说明理由；(3) 假设 BC= 8, AD= 10,求 CD的长.第5题图6. (2021省卷24, 9分)O 0是厶ABC的外接圆，AB是直径，过 Bc的中点P作O O的 直径PG交弦BC于点D,连接AG CP PB(1) 如图，假设D是线段OP的中点，求/ BAC勺度数；(2) 如图，在DG上取一点K,使DK= DP连接CK求证：四边形AGK是平行四边形；(3) 如图，取CP的中点E

4、,连接ED并延长ED交AB于点H连接PH求证：PHLAB图图團第6题图7.(2021原创)如图，AB切O O于点B, AD交O O于点C和点D,点E为De的中点,连接OE交CD于点F,连接BE交CD于点G求证：AB= AG(2)假设 DG= DE 求证：GB= GC- GA在的条件下，假设3tan D= 4, EG=10,求O O的半径.第7题图8. (2021达州)在厶ABC勺外接圆O O中， ABC勺外角平分线 C交O O于点D,F为Ad 上一点，且 Af Bc ，连接DF并延长DF交BA的延长线于点 E 判断DB与 DA的数量关系，并说明理由；(2) 求证： BCm AFD(3) 假设/

5、 AC= 120°O O的半径为5, DC= 6，求DE的长.第8题图9. 如图，AB为O O的直径，P是BA延长线上一点，PC切O 0于点C, CG是O 0的弦， CGL AB垂足为点D求证： ACDA ABC(2) 求证：/ PCA=Z ABC3(3) 过点A作AE/ PC交O 0于点E,交CG于点F,连接BE假设sin P= 5, Cl 5,求BE 的长.第9题图10. (2021 大庆9分)如图，在 Rt ABC中，/ C= 90°，以BC为直径的O O交斜边 AB 于点M假设H是AC的中点，连接MH.(1) 求证：MH为OO的切线；33(2) 假设 MH= 2,

6、tan / ABC= 4，求O O的半径；(3) 在(2)的条件下分别过点 A B作O O的切线，两切线交于点D, AD与O O相切于N点，过N点作NQL BC垂足为E,且交O O于Q点，求线段 NQ的长度.第10题图11. 如图， ABC为O O的内接三角形，P为BC延长线上一点， 的直径，过 C作CG_ AD交AD于 E,交AB于 F,交O O于G.(1) 判断直线PA与O O的位置关系，并说明理由；(2) 求证：AG= AF- AB(3) 假设O O的直径为10, AC= 2 '5, AB= 4 _：5,求厶AFG的面积.PAC=/ B, AD为O O第11题图12. (2021

7、 鄂州10分)如图，在 Rt ABC中，/ ACB= 90°, AO是 ABC的角平分线,以O为圆心，OC为半径作O Q求证：AB是O Q的切线；1 AE(2) AQ交O Q于点E,延长AQ交O Q于点D, tan D= 2,求AC勺值；(3) 在 的条件下，设O Q的半径为3，求AB的长.第12题图【答案】1. (1)证明：如解图，连接 QA0vE7F/第1题解图CEL AB AD= BD= 2, Ae BE ,/ ACE=Z BCE / AOE=Z BOE 又/ AOB= 2/ ACB/ BOE=Z ACB1(2)解： cos / ACB= 3, cos / BOD= £

8、;在 Rt BOD中设 OD= x,贝U OB= 3x,/ OD+ BD= OB, x2 + 22 = (3x)2，解得 x = ¥， OB= 3x= 322，即o o的半径为3-2；(3)证明： FE= 2OE9J2 OF= 3OE=-,OB 1 Of= 3，.od=i OB3，OB OD Of= Ob/ BO= / DOB OBFA ODBOBL BFDO交AE于点G,贝U DO= BO/ OB= / OD= 90°，即/ OB是O O的半径， BF是O O的切线.2. (1)证明：如解图，连接第2题解图:丄 ABD=Z ODB- Ad De ,:丄 ABD=Z EBD

9、/ ODB=Z EBDDO/ BC/ OD CFD/ DFL BC:丄 CFD= 90° ,/ ODF= 90°,即 ODL DF,又 OD为O O的半径，DF是O O的切线； 解： DEC是等腰三角形，理由如下： AB是O O的直径，/ ADB=Z CDB= 90°,又 BD= BD / ABD=Z EBD ABDA CBI(ASA), AD= CD Ad De , AD= DECD= DE DEC是等腰三角形；1解：由可知AD= 2AC= 6 , Ad De , ODLAE / ABD=Z DAEDG sin / DAE= ad在 Rt ADB中 , sin

10、/ ABD=寻毛 B 10DG 66 =10，- DG= 3.6 , OG= OD- DG= 1.4 ,在 Rt AGO中, sin / EAB= °=罟=2- OA 5253. 1解：T AC为O O的直径,/ ADC= 90°,2分/ CDE= 90°u5分9分第3题解图 证明：如解图，连接 OD/ CDE= 90°, F 为 CE中点,1DF= CE= CF,/ FDC=Z FCD又 OD= OC/ ODGZ OCD/ ODGZ FDC=Z OCP/ FCD/ ODF=Z OCFT E CL AC,/ OCF= 90° ,/ ODF= 9

11、0°,即 ODL DF,又t OD为O O的半径，DF为O O的切线；解：在 ACDA ECA中 ,t/ ADC=/ ACE= 90°, / EAC=Z CAD ACZ AEC AC_AD aAC aC= ad- ae又 T AC= 2 5DE 20DE= AE- DE - AE AE= 5DE AD= 4DEt在 Rt ACD中 , aC= aD+ CD , CD= 2DE又 t在O O 中，/ ABD=Z ACD tan / ABD= tan / ACD= AD 2.4. (1)解：直线I与OO相切.理由如下: 如解图，连接 OE OB OC第4题解图/ AE平分/ B

12、AC/ BAE=Z CAEBe Ce ,:丄 BOE=Z COE又 OB= OC OEL BC/ l / BC OEL l ,又 OE为O O的半径，直线I与O O相切； 3分证明：T BF平分/ ABC / ABF=Z CBF又/ CBE=Z CAE=Z BAE / CBEFZ CBF=Z BAEFZ ABF又/ EBF=Z CBEFZ CBF / EFB=Z BAEbZ ABF / EBF=Z EFB BE= EF; 6分解：T BE= EF, DE= 4 , DF= 3 , BE= EF= DE+ DF= 7 ,t be Ce , Z DBE=Z BAEtZ DEB=Z BEA BED

13、AEB DE=BE 即4= 7 BE AE 即 7 AE解得 AE="4 , 9分 AF= AE EF= 49-7 = ? 10分445. 1证明：t AD是O O的直径, Z ABD=Z ACD= 90° ,在 Rt ABD和 Rt ACD中 ,AB= ACAD= AD Rt AB匪 Rt ACDHL,/ BAD=Z CAD/ AB= AC AD垂直平分BC BE= CE 解：四边形BFCD是菱形理由如下： AD是O O的直径，AB= AC ADLBC BE= CE CF/ BD / FCE=Z DBE在厶 BEDm CEF中 ,/ DBE=Z FCEBE= CE,/ B

14、ED=Z CEF= 90° BEDA CEFASA), BD= CF,四边形BFCD是平行四边形，/ BAD=Z CAD BD= CD四边形BFCD是菱形； 解： AD是O O的直径，ADL BC BE= CE / ECD=/ CAE/ AEC=Z DEC= 90° , Rt CDE Rt ACE de_ce CAE CE= DE- AE设 DE= x,贝U AE= AD- DE= 10 x ,/ BC= 8 ,1 CE= ?BC= 4 , 42 = x(10 x),解得 x = 2 或 x = 8(舍去),在 Rt CED中 ,CD=P CE+ DE42 + 22 = 2

15、逅6. (1)解：点P为BC的中点，PG为O O的直径, BP= PC PGL BC CD= BD / ODB= 90° ,/ D为OP的中点，1 1 OD= OP= OB2 2 / OBD= 30° , AB为O O的直径， / ACB= 90° ,/ BAC= 60°证明：由知，CD= BD 在 PDBFHA KDC中,BD= CD/ BDP=Z CDKDP= DK PDBs KDCSAS, BP= CK / BP=Z CKD/ AOGZ BOP AG= BP, AG= CK/ OP= OB / OBP=Z BPO又/ G=Z OBP:丄 G=Z B

16、PO=Z CKD AG/ CK四边形AGKd平行四边形； 证明：T CE= PE CD= BD, DE/ PB 即 DH/ PB/ G=Z BPO PB/ AG DH/ AG / OAGZ OHD / G=Z ODH/ OA= OG / OAGZ G / ODH=Z OHD OD= OH 在 OBDA OPH中 ,OD= OH/ DOB=Z HOPOB= OP OBX OPHSAS, / OHP=Z ODB= 90° , PHLAB 7.证明：如解图，连接 OB3分6分9分第7题解图 AB为O O的切线， OBL AB / ABG-Z OBG 90° ,点E为DC的中点，O

17、EL CD/ OEGZ FGE= 90°,又 OB= OE/ OBGZ OEG/ ABG=Z FGE/ BGA=/ FGE/ ABG=Z BGA AB= AG证明：如解图，连接 BC/ DG= DE:丄 DGE=Z DEG由(1)得/ ABG=Z BGA又/ BGA=Z DGE/ A=Z GDE/ GBC=Z GDE/ GBC=Z A,/ BGC=Z AGBGB&A GAB GB_GC gaTgb GB= GC- GA解：如解图，连接 OD亠亠/ EF 3在 Rt DEF中，tan / EDF= 尸二,DF 4设EF= 3x ,贝U DF= 4x ,由勾股定理得 DE= 5x

18、 ,/ DG= DE- DG= 5x , GF= DG- DF= x.在Rt EFG中 ,由勾股定理得 GF+ EF= EG,即 x2+ (3x)2 = ( 10)2 ,解得 x= 1 ,设OO半径为 r,在 Rt ODF中 , OD= r, OF= r 3 , DF= 4 ,由勾股定理得 OF+ FD2= OD,即(r 3)2+ 42= r2 , f 25解得r =6 O O的半径为.& 解：DB= DA 理由如下： CD平分/ ACM / MC=Z ACD / ACD和/ ABD都是 AD所对的圆周角,/ AC=/ ABD/ MC=Z ABD 又/ MC=Z BAD/ BAD=Z

19、ABDDB= DA证明：如解图，连接 AF,第8题解图/ AD- BD Ad Bd ,/ Af Bc , Df Cd , AF= BC, DF= DC在厶 BCCm AFD中,BD- ADBC- AF,DC- DF BCD AFDSSS);解:J/ AC 120°,/ MC/ AC 60°,/ ABD- / BAD- / BDA= 60°, ABD是等边三角形，如解图，连接 DO并延长与AB交于点G,那么/ ADO 30°,过点 O作 OHLAD于点 H,贝U AD 2DH= 2OD cos30 ° - 5.3,/ ADFb/ DAF=/ AF

20、E=/ ACD- 60°,/ AD曰/ E-/ BAD- 60°, / DAF=/ E,J / ADF=/ EDA ADFA EDADA_dfDe-DAD- DF,J DF= DC- 6,DA= 5 3,25DE=亍9. (1)证明：J AB是O O直径, / ACB= 90°,J CGL AB / AD- / ACB= 90°,J / CA-/ BAC ACZ ABC证明：如解图，连接 0C第9题解图-PC切O O于点 c, OCL PC / PCT 90°,Z PCA-zOCT 90°,Z ACB= 90°, Z ABO

21、AT 90°,OC OA Z OCTzOAC Z PCA=ZABC(3)解：T AE/ PC / PCA=Z CAF / A吐 CGAcAg ,Z ABC=Z ACFZ PCA=Z ABCZ CAF=Z ABCZ ACF=Z CAFFA= FCCF= 5,AF= 5,AE/ PCZ FAD=Z P,3sin P=匚/3 sin / FAD=匚，5 . FD= 3, AD= 4, CD= 8,在Rt COD中，设CO= r，那么有 r = 10, AB= 2r = 20,/ AB是O O的直径， / AEB= 90°,3 sin / EAB=BE= 3ABT 5,.B320=

22、 5， BE= 12.10. (1)证明：如解图，连接 OM CM第10题解图/ BC为o O的直径，/ AM=Z BM= 90°,/ H是AC的中点，1 HC= HM= 2AC/ HM=Z HCM/ OM= OC/ OMC / OCM/ OM= / OCH/ AC= 90°=/ OCH/ OM=90°,即卩 OML MH又 OM为O O的半径，(3分) MH为O O的切线；&3解：T MH2， AC= 2MHh 3,亠亠AC 3在 Rt ABC中, tan / ABC=,BC 4 - BC= 4,(5分)故OO的半径为2;解：如解图，过点 D作DPI A

23、C于点P,连接ON第10题解图贝U DP= BC= 4, BD= PC设 DB= DN= x,贝U AP= 3-x,/ AN= AC= 3, AD x + 3.在Rt ADP中，由勾股定理得,(x + 3)2-(3 x)2= 42,4解得x= 3,DNh B> 3, AD= 13,/ QNL BC AC丄 BC BD£ BC- AC/ NQ/ DB4.DN=至即 3=BEAD BC 134 '16be=13，OE= OB- BE=曙， EN= ；ON OE=鲁,(9分)48 NQ= 2EN=百11. (1)解：直线 PA与O O相切.理由如下:/ ADO O的直径， C

24、G_ AD , AD垂直且平分CG AC= AG / Ad AGC/ AGC=Z B,Z PAC=Z B, / PAC=Z ACG PA/ CG/ CGL AD, PAL AD,又 AD为O O的直径直线PA是OO的切线；【一题多解】如解图，连接 DC第11题解图那么/ B=Z ADC AD是O O的直径, / AC圧 90° , / ADQ-Z DAC= 90°.又/ PAC=Z B, / ADC=/ PAC / PAOZ DAC= 90°,即 DAL PA PA是O O的切线.(2) 证明：由垂径定理得 Ac Ag ,/ Ad B,/ CAB=Z FAC ABCo ACF AC AB"AF= AC AC= AF- Ab又 AC= AG AG= AF- AB【一题多解】此题还可以通过连接BG证明FAG从而证得 aG= AF- AB(3) 解：由(2)得 AG= AF- ABT AG= AC= 2 5 , AB= 4 .''5 ,(2 ''5) 2= 4 .'5AF, AF= 5,如解图，连接 BD那么/ ABD= 90°,第11题解图由勾股定理得 BD=QAD_ AB =7102-( 4击)2 = 2心,/ AEF=Z ABD= 90&#