常微分方程考研讲义第三章一阶微分方程解的存在定理

1、第三章一阶微分方程解的存在定理教学目标1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，举握逐次逼近法，熟练近似解的 误差估计式。2. 了解解的延拓定理及延拓条件。3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。教学重难点解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。教学方法讲授，实践。教学时间12学时教学内容解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件， 解对初值的连续性、可微性定理及其证明。考核目标1理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。2. 熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。3. 利用解的存在唯一性定

2、理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。§1解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程來源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律， 能动解释所出现的各种现象并预测未來的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解 法的儿种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而丈际问题中 所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前 面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题 解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地 位，是近代常微分方程定性理

3、论，稳定性理论以及其他理论的根底。例如方程过点(0,0)的解就是不唯一，易知y=0是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，y=X或更 一般地，函数都是方程过点(0、0)而且定义在区间0<x<l上的解，其中c是满足0 vcvl的任一数。解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条 件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似 解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而 近似求解就失去意义：如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定 理保证了所求解的存在性和唯一性。1.存在

4、性与唯一性定理：(1) 显式一阶微分方程?=f(x,y)dx(3. 1)这里 f(x,y)是在矩形域：R：| x-Xq |<a,| y-y0 |<b(3.2)上连续。定理1：如果函数f(x,y)满足以下条件：1)在R上连续：2)在R上关于变量y满足 李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L>0»使对于R上任何一对点(x,y】)，(x,y2) 均有不等式| f(x,yj-f(x,y?)|成立，贝ij方程(3.1)存在唯一的解y =(z<x),在区间Ix-xolh上连续，而且满足初始条件(xo) = yo(3.3)其中 h = inin(a, g), M

5、= inax | f(x, y)|, L称为 Lipschi fz 常数.思路：1) 求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程 的连续解。2) 构造近似解函数列%(x)任取一个连续函数(x),使得|%(x)-y0|<b,替代上述积分方程右端的y，得到如果弼(x)三(x),那么(x)是积分方程的解，否那么，乂用®(x)替代积分方程右端的y, 得到如果(x)三久(x),那么®(x)是积分方程的解，否那么，继续进行，得到%g + J：Fg(x)dx(3.4)于是得到函数序列%(x).3) 函数序列%(x)在区间-hxo + h上一致收敛于久x),即存在，对(3. 4)取极限

6、，得到即久x) = y° +f(xx)dx.4) 久x)是积分方程y =%+f(x,y)dx在Xg-hXo + h上的连续解%这种一步一步求出方程解的方法一一逐步逼近法在定理的假设条件下，分五个命题來证明 定理.为了讨论方便，只考虑区间窃SxSXo + h,对于区间Xo-hVxSXo的讨论完全类似.命题1设y = x)是方程(3. 1)定义于区间Xo<x< + h上,满足初始条件xo)=yo(3.3)的解，那么y =x)是积分方程y=y°+f(x,y)dxxXq + IiJxo(3. 5)的定义于Xq < X < Xq +11 ±的连续解.

7、反之亦然.证明因为y =(x)是方程(3. 1)满足仅无)=y0的解,于是有两边取到x的积分得到即有久x)=y°+f(x,久x)dxXq <x<Xq + hJ书所以y=x)是积分方程y= y0+ fx f(x,y)dx定义在区间Xq < x< Xq + h上的连续解.Jxo反之，如果y = x)是积分方程(3. 5)上的连续解，那么久x)=y°+f(x,久x)dxXq <x<Xo + h(3.6)由于f(x,y)在R上连续，从而f(x,血x)连续,两边对x求导，可得而且Xo)=yo,故y=(x)是方程(3. 1)定义在区间Xq <x

8、<Xo + h±,且满足初始条件()= y0的解.构造Picard的逐次逼近函数序列%(x).%(x)=Yo«rx-(ii = h 2，)久(X)=y0 + J f (G %-i(§)dg Xo S x S Xq + h(3.7)命题2对丁所有的ii, (3. 6)中的函数(x)在旳SxSXo + li上有定义,连续且满足不 等式l%(x)-y0|<b(3.8)证明用数学归纳法证明当n = l时，务(x)= y°+f(g,yo)d百，显然®(x)在 <x<Xo + h±有定义、连续且有即命题成立.假设n = k

9、命题2成立，也就是在无5*5毛+ 1】上有定义、连续且满足不等式当n = k+l时，由于f(x,y)在R上连续，从而f(x.仇(x)在观SxSXg + h上连续，于是得知也(x)在XoWxWXo + li上有定义、连续,而且有即命题2对n = k+l时也成立.由数学归纳法知对所有的D均成立.命题3函数序列0n(X)在Xq < X < Xq + h ±是一致收敛的.证明构造函数项级数X必(X)+ 工徂(X)- 仇T(X)Xq < X < Xq + hk=l(3. 9)它的局部和为于是0n(x)的一致收敛性与级数(3. 9)的一致收敛性等价.为此，对级数(3. 9

10、)的 通项进行估计.I 冯(x)(x) |<Jj f (§, %(§) | dg < M(x-冯)(3. 10)由Lipschitz条件得知设对于正整数D,有不等式成立，那么由Lipschitz条件得知，当禺WxWXo + h时,有于是由数学归纳法可知，对所有正整数k,有Xq <x<Xo + h伦(X)-也(X)|<号(x-b '号卅由正项级数£ mlk-!- k=ik!(3. 11)的收敛性，利用Weierstrass判别法，级数(3. 9)在丸< x <观+ h上一致收敛.因而序列9n(x)在Xq <x&

11、lt;Xo + h上一致收敛.设liin(x) = <i9(x)，那么久x)也在Xq <x<Xo + h上连续,且命题4久x)是积分方程(3. 5)的定义在Xq S xS入+h上的连续解.证明 由Lipschitz条件以及%(x)在卞< x< + h L一致收敛于仅x),可知f(x.久(x)在 SxSXo + h上一致收 敛于f(x,仅x).因此即久(x)= y°+f(g,久g)站故久x)是积分方程(3. 5)的定义在Xo W x 5 Xo + h上的连续解.命题5设0(x)是积分方程(3. 5)的定义在 <x<Xo + h上的一个连续解，那

12、么久x)三0(x), <X<Xq + 11.证明设g(x) =1久x)-0(x)I,那么g(x)是定义在 <X<Xo4-ll的非负连续函数，由于而且f(x,y)满足Lipschitz条件，可得令u(x) = q；g(g)dg,那么u(x)是£ <x<Xo + h的连续可微函数，且u(Xo)= 0,0 < g(x) < u(x), u'(x) = Lg(x), ur(x) < Lu(x), (d(x) 一 Lu(x)e_u < 0,即(u(x)e 七)'SO,于是在 XoSxSXo + h 上，u(x)e-u=

13、 0故 g(x) <u(x)<0,即 g(x)三0, Xq 5x5X()+ 11,命题得证.对定理说明几点：存在唯一性定理中h = min(a,)的儿何意义.M在矩形域R中|f(x,y)|<M，故方程过(心几)的积分曲线y=O(X)的斜率必介于-M与M之 间,过点(心y0)分别作斜率为-M与M的直线.当M <-时，即a < ,(如图(a)所示)，解y=x)在XQ-aSxSXo + a上有定义；当 aMM>-W,即2",(如图(b)所示)，不能保证解在xo-a<x<xo + a±有定义，它有可 aM能在区间内就跑到矩形R外去，只

14、有当<x<Xq + 才能保证解y =久x)在R内， MM故要求解的存在范围是|x-Xo |<h.(2) 、由于李普希兹条件的检验是比拟费事的，而我们能够用一个较强的，但却易 于验证的条件来代替他，即如果函数f(X y)在矩形域R上关于y的偏导数fy(x y)存在并 有界，即|fy(x,y)|<L,那么李普希兹条件条件成立.事实上这里(x,y)(x,y2)wROv&vl.如果fy(x,y)在R上连续，它在R上当然满足李普希兹条 件.但是，满足李普希兹条件的函数f(x,y)不一定有偏导数存在.例如函数f(x,y)=| y|在任 何区域都满足李普希兹条件，但它在y =

15、 0处没有导数.(3) 、设方程(3.1)是线性的，即方程为易知，当P(x),Q(x)在区间Z0上连续时，定理1的条件就能满足,且对任一初值 (屯,),坷三0,0所确定的解在整个区间妝“上有定义、连续.实际上，对于一般方程(3.1),由初值所确定的解只能定义在Ix-xJVh上，是因为在 构造逐步逼近函数斥列伦(x)时,要求它不越出矩形域R,此时，右端函数对y没有任何限 制，只要取 M =| P(x)y0 + Q(x) |.(4) 、Lipschitz条件是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件.例如试证方程经过xoy平面上任一点的解都是唯一的.证明 y=0时，f(x,y)=ylii|y|,

16、在 yHO 上连续，f；(x,y) = l + ln| y| 也在 y工0上 连续，因此对x轴外的任一点(笛,),方程满足7(X0)= y0的解都是唯一存在的.又由可得方程的通解为y = ±e*,其中y = e&为上半平而的通解，y二一e"为下半平面的通解,它们不可能与y=0相交.注意到y=0是方程的解,因此对x轴上的任一点(Xo,O), 只有y= 0通过，从而保证xoy平面上任一点的解都是唯一的.但是因为lim|hi| y|=+oo,故不可能存在L>0,使得y->0所以方程右端函数在y=0的任何邻域并不满足Lipschitz条件.此题说明Lipschi

17、tz条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件.2)考虑一阶隐方程F(x,y$) = O(3. 12)由隐函数存在定理，假设在gy。,)的某一邻域内F连续且Fgy°,y；) = O,而孚HO,那么必 可把y唯一地表为x,y的函数/= f(x,y)(3. 13)并且f(x,y)于(冷,)的某一邻域连续,且满足yj = f(Xo，yo)如果F关于所有变元存在连续的偏导数，那么f(x,y)对x,y也存在连续的偏导数，并且芳 OF fdF=/dy 5y dy"(3. 14)显然它是有界的，由定理1可知，方程(3. 13)满足初始条件的y(xo) = 0解存在且唯一.从而 得

18、到下面的定理.定理2如果在点(丸,%)的某一邻域中：i ) F(x,y,y)关于所有变元(x,y,/)连续,且存在连续的偏导数；ii ) F(xc,y0,y；) = Oiii)竺3迪工°那么方程(3.12)存在唯一的解y= y(x) |x-Xo |<h(h为足够小的正数)满足初始条件丫(卞)=%, yg=y；(3. 15)1>近似计算和误差估计求方程近似解的方法一一Picard的逐次逼近法对方程的第n次近似解久(x)和真正解久x)在Ix-xjSh内的误差估计式(3. 16)此式可用数学归纳法证明.设有不等式成立，那么例1讨论初值问题=x2 + y2,y(0) = 0dx解

19、的存在唯一性区间，并求在此区间上与真正解的误差不超过0. 05的近似解,其中， R:-l<x<l,-l<y<l.解M = max | f(x,y|= 2,a = l,b = l,h = mina,=-,由于| |=|2y|<2 = L,根据(x.y)eRM 2dy误差估计式(3. 16)可知n = 3.于是03(x)就是所求的近似解，在区间-|<x<|上,这个解与真正解得误差不超过0. 05.§ 2解的延拓上节我们学习了解的存在唯一性定理，当世=f(x,y)的右端函数f(x,y)在R上满 dx足解的存在性唯一性条件时，初值问题= f(X，y)

20、的解在|X-xJWh上存在且唯一.但 y0 = y(xo)是，这个定理的结果是局部的，也就是说解的存在区间是很小的.可能随着f(x,y)的存在 区域的增大，而能肯定的解得存在区间反而缩小。例如，上一节的例1,当定义区域变为7 1 . 亠 1R:-2 < x<2,-2 < y<2时，M = 8,h = niin2,- = - » 解的范围缩小为| x-Xq |< .在实际 引用中，我们也希绍解的存在区间能尽量扩大，下面讨论解的延展概念，尽量扩大解的存 在区间，把解的存在唯一性定理的结果由局部的变成大范围的.1、饱和解及饱和区间定义1对定义在平面区域G上的微

21、分方程dx(3.1)设y = x)是方程(3. 1)定义在区间I U R上的一个解，如果方程(3.1)还有一个定义在区间 【2 UR上的另一解y = p(x),且满足(1) hub：但是 1122当 XEl时，傾 X三 0x那么称y= «<x,xg I】是可延拓的，并称y=0x是y = x在I?上的延拓.否那么如果不存在 满足上述条件的解y=px,那么称尸处0山已是方程3.1的不可延拓解或饱和解，此时 把不可延拓解的区间I】称为一个饱和区间.2、局部李普希兹条件定义2假设函数fx,y在区域G内连续，且对G内每一点P,都存在以P点为中心， 完全含在G内的闭矩形域,使得在±

22、; fx,y关于y满足李普希兹条件对于不同的 点，闭矩形域人的大小和李普希兹常数L可能不同，那么称f&y在G上关于y满足局 部李普希兹条件.定理3 延拓定理如果方程fx,y的右端函数fx,y在有界或无界区域 dxGgR2上连续，且在关于y满足局部李普希兹条件，贝IJ对任意一点y°wG,方程=fx.y以心为初值的解仅x均可以向左右延展，直到点x,久x任意接近区域 dxG的边界.以向x增大的一方来说，如果y =x只能延拓到区间上，那么当xt m时，x,仅x 趋于区域G的边界。证明 0心旳6,由解的存在唯一性定理，初值问题字=f(%y)dxYo = y(Xo)(1)存在唯一的解y=

23、x,解的存在唯一区间为I x-Xo |< 10取比=Xo + ho,% =仅当，以齐心为中心作一小矩形R wG,那么初值问题字=fgy< dxyi =血存在唯一的解y = px,解的存在唯一区间为| k-齐|<1.因为0刍=肖冯，有唯一性定理，在两区间的重磴局部应有久X= 0X,即当 Xj-g<X<X，时仅X= 0X.定义函数那么y =/x是方程3. 1满足1或的，在观-小+山上有定义的唯一的解.这样, 把方程3. 1满足的解y=久x在定义区间上向右延伸了一段.即把解y= /X看作方 程3. 1的解y= x在定义区间| x- Xq |<Bq的向右延拓，延拓到

24、更大区间 卞- < x< + % + »同样的方法，也可把解y =k)向左延拓.这种将曲线向左右延拓的 方法可继续进行下去，最后将得到一个解y =(x),不能再向左右延拓了.这个解称为方程 (3.1)的饱和解.推论1对定义在平面区域G上的初值问题<齐叫刃 其中(“心0 =皿)假设f(x,y)在区域G内连续且关于y满足局部Lipschtiz条件，那么它的任一非饱和解均可延 拓为饱和解.推论2 设y =亦0是初值问题其中(Xo，yo)GG伴"(3)< dxy0 = y(Xo)的一个饱和解，那么该饱和解的饱和区间I 一定是开区间.证明 假设饱和区间I不是开

25、区间，不妨设1=0,0,那么(0总0)疋6,这样解y=(x)还可以 向右延拓，从而y=x)是非饱和解，矛盾.对I =彳0)时，同样讨论，即x->0(或x->q) 时，(x,仅x)t5G.推论3如果G是无界区域，在上面解的延拓定理的条件下，方程(3.1)通过(心九)点的解 y=0(x)可以延拓，以向x增大(减小)一方的延拓来说，有以下两种情况：解y=©(x)可以延拓到区间S (或(虫,期);(2)解y=(p(x)只可延拓到区间比山】)(或(讥拓)，其中为有限数，那么当x->m时, 或#y=(x)无界，或者点(x,久x)t5G.例1讨论方程学=山分别通过点(0.0)和点

26、(In2,-3)的解的存在区间.dx 2解 此方程右端函数f(x,y) = W>在整个xy平面上满足解的存在唯一性定理及解的 延拓定理的条件.易知方程的通解为故通过点(0,0)的解为y=(l-ex)/(l + ex),这个解的存在区间为-oo<x<4-oo：通过点(In2,-3)的解为y= (1 +亍)/(1 一亍)，这个解的存在区间为0 vxv+s(如下图).注意，过点(ln2,-3)的解为y =(l + ex)/(l-ex)向右方可以延拓到g,但向左方只能延拓到0,因为当X->0时，y YO.例2讨论方程曳= l+lnx过(1,0)点的解的存在区间.dx解 方程右端

27、函数f(x,y) = l + lnx在右半平面x>0上满足解的存在唯一性定理及解的 延拓定理的条件.区域G (右半平面)是无界开域，y轴是它的边界.易知问题的解为y =xlnx,它于区间0 vxv*c上有定义、连续且当xtO吋，y 0,即 所求问题的解向右方可以延拓到乜，但向左方只能延拓到0,且当XT0时积分曲线上的点 (x,y)趋向于区域G的边界上的点.例3考虑方程= (y2 -a2)f(x,y),假设f(x, v)和fv(x,y)在xoy平面上连续，试证 dx明：对寸任意窃及|y0| < a »方程满足yCXq) = y0的解都在(-oo,+s)上存在.证明根据题设，

28、易知方程右端函数在整个xoy半面上满足解的存在唯一性定理及解 的延拓定理的条件.乂 y = ±a为方程在(虫,乜)上的解，由延拓定理可知，对Vxo，| y0|<a,满 足yg) = y0的解y = y(x)应当无限远离原点，但是，由解的唯一性，y = y(x)乂不能穿过直 线y = ±a,故只能向两侧延拓，而无限远离原点，从而解应在(y,乜)存在.注：如果函数f(x,y)于整个xoy平面上定义、连续和有界，同时存在关于y的一阶连 续偏导数,那么方程(3. 1)的任一解均可以延拓到区间_8VXVP.练习 试证对任意W，y0,方程学=,x满足初始条件¥()=&#

29、165;0的解都在dx + y +1(_oo,+oo)上存在§3解对初值的连续性和可微性定理在初值问题JS= f(x,y)中我们都是把初值(冷,)看成是固定的数值，然后再去讨 y0 = y(x<)论方程色=f(x,y)经过点(焉,北)的解.但是假设凤,)变动，那么相应初值问题的解也随 dx之变动，也就是说初值问题的解不仅依赖于H变最X,还依赖于初值(无,y0).例如： f(x,y) = y时，方程y = y的解是y之几将初始条件y(Xo)= y°带入可得y= yoex_x° 很显然它是白变量x和初始条件(冷,)的函数.因此将对初值问题dx的解记为y=x,Xo

30、，yo),它满足% = 於0，心)当初值发生变化时，对应的解是如何变化的？当初始值微小变动时，方程解的变化是 否也很小呢？为此就要讨论解对初值的一些性质.1、解关于初值的对称性设方程(3.1)满足初始条件y()=y0的解是唯一的，记为y二傾兀入*。)，那么在此关系 式中，(xy)与(比,)可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式证明在方程(3.1)满足初始条件y(Xo)= y0的解的存在区间内任取一点X，显然% =仅举心),那么由解的唯一，性知,过点(丙,)的解与过点(Xq, %)的解是同一条积分曲线, 即此解也可写为并且，有 =久卞用,). 乂由E，yJ是积分曲线上的任一点，因此关系

31、式 = 0(Xo，x,y)对 该积分曲线上的任意点均成立.2、解对初值的连续依赖性由于实际问题中初始条件一般是由实验测量得到的，肯定存在误差.有的时候误差 比拟大，有的时候误差比拟小，在实际应用中我们当然希望误差较小，也就是说当(冷,) 变动很小的时候，相应的方程的解也只有微小的变动，这就是解对初值的连续依赖性所要 研究的问题：在讨论这个问题之前，我们先来看一个引理：引理:如果函数f(x,y)于某域D内连续，且关于y满足Lipschtiz条件(Lipschtiz 常数为L),那么对方程(3.1)的任意两个解仅x)及p(x),在它们公共存在的区间内成立 着不等式|(x)-(x)|x0)-(x0)

32、|eLx_Xo(3. 17)其中入为所考虑区域内的某一值.证明 设久X), 0(x)于区间a <x<b上均有定义令那么于是 V'(x)$V'(x)|=2|x)_0(x)| f(x.0) f(x.i)|<2LV(x)从而(x)e_2Ijc)<0所以，对VxoGa,b,有对于区间a <x<Xq ,令-x<t,并记-Xq <t0,那么方程(3. 1)变为而且己知它有解y =久-1)和y = 0(-t).类似可得 V(x)<V(x0)e2L(x°-x),a<x<x0因此，<x<b,a <b两边

33、开平方即得(3. 17)利用此引理我们可以证明解对初值的连续依赖性：解对初值的连续依赖定理 假设f(x,y)在区域G内连续，且关丁 y满足局部李普希兹条件，如果初 值问题f(X，y)有解y0),它于区间a<x<b±有定义3<冷3),那么对任y0 = y()意£>o,m5=5(&a,b)>0,使得当(-)2+(-70)2<2时，方程(3. 1)满足条件y(%) = %的解y=久&%,%)在区间a<x<b上也有定义，并且有|久耳赢，) 一吹X,心)|v&aSxSb证明 记积分曲线段S : y=久凡禺防。)三

34、久x),a <x<b是xy平面上一个有界闭集.第一步:找区域D,使SuD,而且f(x,y)在D上关于y满足Lipschitz条件.由己知条件，对V(x,y)e S,存在以它为中心的开圆C,CuG ,使f(x,y)在其内关于y满 足Lipschitz条件.因此，根据有限覆盖定理，可以找到有限个具有这种性质的圆C,(i = l,2,N)(不同的C,其半径1；和Lipschitz常数L,的大小可能不同)，它们的全体覆 盖了整个积分曲线段S,令6 = |C,，那么SuGuG,对V£>0,记i-1Q二d(adS), = min(w,Q/2),L = max(L1,g),那么以

35、S上的点为中心，以77为半径的圆的全 体及其边界构成包含S的有界闭域DcGcG，且f(x,y)在D上关于y满足Lipschitz条 件，Lipschitz常数为L.第二步:证明 mS=5(£,a,b)>0(5<),使得当凤-)'+(% - y。)' C 时,解 y=(x) = Cx,y0)在区间a <x<b±也有定义.由于D是一个有界闭域，且f(x,y)在其内关于y满足Lipschitz条件，由解的延拓定理 可知，解y = (x) =必能延拓到区域D的边界上.设它在D的边界上的点为(c,0(c)和(dw(d), c<d,这时必有

36、c<a,d>b.否那么设c>a,d<b,由引理有 利用仅x)的连续性，对坊=卯e-Lg),必有> 0存在，使当| x-丸爲时有 |久X)-仇Xq)|v坊，取5 = min©,52),那么当凤一卞)，+ (%-%)?时就有| 仅x)-0(x)|胡 0凤)-0凤)|21<(1假却-处q 1+1仅xo)-以动i)ni< 2(1 临)-咻)f + I 久卞)一0(心)|2)严E<2(+|y0-y0l2)e2L(b-a)<4科e'L(b-a)=(c <x<d)(3. 18)于是对一切xec,d,|久x)-0(x)|v 成

37、立，特别地有| 仅c)-0(c)|v，他d)-0(d)|v 即点c,%c和d、0d均落在域D的内部，这与假设孑盾，故解y = 0x在区间a,b上有 定义.第三步 证明|仅x-0x|v&a 5x5b.在不等式3.18中将区间c,d换成a,b,可知当坷一舟2+%2?戸时，就有| 久乙勺， 久 x,Xo，%|vSw,aSxSb.根据方程解对初值的连续依赖定理及解对ft变量的连续性有3、解对初值的连续性定理假设函数fx,y在区域G内连续，且关于y满足局部李普希兹条件，那么方程3. 1的解 尸0区心九作为x,Xo，yo的函数在它的仔在范围内是连续的.证明 对VXo，yoGG,方程3. 1过,%的饱和解丫=0人心定义于 心,y0<x<0冷,y0上,令下证y =仅兀观,y°在V上连续.对 Vx,y0eV, 3a,b,使解 y =久兀环在a,b上有定义，其中 x,Ga,b.对 vg>o,mq >0,使得当禺一 £2 +%-%' 时，又y=x,x0,y0在xwa,b上对x连续，故362>0,使得当|x-x|<52时有取 min©,%,那