考研数学复习之多维随机变量及其分布

1、考研数学复习之多维随机变量及其分布来源:文都教育多维随机变量及其分布经常和随机变量的数字特征结合出一道大题,经常考试 的题型就是求连续性或者离散型随机变量的函数分布, 参数的值, 以及数字特征等, 题目类型很固定,分值在 11分左右,主要内容总结如下:一、二维随机变量概念与性质1、 定义 设 E 是随机试验, 则由定义在 E 的样板空间 上的随机变量 X 与 Y 构成的有 序对 , (Y X 称为二维随机变量。2、定义 对任意实数 y x , ,二元函数(, ( (, F x y P X x Y y P X x Y y =称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数。3、定义 称 (xPXxPXx

2、, y F(x, X F =-<<+=+为随机变量 X 的 边缘分布函数;称 (yPYPX , Y yF(, y Y F y =-<<+=+为随机变量 Y 的边缘分布函数。4、定义 若把二维随机变量 , (Y X 看成平面上随机点 , (Y X 的坐标,则分布函数, (y x F 就表示随机点落在以点 , (y x 为顶点的左下方的无限矩形域内的概率:5、分布函数具有以下基本性质:(1 1 , (0y x F ,且对任意 固定的 y , 0 , (=-y F ; 对任意固定的x ,0 , (=-x F ; 0 , (=-F , 1 , (=F .(2 , (y x F

3、分别是 x 和 y 的不减函数 .(3 , ( , 0(y x F y x F =+, , ( 0, (y x F y x F =+, 即 , (y x F 关于 x 或 y 均右连续 . (4若 2121, y y x x <<,则 0 , ( , ( , ( , (11122122+-y x F y x F y x F y x F .二、离散型随机变量及分布1、概念 如果二维随机变量 , (Y X 可能取的值是有限对或可列无限对,则称 , (Y X 是 二维离散型随机变量 。2、 联合分布律 , (Y X 的分布律或 X 和 Y 的联合分布律为ij j i p y Y x X

4、P =, , 1,2, , ; j 1,2, ,n i m =其中 ij p 满足:(1 ; 0ij p (2111=i j ijp。X 和 Y 的联合分布律也可用表格表示:213、边缘分布律随机变量 X 的分布律称为 X 的边缘分布律,且 12Xx p p p i i i in P =+ ;随机变 量 Y 的分布律称为 Y 的边缘分布律,且 12Yp p p i j j mj P y =+ ,二维 离散型 随机变量的联合分布律与边缘分布律关系为:1.2.m.1m m m n n n mn i Y X x x x p y p p p p y p p p p y p p p p p p p p注

5、:. j 111, 1mmi i j pp =三、连续型随机变量及分布1、概念 对二维随机变量 , (Y X 的分布函数 , (y x F ,如果存在非负函数 , (y x f ,使 对任意的 y x , 有-=yxdudv v u f y x F , ( , (则称 , (Y X 是二维连续型随机变量, , (y x f 称为 , (Y X 的概率密度, 或称为 X 和 Y 的 联合概率密度。2、 , (y x f 具有性质 (1 0 , (y x f (21 , (=-dxdy y x f(3设 G 是平面 xOy 上的区域,则 , (Y X 落在 G 内的概率为=Gdxdy y x f

6、G Y X P , ( , (4若 , (y x f 在点 , (y x 连续,则有, (, (2y x f yx y x F = 3、边缘密度函数X 的 边 缘 密 度 函 数 为 :-=dy y x f x f X , ( (; Y 的 边 缘 密 度 函 数 为 :-=dx y x f y f Y , ( (。4、边缘分布函数X 的边缘分布函数为:(xP(Xx ( xX X F f x dx -=; Y 的边缘分布函数为:(yP(Y (yyY Y F y f dy -=。5、常见的二维连续型随机变量均匀分布:设 D 是平面上的有界区域 , 其面积为 A , 若二维随机变量 (X , Y

7、的概率密度为=, ,0, (, 1, (其它 D y x Ay x f则称 (X , Y 在 D 上服从均匀分布。正态分布:设二维随机变量 (X , Y 的概率密度为-+-=2222212121212221 ( (2 ( 1(21exp 21, (y y x x y x f +<<-+<<-y x . 其中 1、 2、 1、 2、 都是常数 , 且 1> 0, 2> 0, -1 << 1. 我们称 (X , Y 为服从参数为1、 2、 1、 2、 的二维正态分布注:(1若 221122(u, ,Y (u, X N N 且 , X Y 相互独立,则

8、:22221212(aubu c,a b aX bY c N +四、二维随机变量的条件分布及独立性(一 条件分布1、离散型随机变量的条件分布设 二 维 随 机 变 量 , (Y X 的 联 合 分 布 律 为 ij j i p y Y x X P =, ,1,2, , ; j 1,2, ,n i m = ,则在 . (Xx p i i P =条件下 Yy j =的条件分布律为:.Xx ,Y y Yy Xx i j ij j i i i P p P X x P p =在 . j (X p j P y =条件下 Xi x =的条件分布律为:. jXx ,Y y Y y Yi j ij i j j

9、P p P X x P y p =2、连续型随机变量的条件分布 在 X x =条件下 Y 的条件密度为:/(x,yf y(xY X x f x f =在 Y y =条件下 X 的条件密度为:X/Y(x,yf y(yY f x f =(二 二维随机变量独立性1、 定义设 , (y x F 及 (, (y F x F Y X 分别是二维随机变量 , (Y X 的分布函数及边缘分布 函数。若对所有 y x , 有, y Y P x X P y Y x X P =即 ( ( , (y F x F y x F Y X = 则称随机变量 X 与 Y 是相互独立的。一般由边缘分布不能确定联合分布, 但当随机

10、变量具有独立性时, 联合分布就可由边缘 分布确定。2、 , (Y X 是二维离散型随机变量时, X 与 Y 相互独立的充分必要条件是, j i j i y Y P x X P y Y x X P =即 j i ij p p p =, , 2, 1, , 2, 1( =j i 。 3、 , (Y X 是二维连续型随机变量时, X 与 Y 相互独立的充分必要条件是( ( , (y f x f y x f Y X =。在 xOy 平面上几乎处处成立,或者 (, ( ( xy x yX Y dx f x y dy f x dx f y dy -+-=五、二维随机变量函数的分布1、两个离散型随机变量的函

11、数的分布律设二维离散型随机变量 ( X , Y 的分布律为 PX = xi , Y = y j = pij (i = 1,2,L, m；j = 1,2,L, n 。 则 X , Y 的函数 Z = g ( X , Y 的分布律可按以下步骤计算： （1）计算 g ( xi , y j (i = 1,2,L, m；j = 1,2,L, n ，将其中互不相同的按由小到大次序 排列，设为 z1 , z 2 ,L, zl ； （2）按以下公式计算 Z 取各个 z k 的概率 P(Z = z k = ij ( i , j | g ( xi , y j = z k åp (k = 1,2, L ,

12、 l 2、两个连续型随机变量的函数的分布，仅讨论以下几个具体的函数： （1） Z = X + Y 的分布 设 ( X , Y 的概率密度为 f ( x, y ，则 Z = X + Y 的分布函数为 FZ ( z = PZ £ z = x+ y£ z òò f ( x, ydxdy Z 的概率密度为 f Z ( z = 或 f Z ( z = ò +¥ -¥ f ( z - y, ydy ò +¥ -¥ f ( x, z - xdx ； 又若 X 与 Y 相互独立，则 f Z ( z = 

13、2; f X ( z - y × f Y ( ydy -¥ +¥ 或 f Z ( z = ò f X ( x × f Y ( z - xdx ； -¥ +¥ （2） Z = Y 和 Z = XY 的分布 X Y 和 XY 的概率密度分别为 X f Y / X ( z = ò | x | f ( x, xzdx ， -¥ +¥ f XY ( z = ò 又若 X 与 Y 相互独立，则 +¥ 1 1 z z f ( x, dx = ò f ( , xdx -¥

14、 | x | - ¥ x |x| x +¥ f Y / X ( z = ò | x | f X ( x × f Y ( xzdx ， -¥ +¥ f XY ( z = ò +¥ 1 1 z z f X ( x × f Y ( dx = ò f X ( × f Y ( xdx -¥ | x | -¥ | x | x x +¥ （3） M = maxX , Y 及 N = minX , Y 的分布 设随机变量 X , Y 相互独立，其分布函数分别为 FX ( x 和 FY ( y 。 M = maxX , Y 的 分布函数为 Fmax ( z = PM £ z = PX £ z, Y £ z = PX £ z × PY