目标规划在离散型动态投入产出模型中的应用

1、第36卷第4期2006年4月数学的实践与认识M AT HEM A TICS IN PRACTICE A ND T HEORY V ol.36N o.4A pr il,2006目标规划在离散型动态投入产出模型中的应用卢方元(郑州大学商学院,郑州450052关键词:目标规划;投入产出;动态模型1引言收稿日期:2003-11-19离散型动态投入产出模型的一般形式为1:X t -A t X t -B t +1(X t +1-X t =S t (1其中X t =(x 1t ,x 2t ,x n t T 、X t +1=(x 1t +1,x 2t +1,x n t +1T 分别表示第t 年、第t +1年n

2、个部门的总产量构成的列向量:S t =(s 1t ,s 2t ,s n t T 表示第t 年n 个部门的最终净产品构成的列向量:A t =(a ij t n ×n 是第t 年的生产消耗系数矩阵;B t +1=(b ij t n ×n 是投资系数矩阵,其下标表示投资产品形成生产能力被使用到生产中的年份.当应用模型(1对各部门的总产量进行预测时,就要求解下列形式的动态投入产出模型.B t +1X t +1=(I -A t +B t +1X t -S t (2模型(2中的I 为n 阶单位矩阵,A t 、B t +1、X t 、S t 为已知量,X t +1为未知量.在现实生活中,

3、由于有些部门(比如轻工业部门的产品往往不用于投资,这就使得投资系数矩阵B t +1会出现全为零的行,从而B t +1不可逆,给模型(2的求解带来困难.文献2至5分别采用不同的方法直接对模型(2进行求解,文献6利用线性规划方法间接对模型(2进行求解.显然对于同一模型采用不同的直接求解方法所得到的解向量X t +1往往是不相同的,且由某一种直接法所得到的X t +1是否合理,也就是X t +1与各部门的生产能力和实际水平是否相符、与政府或有关计划部门的要求是否相一致,本身无法进行说明.采用线性规划法对模型(2进行间接求解,极大地丰富了模型(2的经济内容,所得到的解不仅能使国民经济各部门保持综合平衡

4、、反映(2式本身所不能充分反映的国民经济其它基本比例关系,而且还能在现有人、财、物力基础上达到最优.但由于线性规划本身的局限性(如单目标,使得此解法在实际应用中存在着一定的局限性.本文采用目标规划法对模型(2进行求解,所得到的解与采用线性规划法所得的解相比,具有更大的实用价值.2目标规划求解方法目标规划就是求一组决策变量x j (j =1,2,n 和一组偏差变量d -k ,d +k (k =1,2,m -r ,使其满足约束条件122数学的实践与认识36卷a11x1+a12x2+a1n x n=(或 , b1a r1x1+a r2x2+a rn x n=(或 , b ra r+1,1x1+a r

5、+1,2x2+a r+1,n x n+d-1-d+1=b r+1a m1x1+a m2x2+a mn x n+d-m-r-d+m-r=b mx j,d-k,d+k,b i 0(i=1,2,m;j=1,2,n;k=1,2,m-r并使目标函数z=c-1p-1d-1+c-m-r p-m-r d-m-r+c+1p+1d+1+c+m-r p+m-r d+m-r达到最小.在上述模型中,偏差变量d-k、d+k分别表示未达到既定目标的偏差和超过既定目标的偏差.p-k、p+k分别是偏差变量d-k、p+k的优先级,它们只是优先级的一般形式,通常p-kp+k.当具体目标规划拟定之后,各偏差变量的优先级也确定了,这些

6、优先级实际上是取下列形式之一p-k、p+kp1,p2,p m-r,k=1,2,m-r优先级p i是刻画目标重要性程度的等级,重要性越大的目标,其优先级就越高.一般说来,处于前面的优先级一定重要于后面的优先级,即p i p i+1,它表示p i大大优于p i+1,也就是无论多大的正数n,都不能使np i+1 p i.c-k、c+k分别是偏差变量d-k、d+k的优先权,它们也只是优先权的一般形式.优先权通常刻画的是在同一优先级下不同目标重要程度的差异,重要性越大的目标,其优先权越大.当偏差变量d-k或d+k在目标函数中不出现时,优先权c-k 或c+k取零.从目标规划的约束条件构成可知,整个目标规划

7、的约束体系是由两大部分构成.第一部分是由一组仅含决策变量的等式或不等式所组成,它是用以描述经济活动应具备的种种条件,如拥有的各种人力、物力、财力资源和自然资源,各部门的生产能力以及许多内部条件和外部环境等;第二部分是由一组既含决策变量又含偏差变量的方程所组成,它是用以描述计划部门或决策部门所希望达到的种种目标,如投入目标、产出目标等.用目标规划求解模型(2,就是求解以(2式作为约束体系第一部分的主体,以决策部门所希望达到的种种目标为约束体系的第二部分的目标规划模型,本文称这种模型为动态投入产出目标规划模型.显然能否建立一个正确描述经济运行状况的动态投入产出目标规划模型,是用目标规划求解模型(2

8、成败的关键.下面就动态投入产出目标规划模型约束条件及目标函数的构成作一些探讨.2.1约束条件的构成在(2式中,当B t+1不可逆时,化简后方程的个数小于未知量的个数,它通常有无穷多组解,这样(2式可直接作为目标规划模型约束体系的一组约束条件.当然为了扩大可行解域,使动态投入产出目标规划模型有更大的适应性与灵活性,可事先对模型(2进行一些处理,如增加模型(2变量的个数.增加变量的个数可通过下列途径来实现.1增加工艺技术方式的选择.如设第i部门在第t+1年有 i t+1种生产工艺方式可供选用,则有:x i t +1= it +1k =1x ik t +1,i =1,2,n (3其中x ik t +

9、1表示第i 部门以k 种生产工艺方式生产的产量.2增加生产供给方式的选择,若设第i 部门在第t +1年的总产量可由 i t +1类企业来生产,则有:x i t +1= it +1l =1t 视为未知量或将s i t 细分后一部分量作为未知量,另一部分量作为已知量.若令u i t 、v i t 、w i t 、y i t 、z i t 分别表示第t 年第i 部门的最终净产品用于居民个人消费、社会集体消费、非生产性积累、增加国家储备、净出口,则有:s i t =u i t +v i t +w i t +y i t +z i t ,i =1,2,n (5由于模型(2只是重点表现物资生产部门之间的生产

10、性积累与扩大再生产的关系,而国民经济中许多其它重大比例关系,如国民收入使用中的积累与消费比例关系;社会生产劳动力的供需关系;消费品的供需关系;固定资产和流动资产的供需关系;自然资源的供需关系;进出口平衡关系等并未得到充分反映,因此在将模型(2或修改后的模型(2纳入动态投入产出目标规划模型约束体系的同时还有必要将上述各种比例关系通过具体的约束方程式纳入约束体系.上述各种比例的具体约束方程式,有关论著已有介绍,这里我们只给出它们的一般形式:C t +1X t +1 R t +1(6其中C t +1代表第t +1年生产单位产品的资源直接消耗系数矩阵,R i +1代表各种资源量构成的列向量.这里的资源

11、包括十分广泛的范围,除生产资源外,还包括劳动力,固定资产、流动资产和自然资源等.合并(2式和(6式,去掉矛盾方程和多余方程,结合(3、(4、(5式,即得动态投入产出目标规划模型约束体系的第一部分.约束体系第二部分的构成与第一部分的构成相比有较大的灵活性,它主要取决于决策部门在充分了解现有的各种经济情况和充分考虑规划期特定经济形势的基础上所希望实现的种种目标.根据实际需要,约束体系第二部分可由下列一些目标约束条件所组成.1若使第t +1年社会总产品不少于q 1,则目标约束条件为:n i =1x i t +1+d -1-d +1=q 1此目标可通过极小化d -1来实现.2若使对人们生活、经济发展和

12、国家的安危影响极大的部门i 1,i 2,i k 的产量之和尽可能达到q 2,则目标约束条件为:kj =1x i j t +1+d -2-d +2=q 2此目标可通过极小化d -2来实现.3若使第t 年生产性投资品在最终产品所占比例不超过q 3但不少于q 4,则目标约束条1234期卢方元:目标规划在离散型动态投入产出模型中的应用件为:n i=1nj=1b ij t+1(x j t+1-x j tn i=1(x i t-nj=1a ij t x j t+d-3-d+3=q3n i=1nj=1b ij t+1(x j t+1-x j tn i=1(x t i-nj=1a ij t x j t+d-4

13、-d+4=q4此目标可以通过极小化d3+、d4-来实现.4若使用来发展文教卫生、科学技术、居民住宅、城乡公共事业的建设投资的非生产性积累资金不低于q5,则目标约束条件为:ni=1w i t+d-5-d+5=q5此目标可通过极小化d-5来实现.5若使用社会消费的基金总额不超过q6,则目标约束条件为:ni=1v i t+d-6-d+6=q6此目标可通过极小化d+6来实现.6若使各种产品进出口总差额保证不出现逆差,或顺差不超过q7,则目标约束条件为:ni=1z i t+d-7-d+7=q7ni=1z i t+d-8-d+8=0此目标可通过极小化d+7、d-8来实现.其它目标约束可作类似讨论.2.2目

14、标函数的构成当约束体系构成以后,根据各目标的重要性程度进行排序,确定各偏差变量的优先级和优先权,从而构成以优先级、优先权为系数,以偏差变量为未知量的线性目标函数.用多阶段单纯形算法对动态投入产出目标规划模型进行求解,从而得到模型(2的解. 3结论从上述的分析可知,采用目标规划方法对模型(2进行求解,所得到的解不仅能反映国民经济各部门之间的综合平衡联系、反映(2式本身不能充分反映的国民经济其它基本比例关系,而且还能满足决策部门的种种愿望,因此具有很强的实用性与灵活性.但要注意模型(2有两项重要的假设:一是各部门投资的时滞是固定的,长度均为1年;二是投资是一次性的,即所有投资用品,包括建筑工程、安

15、装工程、机器设备、流动资产等的工程开始时(一年前同时投入,没有时间上的前后之分.但在现实生活中,许多部门投资的提前期超过1年,投资也不是一次性的而是多次性的.因此模型(2可能不符合实际经济情况,由模型(2作为约束条件主体而建立的动态投入产出目标规划模型当然也可能出现与实际情况不符的情124数学的实践与认识36卷形.为了使动态投入产出目标规划模型更加符合实际经济情况,我们可用下面的多年时滞和多次性投资的动态投入产出模型来代替模型(2作为目标规划模型约束体系第一部分的主体.l =1D t C t(l I t +l (X t +l -X t +l -1=X t -A t X t -S t (7其中

16、为国民经济各部门投资的最大提前期,I t +l 、C t (l 、D t 分别表示单位产值投资额矩阵、投资额的年度分配系数矩阵、投资额的部门产品构成系数矩阵(详见文献2.模型(7与模型(2相比变量的个数增加了很多,这就要求在将模型(7作为约束体系主体的同时无论是其它约束条件还是目标函数都要作相应的调整.只有这样动态投入产出目标规划模型才能真实地反映国民经济各部门之间的经济技术联系且能满足决策部门的各种要求.参考文献:1张守一.数量经济学概论M .沈阳:辽宁人们出版社,1985.2钟契夫,陈锡康.投入产出分析M .北京:中国财政经济出版社,1987.3荆海英等.广义离散型动态投入产出模型的预测J

17、.预测,1991,9(6:52.4卢方元.应用广义逆矩阵求解离散型动态投入产出模型J .数学的实践与认识,1994,24(3:14.5张京.一类动态投入产出模型的解J .辽宁大学学报自然科学版,1995,22(4:510.6卢方元.离散型动态投入产出预测模型解的探讨J .预测,1995,13(3:6769.The Application of Goal Programming to DiscreteDynamic Input -Output ModelLU Fang -yuan(China ;Business Scho ol,Zhengzhou U niver sity ,Zhengzhou

18、450052,ChinaAbstract :T his paper constitut es the dy na mic input -output g oal pro gr amming model,on co n-ditio n that discr ete dy namic input -output m odel is reg arded as the pr incipal part o f restr icted conditio n and a v ariety of aims o f decision depart ment as a annex o f r estricted condit