高三数学课件：第八章 第五节 椭 圆

1、第五节 椭 圆1.1.椭圆的定义椭圆的定义(1)(1)满足条件满足条件在平面内在平面内, ,点点P P到两个定点到两个定点F F1 1，F F2 2的距离之的距离之_为定值为定值, ,定值大于定值大于_._.(2)(2)焦点：两定点焦点：两定点F F1 1,F,F2 2. .(3)(3)焦距：两焦距：两_间的距离间的距离. .和和|F|F1 1F F2 2| |焦点焦点【即时应用即时应用】(1)(1)思考：椭圆定义中能去掉思考：椭圆定义中能去掉“定值大于定值大于|F|F1 1F F2 2|”|”吗？吗？提示提示: :不能不能. .因为当定值等于因为当定值等于|F|F1 1F F2 2| |时，

2、点的轨迹是线段时，点的轨迹是线段F F1 1F F2 2, ,当定值小于当定值小于|F|F1 1F F2 2| |时，点的轨迹不存在时，点的轨迹不存在. .(2)(2)判断下列点的轨迹是否为椭圆判断下列点的轨迹是否为椭圆.(.(请在括号内填请在括号内填“是是”或或“否否”) )平面内到点平面内到点A(0A(0，2)2)，B(0B(0，-2)-2)距离之和等于距离之和等于2 2的点的轨迹的点的轨迹 ( )( )平面内到点平面内到点A(0A(0，2)2)，B(0B(0，-2)-2)距离之和等于距离之和等于4 4的点的轨迹的点的轨迹 ( )( )平面内到点平面内到点A(0A(0，2)2)，B(0B(

3、0，-2)-2)距离之和等于距离之和等于6 6的点的轨迹的点的轨迹 ( )( )【解析解析】由椭圆的定义可知由椭圆的定义可知: :距离之和小于距离之和小于|AB|AB|，所以点的，所以点的轨迹不存在；距离之和等于轨迹不存在；距离之和等于|AB|AB|，点的轨迹是以，点的轨迹是以A A、B B为端点为端点的一条线段；符合椭圆定义，点的轨迹是以的一条线段；符合椭圆定义，点的轨迹是以A A、B B为焦点，长为焦点，长轴长为轴长为6 6的椭圆的椭圆. .答案答案: :否否 否否 是是2.2.椭圆的标准方程和几何性质椭圆的标准方程和几何性质 标准方程标准方程 (a (ab b0)0) (a (ab b0

4、)0)图形图形2222yx+1ab2222xy+1ab性性质质范围范围_x_x_y_y_x_x_y_y_对称性对称性对称轴：对称轴：_对称中心：对称中心：_顶点顶点A A1 1_,A_,A2 2_B B1 1_，B B2 2_A A1 1_，A A2 2_B B1 1_，B B2 2_轴轴长轴长轴A A1 1A A2 2的长为的长为_短轴短轴B B1 1B B2 2的长为的长为_-a-aa a-b-bb b-b-bb b-a-aa a坐标轴坐标轴原点原点(-a(-a，0)0)(a(a，0)0)(0(0，-b)-b)(0(0，b)b)(0(0，-a)-a)(0(0，a)a)(-b(-b，0)0)

5、(b(b，0)0)2a2a2b2b性性质质焦距焦距|F|F1 1F F2 2|=_|=_离心率离心率 _a,b,ca,b,c的关系的关系c c2 2=_=_cea(0(0，1)1)a a2 2-b-b2 22c2c【即时应用即时应用】(1)(1)思考思考: :椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系? ?提示提示: :因为离心率因为离心率 ，所以，离心率越接，所以，离心率越接近于近于1 1，b b就越接近于就越接近于0 0，即短轴的长接近于，即短轴的长接近于0 0，椭圆就越扁；离，椭圆就越扁；离心率越接近于心率越接近于0 0，a a、b b就越接

6、近，即椭圆的长、短轴长越接近就越接近，即椭圆的长、短轴长越接近相等，椭圆就越接近于圆，但永远不会为圆相等，椭圆就越接近于圆，但永远不会为圆. .222cabbe1 ()aaa(2)(2)已知椭圆已知椭圆 的焦点在的焦点在y y轴上，若椭圆的离心率为轴上，若椭圆的离心率为 ，则，则m m的值为的值为_._.【解析解析】 的焦点在的焦点在y y轴上，所以轴上，所以a a2 2=m,=m,b b2 2=2=2，离心率为，离心率为 ，又离心率为，又离心率为 ，所以所以 ，解得，解得m= .m= .答案答案: : 22xy12m1222xy12m22cabm2eaam12m212m8383(3)(3)已

7、知椭圆的短轴长为已知椭圆的短轴长为6 6，离心率为，离心率为 ，则椭圆的一个焦点到，则椭圆的一个焦点到长轴端点的距离为长轴端点的距离为_._.【解析解析】因为椭圆的短轴长为因为椭圆的短轴长为6 6，所以，所以b=3 b=3 又因为离心率为又因为离心率为 ，所以，所以 又因为又因为a a2 2=b=b2 2+c+c2 2 解组成的方程组得：解组成的方程组得：a=5,c=4.a=5,c=4.所以，焦点到长轴端点的距离为：所以，焦点到长轴端点的距离为：a+c=9a+c=9或或a-c=1.a-c=1.答案答案: :9 9或或1 14545c4a5热点考向热点考向 1 1 椭圆的定义、标准方程椭圆的定义

8、、标准方程 【方法点睛方法点睛】1.1.椭圆定义应用时的两点注意椭圆定义应用时的两点注意利用椭圆的定义解题时，一方面要注意常数利用椭圆的定义解题时，一方面要注意常数2a|F2a|F1 1F F2 2| |这一条件；这一条件；另一方面要注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的另一方面要注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的“焦点三焦点三角形角形”中的数量关系中的数量关系. .2.2.椭圆的标准方程的理解椭圆的标准方程的理解(1)(1)当已知椭圆的焦点在当已知椭圆的焦点在x x轴上时，其标准方程为轴上时，其标准方程为 (ab0)(ab0)；当已知椭圆的焦点在；当已知椭圆的焦点在y y轴上时，其标准方

9、程为轴上时，其标准方程为(2)(2)当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为为 (m0,n0,mn)(m0,n0,mn)，这样可避免讨论和复杂的计算；，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为也可设为AxAx2 2+By+By2 2=1(A0,B0,AB)=1(A0,B0,AB)这种形式这种形式, ,在解题时更简便在解题时更简便. . 2222xy1ab2222yx1 ab0ab；22xy1mn【例例1 1】(1)(1)已知已知ABCABC的顶点的顶点B B、C C在椭圆在椭圆 上，顶点上，顶点A A是是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外

10、一个焦点在椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BCBC边上，则边上，则ABCABC的的周长为周长为_._.(2)(2)已知点已知点P P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P P到两焦点的距离到两焦点的距离分别为分别为5 5、3 3，过，过P P且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点，且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程求椭圆的方程. .22xy13【解题指南解题指南】(1)(1)注意注意A A为椭圆的一个焦点，且为椭圆的一个焦点，且BCBC边过椭圆的另边过椭圆的另一个焦点，因此，可借助于椭圆的定义求一个焦点，因此，可借助于椭圆的定义求ABCABC的周

11、长的周长.(2).(2)可先可先设椭圆的方程为设椭圆的方程为 ，再根据题设条，再根据题设条件求出相应的系数值即可件求出相应的系数值即可. .22222222xyyx11(ab0)abab或【规范解答规范解答】(1)(1)因为因为A A为椭圆的一个焦点，且为椭圆的一个焦点，且BCBC边过椭圆的另边过椭圆的另一个焦点，设该焦点为一个焦点，设该焦点为F F，所以由椭圆的定义得：，所以由椭圆的定义得：|BA|+|BF|= ,|CA|+|CF|= ,|BA|+|BF|= ,|CA|+|CF|= ,因此，因此，ABCABC的周长为的周长为 . .答案答案: : 2 32 34 34 3(2)(2)设椭圆方

12、程为设椭圆方程为 ，因为，因为P P到两焦到两焦点的距离分别为点的距离分别为5 5、3 3，所以，所以2a=5+3=82a=5+3=8，即，即a=4a=4，又因为过，又因为过P P且与且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点，所以长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点，所以(2c)(2c)2 2=5=52 2-3-32 2=16=16，所以所以c c2 2=4=4，因此因此b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=12=12，所以椭圆方程为：，所以椭圆方程为：22222222xyyx11(ab0)abab或2222xyyx11.16121612或【互动探究互动探究】本例本例(2)(2)将条件将条件“

13、过过P P且与长轴垂直的直线恰好过且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点椭圆的一个焦点”改为改为“点点P P和两焦点构成的三角形为直角三角和两焦点构成的三角形为直角三角形形”, ,结果如何？结果如何？【解析解析】当其中一个焦点为直角顶点时，与例题条件相同，当其中一个焦点为直角顶点时，与例题条件相同，所以，椭圆方程为所以，椭圆方程为当直角顶点为点当直角顶点为点P P时，则有时，则有(2c)(2c)2 2=5=52 2+3+32 2=34=34，所以所以c c2 2= = ，又因为，又因为a=4a=4，所以，所以b b2 2=a=a2 2-c-c2 2= =所以椭圆方程为：所以椭圆方程为：综上可知

14、：所求椭圆方程为：综上可知：所求椭圆方程为：或或2222xyyx1116121612或；172152，2222x2yy2x1116151615或；2222xyyx1116121612或2222x2yy2x11.16151615或【反思反思感悟感悟】1.1.从两个题目求解可以看出，在解决椭圆上的从两个题目求解可以看出，在解决椭圆上的点到焦点的距离问题时，经常联想到椭圆的定义，进而得出长点到焦点的距离问题时，经常联想到椭圆的定义，进而得出长轴的长；轴的长；2.2.在求椭圆方程时，若已知椭圆上的点到两焦点的距离，可先在求椭圆方程时，若已知椭圆上的点到两焦点的距离，可先求出椭圆长轴长，再想法求短轴长，

15、从而得出方程；若已知点求出椭圆长轴长，再想法求短轴长，从而得出方程；若已知点的坐标，可先设出椭圆的标准方程，再利用待定系数法求解；的坐标，可先设出椭圆的标准方程，再利用待定系数法求解；当椭圆的焦点不确定时，应考虑焦点在当椭圆的焦点不确定时，应考虑焦点在x x轴、在轴、在y y轴两种情形，轴两种情形，无论哪种情形，始终有无论哪种情形，始终有ab0.ab0.【变式备选变式备选】已知已知F F1 1、F F2 2是椭圆是椭圆C C： (a(ab b0)0)的两个焦的两个焦点，点，P P为椭圆为椭圆C C上的一点，且上的一点，且 . .若若PFPF1 1F F2 2的面积为的面积为9 9，则，则b=_

16、.b=_.【解析解析】设设|PF|PF1 1|=r|=r1 1,|PF,|PF2 2|=r|=r2 2, ,则则=4a=4a2 2-4c-4c2 2=4b=4b2 2, , ,b=3. ,b=3.答案答案: :3 32222xy1ab12PFPF 1222212rr2a,rr4c ,1 22PFF1 21Srrb922221 212122rr(rr )(rr )热点考向热点考向 2 2 椭圆的几何性质及应用椭圆的几何性质及应用 【方法点睛方法点睛】1.1.几何性质中的不等关系几何性质中的不等关系对于椭圆标准方程中对于椭圆标准方程中x x、y y的范围，离心率的范围等，在求与椭的范围，离心率的范

17、围等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值、最小值时，圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值、最小值时，经常用到这些不等关系经常用到这些不等关系. .2.2.利用椭圆几何性质应注意的问题利用椭圆几何性质应注意的问题求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系们之间的内在联系. .3.3.求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率时，一般是依据题设得出一个关于求椭圆

18、的离心率时，一般是依据题设得出一个关于a a、b b、c c的等的等式式( (或不等式或不等式) )，利用，利用a a2 2=b=b2 2+c+c2 2消去消去b b，即可求得离心率或离心率，即可求得离心率或离心率的范围的范围. .【提醒提醒】椭圆离心率的范围椭圆离心率的范围:0e1.:0eb0)(ab0)的两个焦点分别的两个焦点分别为为F F1 1、F F2 2，点，点P P在椭圆上，且在椭圆上，且 ，tanPFtanPF1 1F F2 2=2,=2,则该椭圆则该椭圆的离心率等于的离心率等于_._.22xy143OP FP 2222xy1ab12PF PF0 【解题指南解题指南】(1)(1)

19、关键是将关键是将 用点用点P P的坐标表示，再利用点的坐标表示，再利用点P P在椭圆上，转化成一个变量的函数求最大值，但要注意点在椭圆上，转化成一个变量的函数求最大值，但要注意点P P的的坐标的取值范围坐标的取值范围. .(2)(2)由由 得得F F1 1PFPF2 2为直角三角形，再由为直角三角形，再由tanPFtanPF1 1F F2 2=2=2得出两直角边的比为得出两直角边的比为2 2，而斜边长为，而斜边长为2c2c，由勾股定理及椭圆的定，由勾股定理及椭圆的定义即可求出离心率义即可求出离心率. .OP FP 12PF PF0 【规范解答规范解答】(1)(1)选选C.C.由椭圆由椭圆 可得

20、点可得点F(-1F(-1，0)0)，点，点O(0O(0，0)0)，设，设P(x,y)(-2x2),P(x,y)(-2x2),则则 =x=x2 2+x+y+x+y2 2= =x x2 2+x+3(1- )= x+x+3(1- )= x2 2+x+3= (x+2)+x+3= (x+2)2 2+2,+2,当且仅当当且仅当x=2x=2时，时， 取得最大值取得最大值6.6.(2)(2)因为因为 ，所以，所以PFPF1 1PFPF2 2，得，得F F1 1PFPF2 2为直角三角形，为直角三角形，又因为又因为tanPFtanPF1 1F F2 2=2=2，所以可设，所以可设|PF|PF1 1|=m|=m，

21、则，则|PF|PF2 2|=2m|=2m，2a=3m2a=3m，所以离心率所以离心率答案答案: : 22xy143OP FP 2x41414OP FP 12PF PF0 2c5m，c2c5m5e.a2a3m353【反思反思感悟感悟】1.1.求解与椭圆几何性质有关的问题时常结合图求解与椭圆几何性质有关的问题时常结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形. .当涉及当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系间的关系，挖掘出它们之间的内

22、在联系. .2.2.本例本例(2)(2)是依据题设条件求椭圆的离心率，通过求解过程，我是依据题设条件求椭圆的离心率，通过求解过程，我们可以看出，求椭圆的离心率的值，关键是寻找关于们可以看出，求椭圆的离心率的值，关键是寻找关于a a、c c的一的一个等式，或解方程求出离心率，或直接求出离心率；个等式，或解方程求出离心率，或直接求出离心率；3.3.在解方程求椭圆离心率的值时，要注意椭圆离心率的范围，在解方程求椭圆离心率的值时，要注意椭圆离心率的范围，有增根要舍去有增根要舍去. .【变式训练变式训练】定义：离心率定义：离心率 的椭圆为的椭圆为“黄金椭圆黄金椭圆”，已知已知E E： (ab0)(ab0

23、)的一个焦点为的一个焦点为F(c,0)(c0)F(c,0)(c0)，则，则E E为为“黄金椭圆黄金椭圆”是是“a a、b b、c c成等比数列成等比数列”的的( )( )(A)(A)既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件(B)(B)充要条件充要条件(C)(C)充分而不必要条件充分而不必要条件(D)(D)必要而不充分条件必要而不充分条件 51e22222xy1ab【解析解析】选选B.B.若若E E为黄金椭圆，则为黄金椭圆，则b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=ac=ac所以所以a,b,ca,b,c成等比数列成等比数列. .若若a a、b b、c c成等比数列，则成等比数列，则b b2 2

24、=ac=ac a a2 2-c-c2 2=ac=ace e2 2+e-1=0+e-1=0，又，又0e1,0eb0)(ab0)的左顶点，的左顶点，B B，C C在椭圆在椭圆E E上，若四边形上，若四边形OABCOABC为平行四边形，且为平行四边形，且OAB=30OAB=30，则椭圆，则椭圆E E的离心率等于的离心率等于_._.2222xy1ab【解析解析】依题设知：点依题设知：点C C的坐标为的坐标为( )( )，又因为点，又因为点C C在椭圆在椭圆E E上，所以有上，所以有 ，解得，解得a a2 2=9b=9b2 2，因此因此，a a2 2=9(a=9(a2 2-c-c2 2) )，即，即所以

25、椭圆所以椭圆E E的离心率等于的离心率等于 . .答案答案: : a3a,262222a3a14a36b22c8a9，2 232 23热点考向热点考向 3 3 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系【方法点睛方法点睛】1.1.直线与椭圆位置关系的判断直线与椭圆位置关系的判断将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于的组数来确定，即用消元后的关于x(x(或或y)y)的一元二次方程的判的一元二次方程的判别式别式的符号确定：当的符号确定：当00时，直线与椭圆相交；当时，直线与椭圆相交；当=0=0时，时，

26、直线与椭圆相切；当直线与椭圆相切；当0b0)(ab0)的焦距为的焦距为 ，离心率为，离心率为(1)(1)求椭圆方程；求椭圆方程；(2)(2)设过椭圆顶点设过椭圆顶点B(0,b)B(0,b)，斜率为，斜率为k k的直线交椭圆于另一点的直线交椭圆于另一点D D，交交x x轴于点轴于点E E，且，且|BD|BD|，|BE|BE|，|DE|DE|成等比数列，求成等比数列，求k k2 2的值的值. .2222xyab2 33.2【解析解析】(1)(1)由已知由已知 解得解得a=2a=2，c=c=所以所以b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=1=1，椭圆的方程为椭圆的方程为(2)(2)由由(1)(1)得过得过B B点的直线为点的直线为y=kx