大数赛《解析几何》第五章培训讲义.

1、大学生数学竞赛解析几何培训讲义第五章二次曲线的一般理论一、本章知识脉络框图一般式方程二次曲线的方程双线性式方程矩阵式方程两个不同的实交点两个重合的实交点直线与二次曲线 两个共轭的虚交点的相关位置惟一实交点没有交点直线在二次曲线上二次曲线按中心分类二次曲线的中心、渐近方向及渐近线二次曲线按渐近方向分类二次曲线的直径及共轭直径、主方向及主直径用坐标变换化简二次曲线的化简用不变量化简二、本章重点及难点二次曲线属于平面解析几何的内容。 在中学我们已经对二次曲线的各种具体表现形式做了比较多的研究，如椭圆、双曲线、抛物线等。在这一章，我们主要是对所有的二次曲线作一个一般理论上的研究。本章的重点是：二次曲线

2、与直线的交点；二次曲线按中心分类、二次曲线按渐近方向分类；二次曲线的中心、渐近方向和渐近线、主方向和主直径；化简二次曲线 .本章的难点是：主方向和主直径；化简二次曲线 .利用二次曲线的不变量解决有关问题.三、本章的基本知识要点1. 将二次曲线的一般方程表示为双线性式：F ( x, y)xF1( x, y) yF2 (x, y)F3 ( x, y) 0其中 F ( x, y) a11 x 22a12 xya22 y 22a13 x2a23 ya33F1 ( x, y) a11 x a12 y a13F2 ( x, y) a12 x a22 y a23F3 (x, y)a13 xa23 ya33也

3、可以表示成短阵形式：xF ( x, y)x, y,1 A y01a11a12a13其中矩阵 A 是一个对称矩阵Aa21a22a23 , aija jia31a32a33xx0tX代入二次曲线的方程中，得到2. 将直线 l :yy0tY( x, y)t 22 F ( x0, y0) XF( x, y)Y t F ( x , y) 0120000其中 ( x, y) a11 x 22a12 xya22 y 2记F1(x0,y0)X F2(x0,)2(,)(x0,y0) 0y0 YXYF通过方程的系数的讨论，直线与二次曲线的位置关系如下：（ 1）( x, y)0,>0直线与二次曲线有两个不同的

4、实交点（ 2）( x, y)0,=0有一对相重合的实交点（ 3） ( x, y)0, 0没有实交点（ 4） ( x, y) 0, XF1 (x0 , y0 )YF2 (x0 , y0 ) 0直线与二次曲线只有一个实交点（ 5）( x, y)0, XF1 (x0 , y0 )YF2 ( x0 , y0 ) 0, F ( x0 , y0 ) 0直线与二次曲线没有实交点（ 6）( x, y)0, XF1 (x0 , y0 )YF2 ( x0 , y0 ) 0, F ( x0 , y0 ) 0直线落在曲线上3. 在二次曲线上一点 Mo(x。， y。 ) 处的切线方程xF1 ( x0 , y0 )yF2

5、 (x0 , y0 )F3 ( x0 , y0 )04.满足( X , Y)0 的方向X ,Y称为二次曲线的渐近方向，按渐近方向可以将二次曲线分成三类：（ 1） I 2 >0：椭圆型、（ 2） I 2 =0：抛物型（ 3） I 2 0：双曲型其中 I2a11a12a21a225. 满足F1(x0 , y0 )0F2(x0 , y0 )的点 (x 。，y。 ) 称为二次曲线的中心，按中心也可以将二次曲0线分为三类：（1）I20 ：中心曲线（ 2） a11a12a13：无心曲线a12a22a23（ 3） a11a12a13：线心曲线a12a22a23F1 ( x0 , y0 )06. 满足F

6、2 ( x0 , y0 )0 的点 (x 。，y。) 称为二次曲线的奇异点，二次曲线在奇异点的F3 ( x0 , y0 )0切线不确定 .7. 二次曲线的直径是二次曲线的对称轴（ 1)中心曲线无实的渐近方向，对任意方向X,Y 的直径为XF1 ( x, y) YF2 (x, y) 0（ 2）无心曲线的直径平行于曲线的渐近方向（ 3)线心曲线只有一条直径： a11 x a12 ya13 08. 二次曲线的与非渐近方向 X : Y 共轭的直径方向X : Y(a12 Xa22Y ) : (a11 X a12Y) 叫做非渐近方向X : Y 的共轭方向，具有共轭方向的直径称为共轭直径 .9. 与共轭方向垂

7、直的方向称为主方向，具有主方向的直径称为主直径.X : Y 成为二次曲线的主方向的条件是a11 Xa12YX 1)a12 Xa22Y(5Ya11a120由特征方程a22a12即 2I1I 20 解出再代入 (5 1) 就可求出曲线的主方向. 其中I 1a11a2210. 化简二次曲线的方程（ 1）用坐标变换化简二次曲线的方程如果曲线为中心二次曲线可以求出中心作新坐标系的原点进行移轴消去二次曲线方程的一次项， 然后再通过使转角满足 cot 2a11a22的转轴变换消去二次曲线方程的交2a12叉项；如果曲线是无心曲线，则先作使转角满足 cot 2a11 a22 的转轴变换消去二次2a12曲线方程的

8、交叉项，然后再通过对方程配方的方法找出移轴公式进行移轴化简方程；如果曲线是线心曲线，可以通过分解因式的方法化简.利用转轴来消去二次曲线方程的xy 项，它有一个几何意义，就是把坐标轴旋转到与二次曲线的主方向平行的位置. 这是因为如果二次曲线的特征根确定的主方向为X : Y ，那么由(5 1) 可以得Ya12a11tana22a12X21a121tan2a22cot 22 tana122a22所以a12a111a22a12a11a222a122a12a22因此，上面介绍的通过转轴与移轴来化简二次曲线的方程，实际上是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径 （即对称轴） 重合的位置 . 如果是中心曲线， 坐

9、标原点与曲线的中心重合；如果是无心曲线， 坐标原点与曲线的顶点重合； 如果是线心曲线， 坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合 . 因此，二次曲线的方程的化简，只要先求出曲线的主直径，然后以它作为坐标轴，作坐标变换即可 .(2) 用曲线的不变量和半不变量化简二次曲线的方程在直角坐标变换下， I 1 , I 2 , I 3 都是不变量；K 10 是半个不变量所以可以通过二次a11a12a13曲线的系数矩阵 A 求出二次曲线的标准方程其中I 3a21a22a23a31a32a33如果曲线为中心二次曲线，从特征方程2I 1I 20 求出1 ，2 就可以写出曲线的简化方程为 1x 22 y2I 30 .

10、I 2如果曲线是无心曲线，简化方程为I 1 y 22I 3x0 .I 1如果曲线是线心曲线，简化方程为I 1 y 2K 10 .I 1四、基本例题解题点击【例 1】作转轴变换， 消去二次曲线x 2xyy22x4y0中的 xy 项，求转角.【解】 因为作使 cot 2a11a22 的转角就可以消去二次曲线方程中的xy 项2 a12所以 cot 2110 ，14【例 2】 求二次曲线3x22xy3y 24x4y 40 的简化方程 .【提示 】因为只要求曲线的简化方程，不要求画图 . 因此可以用二次曲线的不变量来解.【解】 因为 I23180 ，所以曲线为中心曲线 .13312I1 3 3 6,I3

11、13264224从特征方程2I 1I 20 即2680 求出12 ， 24简化方程为1 x22 y2I 30 ，解得简化方程为x 22y 24 0I 2【例 3】 作移轴变换，消去中心二次曲线x22xy2 y 22x4 y0 中的一次项，求新原点的坐标 .【解】 因为 I21110 ，所以曲线为中心曲线 .12只要求出曲线的中心作新坐标系的原点进行移轴就可以消去二次曲线方程的一次项.解方程组xy100，1）.x2y2求得曲线的中心坐标为（0【例 4】 如果二次曲线 x26 xy ay 23x 9 y40 是线心曲线，求a 的值 .【解】 因为二次曲线为线心曲线的充要条件是a11a12a13a1

12、2a22.a23所以 133293a2求出 a9【例 5】 求二次曲线x 2 + 2xy + y 2 + 3x + y = 0 的渐近方向 .【解】 因为满足(X ,Y) 0的方向 X,Y就称为二次曲线的渐近方向所以只要解方程X 22 XYY 20 就可以求得二次曲线的渐近方向因此已知二次曲线只有一个的渐近方向X:Y 1: 1【例 6】.求二次曲线 xyy22x3y10 对于方向1, 1 共扼的直径【解】 将二次曲线表示成矩阵形式：0112x13x, y,11y02231112由方程组10y 12310xy22解出中心坐标为 (1,2)设与方向 1, 1共轭的方向为X ,Y由共轭方向之间的关系

13、得1 X3 Y022所以 X,Y3,1因此二次曲线的对于方向1,1 共扼的直径为x1y231【例 7】求二次曲线 4x 24xyy 28x8y 4 0 的主方向和主直径 .【解】 二次曲线的矩阵形式为424xx, y,1214y04441由于 I24220 ，所以该曲线为非中心曲线 .1由特征方程4225(5) 021解出15,20. 分别将15,20代入线性方程组4i2X i021Yii解出对应的主方向为2,1 ， 1,2. 其中1,2是渐近主方向 .因此曲线只有一条主直径，方程为2(4x2y4)(2xy4)0即 10x 5 y 40【例 8】设二次曲线 a11x22axya22y22a13

14、x2a23ya330表示两条平行直12线，证明这两条直线的距离为d 4K1 .I12【证明】 因为二次曲线表示两条平行直线，故有I 2I 30, K 1 0，从而该曲线为线心曲线，其简化方程为I 1 y 2K 10 ，即 yK1 与 yK 1I 1I 12I12所以两直线的距离为 d 2K14K1 .I12I 12五、扩展例题解题点击【 例1 】证 明 二 次 曲 线 x 2xyy 22x4y0 为 中 心 二 次 曲 线 ， 且 直 线7xy20 通过该中心。【提示】I 20 曲线就是为中心二次曲线. 求出中心坐标代入直线方程，如果满足直线方程，那么该直线就通过中心.【例2】证明二次曲线(a

15、xbyc)20 上的每一点都是奇异点【提示】 用奇异点的定义【证明】 二次曲线可以表示为a2abacxx, y,1 abb2bcy0acbcc21由于对于二次曲线上的点(x,y)，下面各方程F1 (x, y)a 2 xabyaca(axbyc)0F2 (x, y)abxb 2 ybcb(axbyc)0F3 (x, y)acxbcyc 2c(ax by c) 0是恒等式，故任意的（x,y ）都成立，所以二次曲线( axby c) 20 上的每一点都是奇异点 .【例 3】 求二次曲线 2x253y23xy20的渐近线 .xy【解】 二次曲线可以表示成短阵形式25322x5x, y,131y0221

16、13222由方程组2x5 y30225 x3 y1022解出中心坐标为 (13 , 19)4949又由 (,Y)2X25XY320，解得渐近方向为XYX1:Y11: 2, X2 :Y23 : 1x13y19x13y194949 和4949因此渐近线为2131【例 4】 求平面直角坐标变换将二次曲线x22xy y 22x y0 化简为标准方程 .【提示】 有两个方法化简.一个是转轴移轴分别作；另一个是求出主直径就可以求出坐标变换公式化简方程.下面给出一个解法.【解】 二次曲线的矩阵形式为111xx, y,1 111y021 1102由于 I1112,I 211，所以该曲线为非中心曲线 .101由

17、特征方程22(2)0解出12,20. 分别将12,20 代入线性方程组1i1X i011iYi解出12, 对应的主方向为1,1因此曲线只有一条主直径，方程为(xy 1)( xy1) 032即 xy04315) ，所以过曲线的顶点且以非渐近求出主直径与曲线的交点，即曲线的顶点为(,1616主方向为方向的直线为x3y1591616 即 xy08113这也是过顶点垂直于主直径的直线，取主直径x0 为新坐标系的x 轴，而过y94顶点垂直于主直径的直线 xy0 为 y轴作坐标变换，它的变换公式为8xy9x8 ,2xy3y4 ,2解出 x, yx2 x2 y3 ,2216y2 x2 y15 ,2216代入

18、已知方程，经过整理得2y 22 x02化为标准方程y 22x4【例 5】 已知二次曲线的方程为x 22xyy 22x2 y3 0 .证明： 1. 二次曲线为线心曲线2. 二次曲线的简化方程为2y 240 .【证明】 1. 二次曲线的方程为x22xyy22x2 y3011111I 2111010,I31113由于 I 2I 30 ，所以曲线表示.线心曲线2.I 12, K111118简化方程为 I 12 y 2 K101313I1即 2y 240【例 6】证明以直线 A1 xB1 yC10为渐近线的二次曲线方程总能写成( A1 x B1 y C1 )( Ax Bx C ) D 0【证明】 设以直

19、线 A1 xB1 yC10为渐近线的二次曲线方程为F ( x, y)a11 x22a12 xy a22 y 22a13 x 2a23 ya33 0它的渐近线方程为( xx0 , yy0 )0其中 ( x0 , y0 ) 为曲线的中心，因为( x x0 , y y0 ) 是关于 xx0 , y y0 的二次齐次式，所以它可以分解成两个一次式之积，从而有(xx0 , yy0 ) = ( A1 x B1 y C1 )( Ax Bx C )(xx0 , yy0 ) = a11 ( x x0 )22a12 ( x x0 )( y y0 ) a22 ( y y0 ) 2 =a11 x 22a12 xya2

20、2 y 22(a11x0a12 y0 ) x2(a12 x0a22 y0 )a11 x022a12 x0 y0a22 y02因为 ( x0 , y0 ) 为曲线的中心，所以a11 x0a12 y0a13 , a12 x0a22 y0a13令 (x0 , y0 )a33D 代入上式得F ( x, y) = ( x x0 , y y0 ) D即 F (x, y) = (A1x B1 y C1 )( Ax Bx C ) D故以直线 A1 xB1 yC10为渐近线的二次曲线方程可写成：( A1 x B1 y C1 )( Ax Bx C ) D 0【例 7】试证明二次曲线两个不同特征根确定的主方向相互垂

21、直.【证明】 设 12 ，由它们确定的主方向分别为X1:Y1与 X2: Y2 ，则有a11 X 1a12Y11 X 1 与 a11 X 2a12Y22 X 2a12 X 1a22Y11Y1a12 X 2a22Y22Y21X1 X21Y1Y2( a11 X1a12Y1 ) X 2 (a12 X1a22Y1 )Y2所以 ( a11 X 2a12Y2 ) X1(a12 X 2a22Y2 )Y12X2X12Y2Y1故有( 12)(X1X2Y1Y2 ) 0因为 12 ，所以 X1X2Y1Y20 ，故两个主方向X1:Y1与 X2:Y2相互垂直 . 【例 8】试证二次曲线 a11 x 22a12 xya22 y 22a13 x2a23 ya330 是一个实圆的充要条件是 I 124I2,I1I 30.【证明】 因为圆为椭圆的特例，故二次曲线是一个实圆的充要条件是I2 >0，I1I30，且简化方程1 x22 y 2I 30中的12 ，所以特征方程2I 1I 20 的判别式I 2I 124I 20 . 所以有 I124I2 ，此时有 12I 1 .2因此方程又可简化为x2y 22I 3I1I2由于 I2 >0， I1I30可得2I 3 >0 ，曲线为实圆 .I1I2故该二次曲线是一个实圆的充要条件是I 124I2,I1I30.六、本章训练题及提示【训练题1】已知二次