解圆锥曲线问题常用方法一

1、解圆锥曲线问题常用方法(一)【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法(1) 椭圆有两种定义。第一定义中，ri+2=2a。第二定义中，ri=edir2=ed2。(2) 双曲线有两种定义。第一定义中，r1r22a，当ri>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，ri=edi,r2=ed2,尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。(3) 抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化 为一元二次方程

2、问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可 用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(Xi,yi),B(x2,y2),弦AB中点为M(xo,y。)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设 而不求”法，具体有：2 2(1) 笃 每 i(a b 0)与直线相交于 A、B,设弦AB中点为M(X0,yo),

3、则有 笃 t0k 0。 a2 b2a2 b22 2(2) 笃 i(a 0,b0)与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M(xo,yo)则有 笃 器k 0a ba b(3) y2=2 px( p>0)与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p.【典型例题】例1、(1)抛物线C:f=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小，则点P的坐标为 当A、P、F三点距离和最小。抛物线C:=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小 贝U点Q的坐标为分析：(1) A在抛物线外，如图，连 PF，则PH PF，因而易发现,共线时，距

4、离和最小。(2) B在抛物线内，如图，作 QR丄I交于R,则当B、Q、R三点共线时, 解：(1) (2,2 )连PF,当A、P、F三点共线时，AP PH AP PF最小，此时AF的方程为y 4空2 °(x 1)即y=2 J2 (x-1),3 1代入y2=4x得P(2,2*2),(注：另一交点为(丄，2)，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去)21(2) (,1)4过Q作QR丄I交于R,当B Q、R三点共线时，BQ QF| |BQ QR最小，此时Q点的纵坐标为1,代入y2=4x得1 1x=，Q( J)44点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。

5、2 2ypHAT0'r r :F丿xP为椭圆上一动点。例2、F是椭圆- y1的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点,(1) PA PF的最小值为(2) PA 2PF的最小值为43分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF或准线作出来考虑问题。解：(1) 4- .5设另一焦点为F，贝U F (-1,0)连AF ,PFPA PF PA 2a PF 2a (PF PA) 2a AF 4 V5当P是FA的延长线与椭圆的交点时，PA PF取得最小值为4-J5。1(2)作出右准线 I，作 PHX I 交于 H,因 a2=4, b2=3, c2=1, a=2, c=1, e=,21 PF |

6、-|PH，即2 PFPH PA 2 PF PA PH当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为2aXac例3、动圆M与圆C1：(x+1)2+y2=36内切，与圆Q:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线(如图中的A、M、C共线，BD、M共线)。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”(如图中的MC MD|)。解：如图,MCMDy厂、C1 Mf</d. A0B 丿 5x AC MA点 M点评：,.(1)2分析:MAMBMB的轨迹为椭圆,得到方程(*DB 即6 MA(*)2a=8,y2、(x 1)2y2MB 222xa

7、=4, c=1, b2=15轨迹方程为-162L 115应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出4，再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐!3 ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 si nC-si nB=si nA,求点 A 的轨迹方程。5sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R ( R为外接圆半径)，可转化为边长的关系。由于 si nA、sinB、3解: sinC-sinB=sinA53 BC52RsinC-2RsinB3 2RsinA5 AB即ABACAC(*)点A的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点)/ 2a=6, 2c=10 yo关于xo的函数

8、表达式，再用函数思想求出最短距离。-a=3,c=5,b=4所求轨迹方程为21(x>3)16点评:要注意利用定义直接解题，这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支)定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M,求点M到x轴的最短距离。分析:(1)可直接利用抛物线设点，如设A(xi,xi2), B(X2,対2),又设AB中点为M(xoyo)用弦长公式及中点公式得出(2) M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。解法一：设 A(xi, xi2), B(x2, x22), AB 中点 M(xo, yo)2 z 22.2. (X1X2)(X1X2

9、)9 X1X22X022X1X22y°则由得(X1-X2)21+(X1+X2)2=9即(X1+X2)2-4X1X2 1+(X1+X2)2=9由、得 2xix2=(2x0)2-2yo=4x02-2yo代入得(2xo)2-(8xo2-4yo) 1+(2xo)2=9 4yo 4x：92，1 4X04yo 4xf94x(4xf1)94xo 1当4xo2+仁3法二：如图,15,即Xo2MM2yoAA3“MM 2,即MM 14，当ab经过焦点(y0) min-此时M (4bb2| |af|BFF时取得最小值。2 5、T,；)ABAyBA10Mr唁xA5 M到x轴的最短距离为 54点评：解法一是列

10、出方程组，利用整体消元思想消X1, X2,从而形成y°关于X0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到X轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边)的属性， 简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F,而且点M的坐标也不能直接得出。例6、已知椭圆x21(2 m 5)过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、D、设 f(m)=|AB CD|, (1)求 f(m), (2)求 f(m)

11、的最值。分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统” ，A在准线上，B在椭圆上，同样2X解：(1)椭圆一m1 中，a2=m, b2=m-1 ,c?=1，左焦点F1(-1,0)则BC:y=x+1代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可得防f (m)(Xb Xa)V2 (Xd Xc)J2 J2|(Xb Xa) (Xd Xc)|J2|(xb Xc)此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0 (2m-1)x2+2mx+2m-m2=0设 B

12、(X1,y1),C(X2,y2),则 X1 +X2=-2m2m 1(25)f (m) J AB CD|'2|(Xb Xa)(XdXc)2(X1 X2)(XaXc)2x1X22m、22m 1(2) f (m)22m2m1 1 -1 2(12m 1)当 m=5 时,f (m)min10.29当 m=2 时，f (m) max点评：此题因最终需求Xb Xc，而BC斜率已知为1故可也用“点差法”设BC中点为M(xo,yo),通过将B、代入作差，得乞一km m 10 ,将 yo=xo+1, k=1 代入得一0m,可见 Xb Xc2m 1当然，解本题的关键在于对f(m) ABCD的认识,通过线段在

13、 x轴的“投影”发现f (m)Xb题的要点。【同步练习】1已知:Fi， F2是双曲线2x2a2Yy 1的左、右焦点，过b2Fi作直线交双曲线左支于点A、B,若 AB的周长为(A、4aB、4a+mC、4a+2mD、4a-m2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0的距离小1,贝U P点的轨迹方程是A、y2=-16xB、y2=-32xC、y2=16xD、 y2=32x3、已知 ABC的三边AB BCAC的长依次成等差数列，且ABAC，点B、C的坐标分别为(-1, 0), (1,C坐标2m2m 1是解此 ABF20),则顶点A的轨迹方程是(A、x4y_31xB、4y31(x0)2222C

14、x4y31(x0)xD、4y31(x0且 y0)4、过原点的椭圆的一个焦点为F(1,0),其长轴长为4，则椭圆中心的轨迹方程是(x2)2291)B (x1 229A、y-(x-)y-(x 1)242421 2921 29Cx(y1)4(x1)D、x(y-(x 1)45、已知双曲线x22 y1上一点M的横坐标为4，则点M到左焦点的距离是22229166、抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 7、 已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点 p(-2 , 0)，则弦AB中点的轨迹方程是8、过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为 9、 直线y=kx+1与双曲线x

15、2-y2=1的交点个数只有一个，则k=2x10、设点P是椭圆521上的动点，F1, F2是椭圆的两个焦点，求 sin / F1PF的最大值。911、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线与此椭圆相交于 A、B两点，且AB中点M为（-2，1）， AB 4J3，求直线I的方程和椭圆方程。2 212、已知直线I和双曲线 2弓 1（aa b0, b 0）及其渐近线的交点从左到右依次为A、B、C、D。求证：AB CD。1、C参考答案AF2 AF1 2a, BF2 BF1 2a ,AF2 BF2 AB 4a, AF2 BF2 AB 4a 2m,选

16、C2、C 点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线 p=8开口向右，则方程为 y2=16x，选C3、DAB AC 2 2，且 AB AC点A的轨迹为椭圆在 y轴右方的部分、又 A、B、C三点不共线，即yz 0，故选D。2 24、 A设中心为(x, y),则另一焦点为(2x-1, 2y),则原点到两焦点距离和为4得1(2X 1)(2y)1 9二(x -)2 y2 又 c<a,. .(x 1)2y22/ (x-1)2+y2<4 ，由，得 xz-1,选 A2 42999295 29295、左准线为x=-, M到左准线距离为d 4 ()则M到左焦点的距离为 ed3 555353116

17、、 x (y ) 设弦为 AB, A(x1, y1), B(x2, y2)AB 中点为(x, y),贝U y1=2x12, y2=2x22, y1-y2=2(x12-x22)22y1 y22(x1X2)1 1 2=2 - 2x, x将 x代入y=2x2 得 y1轨迹方程是x11 (y> )X1X22 22227、y2=x+2(x>2)设 A(x1,y1), B(x2, y2), AB 中点 M(x, y)，则2 2Y1 2x1, y2c22x2, y1y22(X1X2), y y (y1y2)2x1x2 kABkMPy0 .y 2y 2,即 y2=x+2x2x 2又弦中点在已知抛物

18、线内P,即 y2<2x ,即 x+2<2x , x>22& 4ab24,c28,c2、2,令x 2 2代入方程得8-y2=4y2=4 ,y=± 2,弦长为49、2或 1 y=kx+1 代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1)2-1=0 / (1-k2)x2-2kx-2=0k20得 4k2+8(1-k2)=0, k=2 1-k2=0 得 k=± 1/ypA-1F1冃.丿x10、解：a2=25, b2=9, c2=16设 F1、F2 为左、右焦点，贝UF1(-4, 0)F2(4, 0)、 设 PRrPF?D,R J3?则1'2222s 、212 21 $ cos(2c) 2-得 212(1+cosB )=4b21,4b2 2b2- 1+cos 0 =一2r1 r2r1r2 r1+r22 . 2 ,门r2的最大值为a2