热载荷作用下大变形柔性梁刚柔耦合动力学分析

1、 热载荷作用下大变形柔性梁刚柔耦合动力学分析刘锦阳 , 崔麟(上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院工程力学系 , 上海 200240摘要 :从非线性应变 2位移关系式出发 , 用虚功原理建立了热载荷作用的柔性梁的热传导方程和旋转刚体 2梁系统 的刚 2柔耦合动力学方程 。 由于考虑了刚度阵的高次变形项 , 适用于大变形问题 。 对温度 、 联合求解 , 研究了热流引起的温度梯度对弹性变形和刚体转动的影响 , 。 关键词 :热载荷 ; 大变形 ; 柔性梁 ; 几何非线性效应中图分类号 :O 31317文献标识码 :A : 2引言随着科学技术的发展 , 人们对工程计算的精度 要求也日益提高 。 在机

2、械制造 、 航空和航天等领域 , 热应变对运动部件的弹性变形的影响已经引起工程 界的重视 。 此外 , 随着柔性部件的尺寸增大 , 柔性效 应愈加明显 , 基于小变形的线性的应变与位移关系 在一定条件下会引起数值计算的误差 , 为此 , 需要综 合考虑热效应和非线性效应 , 从非线性的应变与位 移关系出发 , 建立更加精确的刚 2柔耦合动力学模 型 。近 10年来 , 基于几何非线性的柔性多体系统的 混合坐标建模方法取得了一定的进展 。 W allrapp 等 用初应力法建立了旋转运动梁的动力学方程 1; 笔 者通过引入轴向变形 2, 3, 在纵向变形与轴向变形的 关系式中考虑了横向变形关于

3、x 的偏导数的二次积 分项 , 在考虑非线性的同时实现了对弹性势能项的 线性化 , 提出了柔性多体系统的一次近似模型 。 杨辉 等通过刚柔耦合实验验证了一次近似模型的正确 性 4。 初应力法和一次近似模型成功地解释了高速 旋转梁的动力学刚化效应 , 但是初应力法和一次近 似方法在应变描述和变形位移描述方面做了近似 , 从而忽视了动力学方程中的高次项 , 仅适用于小变 形问题 。 Shabana 和 B erzeri 用绝对节点坐标法研究 了大变形柔性多体系统的非线性效应 5, 6, 从非线性 几何关系式出发建立了柔性多体系统的非线性模 型 , 但是绝对节点坐标法在广义坐标中仅包含节点 的绝对位

4、移坐标 , 无法直接计算刚体运动变量和节点的弹性变形 , 不适合刚 2柔耦合动力学分析 。 为此 , 笔者结合绝对节点坐标方法和混合坐标方法 , 取刚 体运动变量和相对位移坐标为系统的广义坐标 , 建 立了适合于大变形和刚 2柔耦合动力学分析的几何 非线性模型 7, 并进一步推广到考虑热效应的曲梁 系统 8, 在温度变化确定的情况下研究了温度变化 对曲梁系统动力学特性的影响 。 对于受热载荷作用 的动力学系统 , 由于温度变化是未知的 , 需要在考虑 几何非线性的前提下 , 建立热传导方程和动力学方 程 , 通过计算温度变化 、 弹性变形和转动角速度 , 研 究热载荷作用下系统的动力学特性 。

5、本文考虑热效应 , 对旋转刚体 2梁系统提出了基 于几何非线性的混合坐标建模方法 。 从非线性应变 2位移关系式出发 , 在温度已知的情况下用虚功原理 建立了旋转刚体 2梁系统的刚 2柔耦合动力学方程 。 由于考虑了刚度阵的高次变形项 , 既适用于小变形 问题 , 又适用于大变形问题 。 将热动力学和刚 2柔耦 合动力学理论结合起来 , 用虚功原理分别建立了有 限元离散的热传导方程和动力学方程 , 对温度 、 弹性 变形和刚体运动变量联合求解 。 对热流作用下的旋 转刚体 2悬臂梁系统进行数值计算 , 研究热流引起的 温度梯度对弹性变形和刚体转动的影响 , 以及在大 变形情况下的几何非线性效应

6、 。1刚 2柔耦合动力学方程111惯性力和体力的虚功图 1为旋转刚体 2悬臂梁系统 , 平面梁一端与旋第 22卷第 1期 2009年 2月振动工程学报V o l . 22N o. 1Feb . 2009收稿日期 :2007211229; 修订日期 :2009207231基金项目 :国家自然科学基金资助项目 (10872126, 10772113转刚体固接 , 另一端自由 , 在梁变形之前 , OA 和 A B 共线 。 在图 1中 , 旋转刚体的转动惯量为 J 0, 卷簧的 刚度为 K 0, R 为旋转刚体和梁的连接点 A 和固定点 O 的距离 。建立惯性基 O 2X 0Y 0和浮动基 A 2

7、X b Y b , 如 图 2所示 。 图 1旋转刚体 2悬臂梁系统图 2作大范围运动的平面梁梁上任意点 k 的绝对位移矢量在惯性基上的坐标阵可表示为r =A (r 0+0+U (1 式 中 r 0为浮动基原点 A 相对惯性基的位移矢量 r 0在浮动基上的坐标阵 , 0为 k 点在变形前相对于浮 动基的矢径 0在浮动基上的坐标阵 , U 为 k 点的变 形位移矢量 U 在浮动基上的坐标阵 。设 A 为浮动基 相对惯性基的方向余弦矩阵 , r 0, 0, U 和 A 分别表示 为r 0=R , 0=x y, U =u -y x v, A =co s -sin sin co s (2式中 (x ,

8、 y 为 k 点变形前相对于浮动基的位置坐标 ; 为浮动基相对于惯性基的转角 ; u , v 表示梁中 线上对应点的纵向和横向变形 。设梁的材料为各向同性 , 基于 Eu ler 2B ernou lli 假设 , 不计剪切效应和偏心效应 。 用有限单元法对方 程进行离散 。 将梁等分成若干个单元 , 中线上任意点 的 纵向和横向变形位移为 u =N 1p , v =N 2p , 其中 , N 1, N 2为形函数矩阵 , p 为节点变形位移的坐标阵 , 则 k 点的变形位移矢量在浮动基上的坐标阵为U =N p , N =N 1-yx N 2(3 将式 (2 和 (3 代入式 (1 , 得到r

9、 =A (r 0+0+N p (4式 (4 关于时间求导和变分 , 得到 k 点的绝对速度 、加速度和位移变分在惯性基上的坐标阵为r=D q, r ¨=D q ¨+d , r =D q(5式中 q = p TT为广义坐标阵 , D , d 和 I 阵为D =A I (r 0+0+N p AN (6d =2A I N p-2A (r 0+0+N p ,I =0-11(7i V( r T r ¨dV -J 0¨= q T (-M q ¨+Q i (8式中 为梁的体密度 , 广义质量阵和与惯性力相关的广义力阵可表示为M =J00+VD TD d V

10、,Q i =-VD Td d V( 9柔性梁体力做的虚功可以表示为 WV=V r T A f d V = q T Q V ,Q V =ffpT T(10式中 f =f 1 f 2T 为体力矢量 f 在浮动基上的坐 标阵 , Q V =VD TAf d V 。112弹性力的虚功梁上任意一点的温度和温度增量的泰勒展开式 为T (x , y , t =T r + T (x , y , t , T (x , y , t = mk =0Tk(x , t y k (11式中 T r 为参考温度 , T 0(x , t 为中线上对应点的温度增量 , T k (x , t 为 y 方向的 k 阶温度梯度 ,

11、可表示 为 T 0(x , t = T (x , 0, t , T k (x , t =k !5kT (x , y , t 5yky =0, k =1, , m 。用有限元方法对平面梁进行离散 , 将梁等分成 若干个单元 , 设 T k (x , t =N k p k , k =0, , m , 温度可 表示为T =T r + mk =0ykN k p k(12基于非线性弹性理论 , 非中线上任意一点 k 的94第 1期 刘锦阳 , 等 :热载荷作用下大变形柔性梁刚柔耦合动力学分析弹性应变 x 和热应变 x t 可表示为9x =x +22+-y 2x 2x t = T (13 式中 , T 分

12、别表示梁的热膨胀系数和 k 点的温度变化 。 应力和应变的关系式为x =E (x -x t =Ex +22+-y 25x2- T(14式中 E 为梁的弹性模量 。 弹性力的虚功为 Wf=-V xxd V -K 0(-0(式中 0, 。将式 (13( , 弹性力的虚功为 Wf=-K 0(-0 - p T(K 0+ K + K t p + p T F t (16其中 , 广义弹性力阵为Q f =-K 0(-0-(K l + K + K t p +F (17而线性刚度阵 K l 、 非线性刚度阵 K 和 K t 、 热弹性 力阵 F t 的表达式为K l =l0EA xTxd x + lE I25x

13、 2T25x 2d x(18 K =2l0EA (p TSp S d x + lEAp S d x + 2lEA x p S 1d x +2lEA xp S 2d x(19 K t =-lE mk =0kNkp k S d x (20F t =l0E mk =0k N k p kx Td x - lE m k =0k N k p k2x 2Td x(21式中 I =Ay 2d A 为梁的横截面的惯量矩 , S =xTx +xTx , S 1=xTx, S 2=5x T5x, k = A y k d A , k = A y k +1d A 。 由虚功原理 , 系统的刚 2柔耦合动力学方程为 W

14、i + W V + W f =0(22 将式 (8 , (10 和 (15 代入到方程 (22 中 , 根据 q 的独立性 , 刚柔耦合动力学方程为M q ¨=Q i +-K 0(-0 -(K l + K + K t p +F +Q V(23可以看出 , 非线性刚度阵 K 与弹性变形坐标阵 p 有 关 , 在大变形情况下不容忽视 。 线性模型忽略了应变 的二次项 , 应变和应力为x =x -y 25x2(24 x =E y 2T(25, 0K , 。 , 非中线上任意一点 k 的 弹性应变 x x +22-y 2x 2=x -y 2x 2, 其 中 , s 为中线的伸长量 , 与纵向

15、变形的关系为 s =u +2x2d x 。2平面梁的热传导方程图 3为上下表面受到热流 (第二类边界条件 和对流 (第三类边界条件 作用的平面梁 , 其中 , q +和q -为上下边界的热流密度 , 而 h +, T +和 h -, T -为上下边界的对流换热系数和壁面温度 。 对于平面梁 , 设c 为材料的比热容 , k 为热传导系数 , Q t 为内热源强图 3热载荷作用的柔性梁度 , 热传导变分方程为 10 W h =Vcd t T +xkx+5yk5y- TQ t d V - S- T q-d S -S + T q +d S -S- T h -(T -T d S - S+ T h+(T

16、 +-T d S =0(26式中 S +和 S -分别是上表面和下表面的面积 。设 b 和 h 分别为平面梁的厚度和高度 , 将式 (12 代入式 (26 , 可得梁的有限元离散的热传导变分方程形式 为5振 动 工 程 学 报 第 22卷 W h = mk =0 p Tkmj =0(Mk jp j +K k j p j -F k =0(27其中Mk j= lc k j N 3k N j d x(28K k j= lk k jx Tx d x + lk k jN T kN jd x +lb h+(015h k +j + h -(-015h k +j N T k N j d x(29F k =lQ

17、 k N Tk d x +l(+k q +-k q - N T k d x + l(+kh +T +k-T k (k j= Ay k +j, k j=Ak j y (k +j -2d A(31Q k=Ay kQ t d A , +k=b (015h k,-k =b (-015h k (32于是 , 平面梁有限元离散的热传导方程为M p +K p =F(33其中M =Mk j,K =K k j ,F =F k ,p =p k (343热流作用下旋转刚体 2悬臂梁系统的非线性效应旋转刚体 2悬臂梁系统如图 1所示 。 梁的几何和材料特性为 :密度 =217667×103kg m 3, 弹

18、性模量E =618952×1010N m 2, 横截面惯量矩 I =113×10-8m 4, 横截面面积 A =4×10-4m 2, 梁的长度 l =8m , 热传导系数 k =238W (m K , 热膨胀系数 =2138×10-51 K , 材料的比热容为 c =300J(kg K , 参考温度为 T 0=300K 。 O 和 A 的距离 R =1m ,旋转刚体的转动惯量 J 0=5(kg m 2 , 卷簧刚度K 0=0, 初始时刻的角度为 0=0, 角加速度 0=0。 体力不计 。 上表面受到热流作用 , 下表面绝热 。取 m =4, 图 4为上表

19、面热流密度等于 106 W m 2时柔性梁上表面和下表面的温度变化规律 。 可以看 出 , 当 t <011s 时 , 上表面温度迅速升高 , 而下表面 温度变化缓慢 , 但是 , 随着热量从上表面向内部传 递 ; 当 t >011s 时 , 上表面和下表面的温度变化率基 本相同 。 图 5为本文模型的柔性梁的上表面温度变 化规律与 A n sys 对比 。 通过比较可以发现 , 本文模型的温度计算结果与 A n sys 结果基本吻合 。图 5与 A nsys 的结果比较图 68为热流密度分别为 106W m 2和 3×106W m 2时 3种模型下梁中点横向变形 、刚体

20、的转角 和角速度的时变曲线 。 从图中可以看出 , y 方向的图 6梁中点横向变形15第 1期刘锦阳 , 等 :热载荷作用下大变形柔性梁刚柔耦合动力学分析 图 7 刚体转角图 8刚体角速度温度梯度引起显著的横向变形 , 也引起刚体的转动 。 当热流密度等于 106W m 2时 , 3种模型的计算结果 基本吻合 , 这是因为在转速较低的情况下 , 离心力引起的动力刚化现象不明显 , 而且横向变形较小 。 当热流密度等于 3×106W m 2时 , 由于梁的横向变形明显 大于梁长的 10%, 大变形引起了显著的非线性效 应 。 从图中可以看出 , 本文非线性模型的横向变形和 刚体转角的绝

21、对值峰值明显小于线性模型和一次近 似的非线性模型 , 此外 , 本文非线性模型的刚体角速 度在平均值附近呈现明显的振荡 , 可见 , 线性模型由 于忽视了非线性刚度项 K , 在热流密度较大的大变 形情况下 , 会引起横向变形 、 , , 4结论本文考虑热效应 , 对旋转刚体 2梁系统提出了基 于几何非线性的混合坐标建模方法 。 从非线性应变 2位移关系式出发 , 用虚功原理建立了旋转刚体 2梁 系统的刚 2柔耦合动力学方程 。 然后将热弹性动力学和刚 2柔耦合动力学理论结合起来 , 用虚功原理建立 了热传导方程和动力学方程 。对热流作用下旋转刚体 2悬臂梁系统进行数值 仿真 。 计算结果表明 , Y 方向温度梯度引起柔性梁的 热弯曲变形