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文档简介
1、第二节 鞅的基本概念和性质定义1-2-1设(F,P)为概率空间,Xt,tT为概率空间上的一族随机变量,则称" T为概率空间(F,P)上的随机过程。注1-2-1 由随机过程的定义知,对固定的t T,xt为(F,P)上的随机变量, 对固定的- f.1, Xt ()为t的函数。以后设T - 8,1,2,f或T -0,亠I、. :。 定义1-2-2 设X 人上门为概率空间F,P上的随机过程,如果(a)X是”是适应的(b)丘即“心(c)对一s :t,s,t T,Exjxs 丨=xs,a.e.则称 X 二Xt,t T为FttT 的鞅。如果有(c) 对- s:t,s,t T,E IxJxJ- xs
2、,a.e.则称X二Xt,t T为FttT的上鞅。如果有(c") 对 -s : t,s,t T, E k|xs L xs,a.e则称X二Xt,t T为FttT的下鞅。注1-2-2 如果X是上鞅,则-X为下鞅。如果X既是上鞅又是下鞅,则 X为 鞅。注1-2-3 由定义1-2-2的条件c可知,如果X是鞅,则对-s,tT ,都有EXsEX。 事实上,取 to v s a t,贝U to < S, to c t,EXs|Ft。Lxt°,EXs|Ft° Lx。于是EXs=EEXsFtLeLJEXt=EEXtFt。】所以E Xs二 E Xt 丨。如果X是下鞅,-s : t
3、,s,tT ,都有E IxJ _ E lxs 1 事实上,取t°,S ::t° : t,则EXt=EEXt|Ft°bElxt0】Exj -eEmFsILeXs】所以E XJ _ E XJ _ E l-Xs I同样地,X是上鞅,0:t,s,t T,都有E XJ< EIxs 1 (习题 1-2-1)例1设 yn,n 0为相互独立的随机变量,且Eyn I: ::,Eyn二0,n _ 0. gk是k 维的Borel可测函数,令bn =gn(yo,yi,.,yn),n 1并假设E ::,n _ 1。定义随机变量的序列nXn '、' bk yk,(X0
4、为常数)kdFn z(y0,y1,.,yn),n1则召几,门_1是鞅。事实上,nXn|+ 瓦 |bk| Ykk#nExJ< EX0E Ebk|yk<°°k#Xn 1= xn * bn 1 yn 1因为EFn = E Xn Fn 1+ E R 出n卅 F n=人 + E bn + yM1 F n】bn十gn(y°, y1,. .yn,) e Bn所以bn i是Fn可测的,故E bn*yn*F n =bn*Eyn* F n 又因为yn 1和yn是独立的,二(yn 1)与Fn - ;(yo,yi,.,yn)也独立,故E -yn 1 F=E yn .1 I =
5、 0E Xn*F n 】=Xn由此知xn, F n, n丄1是鞅。这个例子的直观意思为,设赌徒每局赢的概率为,事件yn=1表示第n局赢,yn =-1表示第n局输,所以P yn =1 =P yn 八1 JE'yJ = 0假定Vn,n -ol是独立的,而赌者在第n局的策略gn依赖于以前n-1局的战绩,即赌注bn是yn4,.,y2,y1,y0的函数,我们记之为bn = g yo,y1,.,ynj则第n局的盈亏为nXn =Xo' bkYkkA这里设初始赌注为Xo -0,于是我们可知EX. - Xn/ =0即,平均地讲,净利的平均值为零。事实上E Xn - Xn1 = E Xn 丨-E
6、Xn J 1=EEkFn-E)Xn J-EXnJ I - ElXnJ I - 0例2 Doob的鞅过程设fyn, n _0?是随机变量序列,X 是随机变量,EX丨汀.令Fn = ;(y°,yi,.,yn),xE'XFnl则Xn,Fn,n_1是鞅。它 被称为Doob的鞅过程。事实上,E【Xn 】=ee!X Fn 】hEEx|Fn 片= ex <«又ERFn】=EERFnFn=EXFn】=Xn定理1-2-1 设门,:yt,Ft,t _T?是鞅(或下鞅),则(1) * y_Ft,t是鞅(或下鞅);(2)* yt,Ft,t_T 是下鞅;(3)t yt,Ft,t_是上鞅
7、。证明:(2)设 xyt,则 EkMytFs】=E(XtFs)KXs。又 E R b E 从 卜 , 所以,E k “yt Fs bxs “ ys。习题 1-2-2 :证明(1)( 3)。定理1-2-2( 1)设t,Ft,t -T ?是鞅,f是定义在R'上的凸函数。如果对一切r T,EF(Xt)::,则;f(Xt),Ft,r是下鞅。(2)设Xt,Ft,t_Tl是下鞅,f是定义在R'上的非降凸函数。如果对一切r T,EF(Xt):,则:f(Xt),Ft,t Z是下鞅。(3)设X,Ft,t _T是上鞅,f是定义在R上的非降凹函数。如果对一切 r T ,EF(xJ:,则 “(Xt),Ft,t T?是上鞅。证明:(2)因为:Xt,Ft,t _T?是下鞅,所以E'xt|F J_ Xs因为f非降,f EXt|Fj - f Xs又因为f是凸函数,f EXt|Fj < Ef XtiFs所以Ef X |Fs- f EXtFj.f Xs o习题 1-2-3:证明(1) (3)o推论1-2-1 设xt,Ft,2T是鞅(或非负下鞅),& >1,且对T,| Xt卩可 积,则| X | ,Ft,t _T是下鞅。证明:习题1-2-4推论1-2-2 如
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