第一章鞅第二节鞅的基本概念和性质汇总

1、第二节 鞅的基本概念和性质定义1-2-1设（F,P）为概率空间，Xt，tT为概率空间上的一族随机变量，则称" T为概率空间（F,P）上的随机过程。注1-2-1 由随机过程的定义知，对固定的t T，xt为（F,P）上的随机变量， 对固定的- f.1， Xt （）为t的函数。以后设T - 8,1,2,f或T -0，亠I、. ：。 定义1-2-2 设X 人上门为概率空间F,P上的随机过程，如果（a）X是”是适应的（b）丘即“心（c）对一s ：t,s,t T,Exjxs 丨=xs,a.e.则称 X 二Xt,t T为FttT 的鞅。如果有（c） 对- s：t,s,t T,E IxJxJ- xs

2、,a.e.则称X二Xt,t T为FttT的上鞅。如果有（c"） 对 -s ： t,s,t T, E k|xs L xs,a.e则称X二Xt,t T为FttT的下鞅。注1-2-2 如果X是上鞅，则-X为下鞅。如果X既是上鞅又是下鞅，则 X为 鞅。注1-2-3 由定义1-2-2的条件c可知，如果X是鞅，则对-s,tT ,都有EXsEX。 事实上，取 to v s a t，贝U to < S, to c t，EXs|Ft。Lxt°,EXs|Ft° Lx。于是EXs=EEXsFtLeLJEXt=EEXtFt。】所以E Xs二 E Xt 丨。如果X是下鞅，-s : t

3、,s,tT ,都有E IxJ _ E lxs 1 事实上，取t°,S ：:t° : t，则EXt=EEXt|Ft°bElxt0】Exj -eEmFsILeXs】所以E XJ _ E XJ _ E l-Xs I同样地，X是上鞅，0：t,s,t T,都有E XJ< EIxs 1 (习题 1-2-1)例1设 yn,n 0为相互独立的随机变量，且Eyn I： ：:，Eyn二0,n _ 0. gk是k 维的Borel可测函数，令bn =gn(yo,yi,.,yn)，n 1并假设E ：:,n _ 1。定义随机变量的序列nXn '、' bk yk,(X0

4、为常数)kdFn z(y0,y1,.,yn),n1则召几,门_1是鞅。事实上，nXn|+ 瓦 |bk| Ykk#nExJ< EX0E Ebk|yk<°°k#Xn 1= xn * bn 1 yn 1因为EFn = E Xn Fn 1+ E R 出n卅 F n=人 + E bn + yM1 F n】bn十gn(y°, y1,. .yn,) e Bn所以bn i是Fn可测的，故E bn*yn*F n =bn*Eyn* F n 又因为yn 1和yn是独立的，二(yn 1)与Fn - ；(yo,yi,.,yn)也独立，故E -yn 1 F=E yn .1 I =

5、 0E Xn*F n 】=Xn由此知xn, F n, n丄1是鞅。这个例子的直观意思为，设赌徒每局赢的概率为，事件yn=1表示第n局赢，yn =-1表示第n局输，所以P yn =1 =P yn 八1 JE'yJ = 0假定Vn，n -ol是独立的，而赌者在第n局的策略gn依赖于以前n-1局的战绩，即赌注bn是yn4,.,y2,y1,y0的函数，我们记之为bn = g yo,y1,.,ynj则第n局的盈亏为nXn =Xo' bkYkkA这里设初始赌注为Xo -0，于是我们可知EX. - Xn/ =0即，平均地讲，净利的平均值为零。事实上E Xn - Xn1 = E Xn 丨-E

6、Xn J 1=EEkFn-E）Xn J-EXnJ I - ElXnJ I - 0例2 Doob的鞅过程设fyn, n _0?是随机变量序列，X 是随机变量，EX丨汀.令Fn = ；（y°,yi,.,yn）,xE'XFnl则Xn，Fn，n_1是鞅。它 被称为Doob的鞅过程。事实上，E【Xn 】=ee!X Fn 】hEEx|Fn 片= ex <«又ERFn】=EERFnFn=EXFn】=Xn定理1-2-1 设门,:yt,Ft,t _T?是鞅（或下鞅），则（1） * y_Ft,t是鞅（或下鞅）；（2）* yt,Ft,t_T 是下鞅；（3）t yt,Ft,t_是上鞅

7、。证明：（2）设 xyt，则 EkMytFs】=E（XtFs）KXs。又 E R b E 从 卜 ， 所以，E k “yt Fs bxs “ ys。习题 1-2-2 :证明（1）（ 3）。定理1-2-2（ 1）设t,Ft,t -T ?是鞅，f是定义在R'上的凸函数。如果对一切r T，EF（Xt）：:，则；f（Xt）,Ft,r是下鞅。（2）设Xt，Ft，t_Tl是下鞅，f是定义在R'上的非降凸函数。如果对一切r T，EF（Xt）:，则：f（Xt）,Ft,t Z是下鞅。（3）设X,Ft,t _T是上鞅，f是定义在R上的非降凹函数。如果对一切 r T ,EF（xJ:，则 “（Xt）,Ft,t T?是上鞅。证明：（2）因为:Xt,Ft,t _T?是下鞅，所以E'xt|F J_ Xs因为f非降，f EXt|Fj - f Xs又因为f是凸函数，f EXt|Fj < Ef XtiFs所以Ef X |Fs- f EXtFj.f Xs o习题 1-2-3:证明（1） （3）o推论1-2-1 设xt,Ft,2T是鞅（或非负下鞅），& >1,且对T，| Xt卩可 积，则| X | ,Ft，t _T是下鞅。证明：习题1-2-4推论1-2-2 如