第6章力系的平衡—思考题-解答分解

1、第 6 章 力系的平衡思考题解答6-1 空间一般力系向三个相互相交的坐标平面投影，得到三个平面一般力 系，每个平面一般力系都有三个独立的平衡方程，这样力系就有九个平衡方程， 那么能否求解九个未知量？为什么？6-1 解答：(1) 空间一般平衡力系，有六个独立的平衡方程，能求解六个未知量。(2) 空间一般力系向三个相互相交的坐标平面投影，得到三个平面一般力系，每 个平面一般力系都有三个独立的平衡方程， 这样力系就有九个平衡方程， 但并非 独立，因为三个相互相交的坐标平面满足一定的几何关系 (每一个坐标平面之间 的夹角是确定的，共有三个确定的夹角) ，这样得到的三个平面一般力系，每个 平面一般力系都

2、有三个独立的平衡方程， 力系就有九个平衡方程， 其实独立的还 是六个平衡方程，能求解六个未知量。6-2试问在下述情况下，空间平衡力系最多能有几个独立的平衡方程？为 什么？（1）各力的作用线均与某直线垂直；（2）各力的作用线均与某直线相交；（3）各力的作用线均与某直线垂直且相交；（4）各力的作用线均与某一固定平面平行；（5）各力的作用线分别位于两个平行的平面内；（6）各力的作用线分别汇交于两个固定点；（7）各力的作用线分别通过不共线的三个点；（8）各力的作用线均平行于某一固定平面，且分别汇交于两个固定点；（9）各力的作用线均与某一直线相交，且分别汇交于此直线外的两个固定点；（10）由一组力螺旋构

3、成，且各力螺旋的中心轴共面；（11）由一个平面任意力系与一个平行于此平面任意力系所在平面的空间平行力 系组成；（12）由一个平面任意力系与一个力偶矩均平行于此平面任意力系所在平面的空 间力偶系组成。6-2解答：空间的一般平衡力系共有六个独立的平衡方程' Fx=0，' Fy=0，' Fz=0，' Mx=0，' My=0，' Mz=0（1）各力的作用线均与某直线垂直 一一最多有五个独立平衡方程。假设各力的作用线均与z轴垂直，则a Fz=0自动满足，独立的平衡方程有5个。（2）各力的作用线均与某直线相交一一最多有五个独立平衡方程。假设各力的作用线均与z

4、轴相交，则a Mz = 0自动满足，独立的平衡方程有 5 个。（3）各力的作用线均与某直线垂直且相交一一最多有四个独立平衡方程。假设各力的作用线均与z轴相交且垂直，则Fz=0，、Mz=0自动满足，独立的平衡方程有4个。(4) 各力的作用线均与某一固定平面平行(与“各力的作用线均与某直线垂直”相等价)最多有五个独立平衡方程。假设各力的作用线均与xy平面平行(与“各力的作用线均与z轴垂直”相等价)， 则Fz =0自动满足，独立的平衡方程有5个。(5) 各力的作用线分别位于两个平行的平面内一一最多有四个独立的平衡方程。(6) 各力的作用线分别汇交于两个固定点一一最多有五个独立的平衡方程。6-3如图所

5、示，ABCDA'B'C'O为边长等于a、b、c的长方体，试问下列方 程组中，是空间力系平衡的充分必要条件？(1) ' Fx =0，'、Fz =0，' Mx =0，、My = 0，- Mz = 0，' M + O ；(2) Mx = 0，、My = 0，、Mz =0，'、Mbb =0，、Mcc =0，、F 0 ；(3) 二.M x = 0，二 M y =0，二 M z = 0，二 M aa' = 0，二 M BB，= 0，二 M Cc = 0 °6-3解答： v Fx =0，、 Fz = 0 , ' M x

6、 = 0 , ' M y = 0 , ' M z = 0 , ' M AA = 0 : 是空间力系平衡的充分必要条件。原因如下：设空间力系向点O简化所得到的一个力和一个力偶的力偶矩分别为Fo=Fr=FRxiFRyjFRzk=('Fx)iCFy)j('Fz)kM。二MJ Myj Mzk =C Mx)i C My)j (' Mz)k由于满足方程M0，、My = 0，、Mz=0，故 Mo =0，又满足方程vFx =0Fz =0 ,又根据' M AA 二 FRyb = 0 二FRy = 0 二 'Fy = 0由此可见，题目中的六个方程能保

7、证空间力系一定是平衡力系，所以它们是空间力系平衡的充分必要条件(2) 、Mx=O,、My=OMz=O, ' MbbO ,、MccO,、F 0:是空间力系平衡的必要而非充分条件。原因如下：设空间力系向点O简化所得到的一个力和一个力偶的力偶矩分别为Fo 二 Fr 二 FQ FRyj FRzk =(' Fx)i (' Fy)j (' Fz)kMo 二 MJ Myj MzkMx)i (' My)j (' Mz)k由于满足方程 7 Mx =O，'、My = 0，、Mz = O，故 MO =O，又根据 Mcc，-FRxb=0= Frx =O，再根据

8、、M BB-FRxb FRya = O =Fr O，至此，空间力系的简化结果可能是一个合力F。二Fr二FRzk或平衡力系，这两个结果均满足一 Fy二FRy = O，即题目中第六个方程给不出任何新的信息，也就是 说它与前五个方程是线性相关的。因此，这六个方程不能保证空间力系一定是平 衡力系，所以它们不是空间力系平衡的充分条件，但显然是必要条件。解析：(1)空间力系与其向点O简化所得力系是等效力系，它们对任何一根轴的矩和在 任何一根轴上的投影均相等。 若将题中第六个方程改写为7 Fx =0，或7 Ml =0 (其中I轴为既不与z轴 平行，也不与z轴相交的任一轴)，则这六个方程就成为空间力系平衡的充

9、分必 要条件。(3) '、Mx=0, ' My=0，、Mz=0, ' MaA=O, ' MbB'： = O，、McC = 0: 是空间力系平衡的必要而非充分条件。原因如下：设空间力系向点0简化所得到的一个力和一个力偶的力偶矩分别为Fo二Fr二FJFRyjFRzk=('Fx)iFy)j('Fz)kM° 二 MJMyj Mzk Y Mx)i C My)j (' Mz)k由于满足方程Mx=0，、My=0，、Mz=0，故 Mo =0 ,又根据、MAA =FRyb=0 =FRy" =' Fy=0,'M c

10、c -Fa= 0 二Frx= 0 =' Fx = 0，'M bb - FRxb FRya = 0= Fr=0 二 ' Fy= 0由此可见，' Ma<=0与Mbb：=0是等价的线性相关方程。因此，题目中给出的六个方程不能保证空间力系一定是平衡力系，所以它们不是空间力系平衡的充分条件，但显然是必要条件。6-4 试分别给出空间任意力系平衡时平衡方程四矩式、五矩式和六矩式的 一种方法。6-4 解答：待解答6-5图示均质等粗直角弯杆，已知其 AB = l, BD = 2 1，试求平衡时为多少？6-5解答：受力分析如图（a）所示。' Mb ":P B

11、C1 sin®P2 BC2cos®=0 nR ABsin - P> Dcos® =0 n 2 21 2l.R si n®2R cos® = 0 二2 2tan = 4=卩=75.96386-6自重和摩擦不计的图示平面结构受三个已知力作用，分别汇交于点B和点C,平衡时有(1) Fa = 0， Fnd不一定为零;(2) Fa不一定为零，Fnd = 0；(4) Fa和Fnd均不一定为零。6-6解答：Fa不一定为零，Fnd = 0 :正确。6-7试问图示各系统分别是什么系统（静定、超静定、机构）？BF思考题6-7图（a）B思考题6-7图（c）lF

12、 2a思考题6-7图(e)叢第思考题6-7图（b）思考题6-7图（d）6-7解答：（a）静定系统（结构）；（b）单自由度系统（机构）；（c）一次静不定系统（结构）；（d）一次静不定系统（结构）；（e）静定系统（结构）；（f）静定系统（结构）。6-8若不计自重和摩擦，试问图示平面系统中杆OA、AB、CD分别在什么力系作用下处于平衡状态？思考题6-8图6-8解答：杆OA在三个共线力（三个力的作用线均与 OA重合）作用下处于平衡状态;杆AB在三个平行力作用下处于平衡状态；杆CD在力偶系作用下处于平衡状态。6-9若不计自重和摩擦，试问图示平面系统中杆 AB和CD分别在什么力系 作用下处于平衡状态？M思

13、考题6-9图6-9解答：杆BD和杆GH为二力杆。对于整体而言，整个结构为力偶平衡系统，Fa与FC的大小相等方向反向。待续6-10若不计自重和摩擦，已知Mi = M2 = M ,两圆盘的半径都为r，试计算 图（a）、（b）所示结构中A、B、C处约束力的大小和方向。从计算结果看，你能发 现什么规律？思考题6-10图（a）思考题6-10图（b）6-11试判断图示平面桁架中哪些杆为零杆?6-12如何快速地求出图示平面桁架中杆 0C的内力?思考题6-12图6-13在图示平面桁架中，杆 0E与BC、杆BD与AE都相交但不相连，如 何快速地求出杆AB的内力？6-14在如图所示桁架中，OABCDE为正八角形的

14、一半，杆 OC、0D分别 与杆AE、BE相交但不相连，Fi = F2 = F,如何快速地求出杆BC的内力？思考题6-14图6-15已知Fi = F2 = F ,如何快速地求出图示平面桁架中杆 GL和KN的内力？思考题6-15图6-16如图所示，均质物块重为P，放在粗糙的水平面上，它们之间的静摩 擦因数为fs3，今受到一方向如图所示的推力 F的作用，且F = P,若物块2不会被翻倒，试问物块能否保持平衡？为什么？思考题6-16图6-17如图所示，在机械设备、木工以及坑道作业中，常采用一种楔块，将楔块打入上下两段支柱之间。设楔块与支柱间的摩擦角均为：m，楔块自重忽略不计，试求楔块不会滑出时顶角:的

15、最大值。6-18重量为WA的物块A放在重量为 Wb的物块B上，物块A与墙之间用 一自重不计的刚杆相连，两物块之间及物块与地面之间的摩擦因数 fs相同。在图 示三种情况，若要使物块 B滑动，试判断哪种情况所需要施加的拉力 F最大？ 哪种情况拉力F最小？思考题6-18图(a)思考题6-18图(b)DAB思考题6-18图(c)6-19图示鼓轮放在墙角里，自重不计，A处粗糙，B处光滑，系统处于平 衡状态，试问以下改变能否破坏系统的平衡？（1）增大R，其余不变；（2）增大r，其余不变；（3）增大P，其余不变。6-20已知n形物体重量为P,尺寸如图所示，现以水平力拉此物体，当刚 开始拉动时，A、B两处的摩擦力是否都达到最大值？如果 A、B两处静摩擦因 数均为fs,则此时两处的摩擦力是否相等？若拉力 F较小而未能拉动物体时，能 否分别求出A、B两处静摩擦力的大小？DFCJ11fPhA1思考题6-20图6-21图示质量为m,半径为r的均质圆轮上绕有