用MATLAB进行抛体运动中的探讨模拟概要

1、2(4)(1)(2)(3)MATLAB抛体运动中的探讨摘要计算机在大学物理中的应用已有二十多年的历史，MATLAE语言是一种集数值计算、符号运算、可视化建模、仿真和图形处理等多种功能的高级语言。使用MATLAB模拟物理现象为我们解决问题提供了一种新的方法，利用其方便的数值计算和作图功能，可以方便的模拟一些物理过程。对于处理非线 性问题，既能进行数值求解，又能绘制有关曲线，方便实用，基于其功能强大，界面友善，语言自然， 交互性强等优点，已成为教学和科研中最基础的软件之一，利用其解决复杂的数值计算问题，可以减 少工作量，节约时间，图形绘制问题，真实直观，可以加深理解，提高工作效率。关键词MATLA

2、E语言 抛体运动 空气阻力 力学图形绘制一、问题的提出MATLAB!推向市场以来，得到了广泛的应用和发展，在各高等院校中已经成为线性 代数、自动控制理论、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真、图像处理等诸多课 程的基本教学工具，成为大学生、硕士生、博士生必须掌握的基本技能，尤其在自动控制 理论，是最具影响力、最有活力的软件。MATLABS供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、便捷的与其它程序和语言接口的功能。对于抛 体运动问题，通常需要联立方程组，以及模拟它的路径，运动过程中不同的时间对应不同 的位置，利用数学去计算很繁琐，手工绘图误差大，利用MATLAB以

3、很好地解决数值计算，模拟抛体运动的路径。抛体运动的介绍抛体运动：将物体以一定的初速度向空中抛出，仅在重力作用下物体所作的运动，它 的初速度不为零，可分为平抛运动和斜抛运动。物理上提出的“抛体运动”是一种理想化 的模型，即把物体看成质点，抛出后只考虑重力作用，忽略空气阻力。抛体运动加速度恒 为重力加速度，相等的时间内速度变化量相等，并且速度变化的方向始终是竖直向下的。一般的处理方法是将其分解为水平方向和竖直方向，平抛运动水平方向是匀速直线 运动，竖直方向是自由落体运动，斜抛运动水平方向是匀速直线运动，竖直方向是竖直上 抛运动，在任意方向上分解有正交分解和非正交分解两种情加速度及位移等进行相应分

4、析。无论怎样分解，都必须把运动的独立性和独立作用原理结合进行系统分解，即将初速 度、受力情、加速度及位移等进行相应分析。斜抛运动： 水平方向速度Vx=V0c°s° 竖直方向速度 Vy =V0sina -gt竖直方向位移y 二 Vocos： t -i2gt水平方向位移X二Vo cos"平抛运动：水平方向速度Vx =Vo竖直万向速度v=gt(6)水平方向位移x二v°t(7)竖直方向位移Vy Jgt2(8)合速度 vt =. Vx' v： =、v。' ： g t"(9)合速度方向与水平夹角：tg：二Vy二gt/ Vx / Vo(10)

5、'2 2 合位移s = x y(11)位移方向与水平夹角“ ：tga =/ = %v(12)三、抛体运动的分析1 、斜抛运动的理论分析忽略空气阻力情况下的抛射体运动是普通物理学中的一个常见问题，在高中物理教材中已有涉及，解决该问题的方法较多，分析的角度也有不同，运用的数学方法也是从初等 数学到高等数学而不断深入，对该问题的分析往往是通过运用各种力学原理， 推导出该运 动的射程，飞行高度，飞行时间以及飞行路径曲线形状等公式，但其数值求解过程比较复 杂，因此，对不具备较好高等数学基础的同学来说是较困难的。设某一抛射体的初速度为V0，抛射角为二，将其运动在X,Y轴上进行正交分解，水平方向速度

6、 Vx 二 VoCOS(13)竖直方向 Vy =V°sin ： - gt(14)质点的坐标(x,y)是 x(t) =Vocosp)t(15)1 2y(t)二V°sin 省-2gt(16)2从上两式消去t，便得质点的轨迹运动方程y二xtanfx 2 t(17)2V0COS 9- 5 -抛射体能达到的最大高度为2 2H =V0Sin，2g其到达最大高度所需时间为T二业兰gsin v空中飞行时间为t =2T =2V°g2 .抛射体的最大射程为X =V0SinRg(19)20)21)2它跟初速度v0和抛射角二有关，在抛射角二不变的情况下，射程X与V。成正比，所以射程随初速

7、度的增大而增大。在初速度 V。不变的情况下，随着抛射角二的增大，射程也增大,当，-45度时，sin2 -1，射程达到最大值，以后随着抛射角的增大，射程减小。 利用MATLA的绘图功能，可以更直观的体现上述结论。x=li nspace(0,pi/2,100);g=10;v1=10;v3=20;v4=25;y1=v1A2*si n(2*x)/g; y2=v2A2*si n(2*x)/g; y3=v3A2*si n(2*x)/g; y4=v4A2*si n(2*x)/g; subplot(2,2,1);plot(x,y1);title( 'v0=10' text(pi/4,10, s

8、ubplot(2,2,2);plot(x,y2););'射程为10')；%产生行向量发射角%重力加速度%初速度取10%初速度取20%初速度取25%初速度为%初速度为%初速度为%初速度为10下的射程15下的射程20下的射程25下的射程号区title( 'v0=15' text(pi/4,22.5, subplot(2,2,3);plot(x,y3);title( 'v0=20' text(pi/4,40, subplot(2,2,4);plot(x,y4);title( 'v0=25' text(pi/4,62.5,);'射

9、程为22.5');'射程为40'););'射程为62.5'%选择2*2个区的%输岀初速度为10下的射程曲线 %加图形标题%在最大射程处加图形说明%选择2*2个区的二号区%输岀初速度为15下的射程曲线 %加图形标题);%在最大射程处加图形说明%选择2*2个区的三号区%输岀初速度为20下的射程曲线 %加图形标题%在最大射程处加图形说明%选择2*2个区的四号区%输岀初速度为25下的射程曲线 %加图形标题%在最大射程处加图形说明);程序运行结果如图1所示。2、斜抛运动解决实际问题求解最大飞行路径所对应的抛射角问题（空气阻力忽略不计），如图2所示，X,Y坐 标轴分

10、别代表抛射体的射程与射高，在x,y处，设在某一微小时段内抛射体的路径变量(22)(23)(24)(25)(26)(27)图1射程与抛射角、初速度的关系为dt，其对应的水平及竖直方向的变量为 dx与dy， 则 dL - . dx2 dy2设射程为R,则飞行路径长度dy)2dx dx2根据前面的推论，R二血sin（2Rg其中v。为抛射的初始速度，二为抛射角，根据运动学原理，有x =（v0c os）t1 2y 八？ gt（v°sin）t从（24）、（25）中消除t，我们可得到该运动的抛物线方程：y=%x2 xtg (28)从(24)中可知，为求解L,先得求出dy，因此在(4)式两边同时对x

11、求导，得:dx(V°coMX奸将(27)代入式(24)，等式两边同时积分，便得到了飞行路径长度与抛射角之间的关系:=Vo sin v2cos In+ sin 日 XII cos6 丿(29)-7 -根据式(28 )，为求得L的最大值，将(28 )两边同时对二求导L 2 Vo co 1 -sin v In(30)令L(引=0，可得到最大飞行路径所对应的抛射角的大小，但解此方程是比较困难的。为此，我们采用MATLAB的函数运算功能来解决这一问题。 程序如下，设其中的抛射初速度Vo"。%，9=9.8%2x=(0:pi/100:pi/2);%产生行向量 xy1=(si n(x)+(

12、cos(x).*cos(x).*log(1+si n(x)./cos(x)*100/9.8;% 飞行路径长度与抛射角之间的函数关系y2=cos(x).*(1-si n(x).*log(1+si n(x)./cos(x)*200/9.8;% 飞行路径对抛射角的一阶导数的函数关系m=(si n(pi/6)+(cos(pi/6)*cos(pi/6)*Iog(1+s in (pi/6)/cos(pi/6)*100/9.8;%抛射角取某一特定值时飞行路径值n=cos(pi/3)*(1-si n(pi/3)*log(1+si n(pi/3)/cos(pi/3)*200/9.8;%抛射角取某一特定值时飞行路

13、径一阶导的值plot(x,y1,'b:');%输岀飞行路径长度与抛射角之间的函数表达式hold on;%设置图形保持状态plot(x,y2,'k')；%输岀飞行路径对抛射角的一阶导数的函数表达系hold off;% 关闭图形保持text(pi/6,m,'y1');%在指定位置添加图例说明text(pi/3 ,n.'y2')；%在指定位置添加图列说明grid;%网格线控制运行结果如图2所示。图2给出了飞行路径随抛射角的变化曲线 L(R及飞行路径曲线的斜度L("，从图中可以 得到，当 0.9855 (弧度)时，即二=56.4

14、9度时，飞行路径最大，2此时 L : 1.21Vo-g( 31)我们知道，在不考虑空气阻力的情况下，当抛射角' -45度时，其射程最远，但此时其飞行路径并不是最远，而是当抛射角56.49度时，其飞行路径最远，且其长度约为2L ".21虫 实际上，由于空气阻力的存在，抛射体在空中是沿导弹曲线（弹头飞行时其g重心所经过的路线）飞行的，它与抛物线不同，它的升弧与降弧不对称，在重力与空气阻 力的共同影响下，弹道形成不均等的圆弧，升弧较长而直伸，降弧较短而弯曲.斜抛射出的炮弹的射程和射高都没有按抛体计算得到的值那么大，路线也不是理想曲线。-9 -图2抛射角与飞行路径及其一阶导数曲线图物

15、体在空气中受到的阻力，与物体运动速度大小有密切联系，速度越小，越接近理想情况，当物体速度低于200米每秒时，阻力与物体速度大小的平方成正比，速度介于400至600米每秒之间时，空气阻力与速度大小的三次方成正比，在速度很大的情况下，阻力 与速度大小的高次方成正比。3 、抛射角为90度的特殊抛体运动一弹性小球，初始高度h=10m,向上初速度v0=15米每秒，与地面碰撞的速度衰减系 数k=0.8，试计算任意时刻球的位置和速度。高度与时间的关系：聖一g，齐v速度与时间关系:对等式两边积分,dv有 dv 二：gdt，v = V。_ gtdy 二 vdt，y =y°v°t gt2(32

16、)(33)(34)(35)v =V01 - gt(36)由此可得数学方程: 第一次落地前：y 二 h Voit-gt 2(37)T3.62s(38)第二次落地前:-11 -第三次落地前:第n次落地前:vo2 二 -k(voi - gTi)V =v°n - gt(39) (40)(41)(42)(43)(44)(45)(46)(47)(48)(49)(50)如用手工进行计算，计算量极大，利用MATLAB®程如下:v0=15;%初速度h=10;%初始高度g=-9.8;%重力加速度k=0.8;%衰减系数T=0;%落地时间for t=0:0.0 5:20%产生时间的行向量v=v0+

17、g*(t-T);%求速度y=h+v0*(t-T)+g*(t-TF2/2;淋高度if y<=0%循环判断条件v0=-k*v;% 衰减的速度T=t;%求球每次落地所用时间h=0;%将高度变零end%选择结构结束subplot(1,2,1);%选择1*2中的一号区pause(0.1);%延缓plot(1,y,'or'，MarkerSize',10, 'Markerface',1,0,0);%输岀求球的运动图像title（'运动变化图）;%图形名称axis(0,2,0,25);%坐标控制subplot(2,2,2);%选择2*2中的二号区axis(

18、0,20,-25,30);%坐标控制grid on;%不画网格线plot(t,v,'*r', 'MarkerSize',2）;%画球的速度曲线xlabel('时间 t');%坐标轴说明ylabel('速度 v');%坐标轴说明title（'速度变化趋势图）；%图形名称hold on;% 设置图形保持状态subplot(2,2,4);%选择2*2中的四号区axis(0,20,0,25);%坐标控制grid on;%不加网格线plot(t,y,'*b', 'MarkerSize',2）;%画球的

19、位置曲线xlabel('时间 t');%坐标轴说明ylabel('高度 y');%坐标轴说明title（'位置变化图'）;%图形名称grid on%不加网格线hold on% 设置图形保持状态end%循环结束程序运行结果如图3所示。4、对平抛运动的分析将物体用一定的初速度沿水平方向抛出， 不考虑空气的阻力，物体只在重力作用下所 做的运动，叫做平抛运动。竖直的重力与速度方向有夹角，做曲线运动；水平方向不受外力作用，是匀速运动， 速度为Vo；竖直方向受重力作用，没有初速度，加速度为重力加速度g,是自由体运动。即做平抛运动的物体，在水平方向上由于不受力

20、，将作匀速直线运动；在竖直方向上的物 体的初速度为0且只受到重力作用，物体做自由落体运动，加速度为go平抛运动的规律：1抛出t秒末的速度：一抛出点为坐标原点，水平方向为 x轴（正方向和初速度V0的方向相同）， 竖直方向为y轴，正方向向下，贝水平分速度：Vx=Vo（51）竖直分速度：Vy=gt（52）(53)(54)合速度：Vt= , Vx2 Vy2tan 二=Vy =-gt-Vx Vo运用MATLA编程得到速度随时间的变化关系，程序如下:2515100图3小球落地速度及位置曲线%产生时间的行向量淋速度%输岀速度曲线%图形名称%加网格线t=0:0.01:10；Vt=-sqrt(10A2+9.8*

21、t.A2);plot(t,Vt);title('物体速度随时间的变化grid运行结果如图4所示。2、平抛运动的物体在任意时刻t的位置坐标: 水平位移：x=Vot 竖直位移：y=1 gt22')；(55)(56)合位移：s= , x2 y2(57)tan 二=丫=_x 2Vo运用该公式，我们可以求得物体在任意时刻的坐标并找到物体所在位置后,(58)再用平滑曲线File Edit Tools Window HelpD労IH寻A Z Z倉 £) -o回 S3 、Q Figure IMd 11=1把这些点连起来，就得到平抛运动的轨迹。运用MATLAB编程的到物体运动的曲线的程

22、序如下:t=0:0.01:10；s=-sqrt(3*t)A2+(0.5*9.8*t.A2)A2); plot(t,s,'r:');title('物体平抛运动轨迹)；%产生时间行向量%求位移%输岀位移曲线%图形名称grid%加网格线运行结果如图5所示。图4平抛运动速度随时间变化关系图5物体平抛轨迹曲线四、结论从以上对抛体运动的分析可得出这些结论：1抛射体的射程与初速度和抛射角有关，在抛射角不变的情况下，射程随初速度的 增大而增大，在抛射角不变的情况下，射程随抛射角的增大而增大，当抛射角达到四十五 度时射程达到最大值，之后射程随着抛射角的增大而减小。2、抛体运动的分析牵扯到

23、很多复杂的推理与计算， MATLA可以有效的解决这一问题， MATLAB勺数值计算和作图功能来模拟物理现象，减少了计算工作量，并且可以准确的得 到计算结果，且绘制的图形使抽象的问题形象化。五、课程体会1、一学期的MATLAB课程的学习即将结束，忙碌的同时也收获了很多。在准备期末 论文之前有时会抱怨自己的课后作业相比其他班级偏多，但在写作过程中可以明显感觉到平时的作业对自己的学习有很大的作用， 一些基本的函数语句不用再查阅书籍， 有困难的 地方，不确定的函数语句可以很快在课本上找见。期末2、在理论知识与实验相结合的教学模式下测评以论文的形式，可以很好的检测这学 期的学习情况，每个语句的编写巩固了相关知识点，提高了自己的逻辑思维能力，对于有 疑问的知识点，编写时不断的翻阅书