武汉测绘科技大学研究生平差试题

1、武汉测绘学院1999年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：测量平差科目代码775、填空题洪20分，每空1已知观测向量3L1=L1,L2,L3T的协方差阵Dll304'-1 10 -112，单位权方差=2，设有函数：f： =L,L2, fW -L3,则:Df1 =()，Df2 =()，Dff2=()，PL1），PL2 =()，PL3 =()，Qf1f 2 -(2、已知观测向量2/1的协方差阵Dll-1l1，而Li关于L2的协因数1 、 2 qL2 -，则单位权方差 二o =（5）。3、设观测值向量2十山丄2丁的权阵Pll=2：，肆11 0.5L :Yd ：0.5 ” r的精度比L1的

2、精度（4、某控制网，必要观测数 法进行平差，应列（5、上题中，若选5个参数。就要按（程，其中（）个误差方程，二、某人租用全站仪承担如图已知变换y二），点位中误差绝对值1 ：；则变换y的权阵Pyy =（川比之下Y1y2的精度比L2的精度（t=3，有9个观测值。若设2个函数独立的参数，则按（ 个条件方程和（）个误差方程。）法进行平差，应列立（）个方（）个条件方程。1所示的极坐标放样任务。 甲方要求P点放样精度为乞8mm，已知S=600m, A、B两点均无误差，现可租用的全站仪价格/小时Bs|mm秒高精度26元/时21中精度16元/时52低精度12元/时106有三种，其租金和精度如下表:11 / 7

3、A (5,1)p(5, 5)(图3)七、已知某控制点坐标平差值的协因数阵为0.12.0单位权中误差为设每测回需要一个小时，问租用那种全站仪放样经济效益最高？为什么？（ r=2 105 ）。（10 分）三、在图2所示的边角网中，A、B为已知点，C、D是待定点，Tad是已知方位角， 边长观测值为Si（i=1,2,3,4），角度观测值为 冷、：-2。该网若按条件平差法进行平差，试问:1、 有多少个条件方程？各类方程各有多少个？2、列出全部条件方程（非线性条件方程要求线性化） （10 分）(图2)四、在间接平差中，参数平差值X、X° ? = X° _Nb；BTPI，改正数向量V -

4、B>? I，试问X与V是否相关？试证明之。（10分）五、已知某直线y =ax+b通过点（2，5）,为了确定参数a、b，分别在 冶=1, x2 =3,x3 =4,x4=5 处同精度测得y 0.98,y2= 9.01,y3=12.99,y4=17.02。试列出估计a、b的法方程。（10分）六、有一测角网如图 3所示，网中A、B为已知点，口、p2为待定点，同精度观测了 8个角度，图上给出了各点的坐标值，以公里为单位。 若按坐标平差进行平差，1、 试列出L45000 02的误差方程。（要求线性化,5?=2 10，坐标改正数以 dm为单位）。2、为求平差后边长Sp1p2的相对中误差，试列出其权函数

5、式？ （15分）? = 5.0（cm）。试求与误差椭圆长轴成夹角=300方向上的位差二。（ 10分）p3是待定点。3个待定点高P3hl八、图4水准网中A是已知点，p1> p2、 第一次观测了 h1 -“4，第一次平差后，发现程精度达不到设计要求，为了提高精度，第二次观测了h5 ,设5条路线长度相等，试求按序贯法平差计算增加了观测值h5后，Pl、P2、P3三个点高程平差值的权各增加了多少？（10 分）（图 4）试题分析及参考答案一、填空题1、本小题考察对协方差阵和权的定义、协方差与协因数的关系、协方差传播律的掌握情况。前三个空，直接利用协方差传播律可以求得，首先列出函数式f1, f2的权函

6、数式：df1 =L2dL1 L1dL2 , df2 =2dL1 _dL3，应用协方差传播律得到:Df2 _ 12D fl = L24 ILL1$_31; _21 =18D f1 f 2300】04-1 1=-L1 7L2已知观测值向量的协方差阵,2L1其对角线元素就是各观测值的方差，所以应用权的定义式R =：;2 /二2，求得各观测值的权为：2 1 11Pl1 = ,Pl2=, Pl3=1，f 1，f2 的协因数为：Qf1 f 2 = 2 D f1 f 2 =二（L1*7L2 ）。3 2cr022、本小题考查内容与第1小题相同，若第一小题能正确解答，则本小题应也能顺利求解。已知L1关于L2的互

7、协方差-L1L2为一1，互协因数qL1L2为一1/5，根据互协因数的定义qL1L2 =；L1L2 / - 2，就可得到-0 =5。求得了单位权中误差，已知观测值协方 差阵，从而观测值的权：PL1PL2 =9。323、本小题考察对观测值权阵的概念及其与协因数阵关系的理解，要注意在观测值 之间误差不独立时，权阵中的元素是无定义的，所以首先要对权阵求逆，得到观测值的 协因数阵qll 3 -1二0.6_0.2，然后对给出的变换式应用协因数传播律，5 <1 2 一0.2 0.4 一得到y的协因数阵：1 _ 10.53 -110.5_0.5 0.251 卡+、¥/心如叶*Qy尸丄Ii Ii

8、 I= I。对Qyy求逆得到权阵为：yy 5 0.51卜120.510.25 0.35yy-1 "3.1112.222八丄“Pyy= Qy>。分析对比协因数阵和，较小的精度较高，yy 羽 | - 2.2224.444列所以yi的精度比Li高，L2的精度比目2高。4、 本小题考察对测量平差基本数学模型的理解，需要弄清楚所设函数独立未知数数 目与平差方法间的关系。本题目设所设参数函数独立，但数目小于必要观测数，所以平差方法是附有未知参数的条件平差方法。多余观测数本为6，现在加选2个参数，所以应列出8个条件方程，无误差方程。5、 考察内容与上体相同，题设选 5个参数，设为默认有三个函

9、数独立参数，因此可以将所有观测值表示为未知参数的函数，既可以列出误差方程。但是由于最多只能选出3个函数独立的参数，所以 5个参数间存在2个函数式，平差方法为附有限制条件的间 接平差法。应列出11个方程，其中9个误差方程，2个限制条件方程。本题目考察对点位精度估算方法的理解和掌握情况。题设点位中误差绝对值要小于8mm，给出的条件是已知测距中误差、测角中误差及放样距离。根据点位中误差的平方2是任意两个垂直方向误差分量的平方和，得到：m； = m； 二m2。显然低精度的全p sp2 a站仪纵向误差 m： = 100,已经超过精度要求。 而将中等精度的全站仪精度指标代入计算检验，得到：m： =2533

10、.8 =58.8 ： 64。可见按一测回观测，精度就能符合要求，因此结论是：租用中等精度全站仪经济效益最高。本小题考察对必要观测数的理解和掌握，及能否正确列出条件方程并线性化。题设 有两个待定点，所以未知参数为 4,应有4个必要的函数独立观测值，但是网中有一多余已知方位角(即至少有一个端点为待定点的已知方位角),因此要减去一个必要观测值，所以必要观测数为 3。1、 必要观测数是3,观测值n=6,所以有3个条件方程。其中 2个余弦条件, 个正弦条件2、条件式分别为为：(1)、余弦条件式CoTad 一 Tab？1)=SAB 诵遐,Cog Tab) =2Sabs2漲 ADB2Sab?4(2)、正弦条

11、件式：S4_ S2Sin(180 - ：?2) 一 Sin ：?2(3)余弦条件式线性化后为:2sNs1 (2Sab cos(Tadv 1TAB -1)- 2s2) vs2 ' 2SAB S2Sin(Tad -TAB -1)叫=0Wi =2SabS2Cos(Tad -Tab - ) sAb s2 亠s：2s3vs3 ' (2Sab coS(T ad Tab )心心 W2 =0W2 =2Sab S4Cos(TadTab) sAb s4 亠 s2(4)正弦条件式线性化后为:V"S2C0S(佝2)二 ”(S2COS(12)-S4COSZ2)v -2二'Sin(i 2

12、)Vs2 -Sin(、2)Vs4，W3 = 0w2 =s2Sin(、p2) - s4Sin、£2四、要证明? V两者是否相关，需要分别将它们表示为观测值的线性函数(矩阵式)，然后对此应用协因数传播律，若有Q)?/ = 0,即证得两者不相关，反之相关。证明：根据间接平差公式知：X = Nb；BTPL，V =(-BNb：BTP E)L。根据协因数传播律，得到：-1 T-1-1 T-1-1-1-1Qxv =(BNbbB PE)QPBNbb =BNbbB PBNbb-BNbb = BNbb-BNbb =0。由此证得向量X和V不相关。五、本小题也是考察对平差基本原理的应用，及附有限制条件间接平

13、差方法的掌握情况。题目给出直线方程中常数项和系数项是未知参数，但同时又给出了一个通过的点,因此常数项和系数项就存在一个函数关系2a七-5=0，即两个未知数中只有一个是函数独立的，必要观测数为 1。所以解决此平差问题，要用附有限制条件的间接平差法。由题设条件列出4个误差方程为：v1 =a b -0.98 v2 =3a b -9.01 v3 = 4a b -12.99 v4 = 5a b -17.02一个限制条件方程：2a F5=0按附有限制条件的间接平差法平差，组成法方程为：5113 2 a 165.071341 | - | 40=0210kj 1 5 j六、题目考察对间接平差法误差方程列立的掌

14、握情况，本身无难点，但要求能熟练 计算。分别列出坐标方位角 Tpb、Tpp改正数方程为:1' dTBSpb 1斗SP B2、Sin -：p1p2rC°S-：piP2Sin 一»任Cos二丽dTpa 二s 一 dXpi_一s 一 dypi S dXp2 ： s _ dP2SPiP2SPiP2SPiP2SPP2已知：Sp； =J32 a：B =225°。计算得：S；P2 =4, a pp? =180 1 从而得到观测 角4误差方程为：v4 =-2.5dxPi _2.5dyPl +5dyp _2"。注意：题目要求坐标改正数 以分米为单位，而边长单位是公

15、里，所以系数要乘以常数10*，误差方程常数项直接按坐标反算两方位角之差减观测角得到。七、本小题考查对任意方向位差计算的掌握情况，本身无难点，但要求熟练计算。2Q首先要列出点任意方向位差的计算公式。根据公式：tg2Xy代入数值得Q xx Q yy到：tg-0乙=_14 02 10“二 2 a= 345 57 50”：二 a= 172 58 55 或 262 58 55 1.2-2。由于Qxy 0，所以极大值在第三象限，即极大值方位角是262 58'55"极小值方位角是 172 58'55。由：k 二.（Qxx -Qyy）2 4Q；y =0.82，得到：1 1E =（0.5口2（0心 + Qyy +k）2 = 7.09cm， F = （0.5口：心 + Qyy k）2 = 5.45cm. 二二.E2Cos2- 30F2Sin2- 30 = 6.72。另外，也可以直接按公式：二二二Qxxcos Qyysin2 Qsin2：计算，其中即 仝e 30丄292 58