奉贤高考补习班,恒高教育任意角及其度量、三角比

1、丁 G 老师高一数学新王牌 400-000-975511任意角及其度量、三角比一、基本知识点1.任意角（1）角的概念角可以看成平面内一条_绕着端点从一个位置旋转旋转到另一个位置所成的图形规定： 按_方向旋转形成的角叫做正角， 按_方向旋转形成的角叫做负角如果没有作任何旋转，我们称它形成了一个_我们把开始位置的射线称为始边，结束位置的射线称为终边，如不作特别说明，一般以 x 轴正半轴作为始边。（2）终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 S_.与角终边关于 x 轴对称的角构成的集合 S_.与角终边关于 y 轴对称的角构成的集合 S_.与角终边关于原点对称的角构成的集合 S_

2、.（3）坐标轴上角如果角的终边在_上，就认为这个角不属于任何一个象限终边在 x 轴正半轴上的角的集合可记作|2k，kZ；终边在 x 轴负半轴上的角的集合可记作_；终边在 y 轴正半轴上的角的集合可记作_；终边在 y 轴负半轴上的角的集合可记作_；终边在 x 轴上的角的集合可记作_；终边在 y 轴上的角的集合可记作；终边在坐标轴上的角的集合可记作（4）象限角使角的顶点与_重合，角的始边与 x 轴的_重合角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角是第一象限角可表示为；是第二象限角可表示为；是第三象限角可表示为；是第四象限角可表示为2. 弧度制（1）把长度等于_的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用

3、符号 rad 表示，读作弧度|，其中 l 是半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长（2）弧度与角度的换算：180_rad.弧度制将任意角与实数之间建立了一一对应的关系，即任意一个实数都可作为一个角.（3）若圆心角用弧度制表示，则弧长公式 l_；扇形面积公式 S扇3. 任意角的三角函数丁 G 老师高一数学新王牌 400-000-97552（1）任意角的三角函数的定义设是一个任意角，它的终边上任意一点 P(x，y)与原点的距离为 r(r0)，则sinyr，cosyr，tanyx(x0)，cotxy(y0)，secrx(x0)，cscry(y0)（2）正弦、余弦、正切函数的定义域三角函数定义域sinco

4、stancotseccsc（3）三角函数值在各象限的符号sincostan4. 三角函数线如图，角的终边与单位圆交于点 P.过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，过点 A(1，0)作单位圆的切线，设它与的终边(当为第一、四象限角时)或其反向延长线(当为第二、三象限角时)相交于点 T.根据三角函数的定义，有 OMx_，MPy_，AT_.像 OM，MP，AT 这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段 MP，OM，AT，分别叫做角的_、_、_，统称为三角函数线丁 G 老师高一数学新王牌 400-000-97553二、基础自测1. 在坐标系中画出特殊角的终边：2. 在),

5、内找出与下列各角同终边的角：460，311；3.给出下列命题：小于2的角是锐角；第二象限角是钝角；终边相同的角相等；若与有相同的终边，则必有2k(kZ)其中正确命题的个数是()A0B1C2D34. 终边在第一、三象限角平分线上的角的集合是.5将表的分针拨快 10 分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()A.3B.6C3D6解析将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角故 A、B 不正确，又因为拨快10 分钟，故应转过的角为圆周的16.即为1623.答案C6.特殊角的三角函数值角030456090120135150180270360弧度06432324365232sin021222312322

6、210-10丁 G 老师高一数学新王牌 400-000-97554cos12322210212223-101tan03313不存在3-1330不存在0cot不存在3133033-13不存在0不存在seccsc7. (2014全国)已知角的终边经过点(4，3)，则 cos()A.45B.35C35D45解：cos4（4）23245.故选 D.8.sin1，cos1，tan1 的大小关系是()Asin1cos1tan1Btan1sin1cos1Ccos1tan1sin1Dcos1sin1tan1解：如图，单位圆中MOP1 rad4rad，OM22MPAT，cos1sin1tan1.故选 D.三、例

7、题解析【例 1】 （1）在坐标系中写出以下射线为终边的角的集合：丁 G 老师高一数学新王牌 400-000-97555【例 2】 （1）若 46且与23终边相同，则_答案：163（2）(2014洛阳调研)已知角=45,在区间-720,0内与角有相同终边的角=.【例 3】 （1）若是第三象限角，则 180是第_象限角解析：是第三象限角，k360180k360270，k360270k360180，(k1)360270180(k1)360360，其中 kZ，所以 180是第四象限角 答案：四（2）已知角的终边上有一点的坐标为23,21-，若(2，2)，则所有的组成的集合为_解析：因为角的终边上有一点

8、的坐标为12，32 ，所以角为第四象限角，且 tan 3，即32k，kZ，因此落在(2，2)内的角的集合为3，53 .【例 4】如图所示，已知扇形 AOB 的圆心角AOB120，半径 R6，求：AB的长；弓形 ACB 的面积解：AOB12023，R6，l2364.S弓形ACBS扇形OABSOAB12lR12R2sinAOB1246126232129 3.【例 5】扇形 AOB 的周长为 8 cm.若这个扇形的面积为 3 cm2，求圆心角的大小解：设扇形半径为 r，则弧长为 82r，S12(82r)r3，解得 r1 或 3.圆心角弧长半径82rr6 或23.【例 6】 已知扇形的圆心角是，半径为

9、 R，弧长为 l.若60，R10 cm，求扇形的弧长 l；若扇形的周长为 20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？丁 G 老师高一数学新王牌 400-000-97556解： （1）603，l103103(cm)（2）由已知得，l2R20，所以 S12lR12(202R)R10RR2(R5)225，所以当 R5 时，S 取得最大值 25，此时 l10(cm)，2 rad.【例 7】已知角的终边经过点 P(a，2a)(a0)，求 sin，cos，tan的值解：角的终边经过点 P(a，2a)(a0)，r 5a，xa，y2a.sinyr2a5a2 55，cosxra5a55，tan

10、yx2aa2.【例 8】已知角的终边经过点 P(3m9，m2)若 m2，求 5sin3tan的值；若 cos0 且 sin0，求实数 m 的取值范围解： （1）m2，P(3，4)，x3，y4，r5.sinyr45，tanyx43.5sin3tan545343 0.（2）cos0 且 sin0，3m90，m20.2m3.【例 9】 （1）已知)(0,2，则满足21sin角的集合是656，；（2）满足21sin的角的集合是656，.【例 10】 （1）即已知 02，求证：|sin|cos|1.证明：作平面直角坐标系 xOy 和单位圆当角的终边落在坐标轴上时，不妨设为 Ox 轴，设它交单位圆于 A点

11、，如图 1，显然 sin0，cosOA1，所以|sin|cos|1.当角的终边不在坐标轴上时， 不妨设为 OP， 设它交单位圆于 A 点，过 A 作 ABx 轴于 B，如图 2，则 sinBA，cosOB.在OAB 中，|BA|OB|OA|1，所以|sin|cos|1.综上所述，|sin|cos|1.（2）求证：当)2, 0(时，sintan.证明：如图所示，设角的终边与单位圆相交于点 P，单位圆与 x 轴正半轴的交点为 A，过点 A 作圆的切线交 OP 的延长线于 T，过 P 作 PMOA 于 M，连接 AP，则在 RtPOM 中，sinMP，在 RtAOT 中，tanAT，又根据弧度制的定

12、义，有OP，丁 G 老师高一数学新王牌 400-000-97557易知 SPOAS扇形POASAOT，即12OAMP12OA12OAAT，即 sintan.四、巩固练习（一）基础训练1已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2，则这个圆心角所对的弧长是()A2B.2sin 1C2sin 1Dsin 2解：弧长公式 l|r，已知2，需求半径 r.过圆心作弦的垂直平分线，得到直角三角形，得出 rsin221，所以 r1sin 1.故选 B.2已知角的终边经过点 P(4a，3a)(a0)，则 2sincos的值为()A25B.25C0D.25或25解：x4a，y3a，a0)，则 tan的最小值为(

13、)A1B2C.12D. 2解：根据已知条件得 tant21tt1t2，当且仅当 t1 时，tan取得最小值 2.答案B4已知和的终边关于直线 yx 对称，且3，则 sin 等于()A32B.32C12D.12解：因为和的终边关于直线 yx 对称，所以2k2(kZ)又3，所以2k56(kZ)，即得 sin 12.答案D5. (2014江苏模拟)已知角(02)的终边过点)32cos,32(sinP，则.6一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2，它的周长是 4 cm，则该扇形的圆心角的弧度数为_解：设圆的半径为 r cm，弧长为 l cm，圆心角为，则12lr1，l2r4，解得r1，l2.圆心角lr2.丁 G 老师高一数学新王牌 400-000-975587点 P 从(1，0)出发，沿圆心在原点的单位圆逆时针方向运动23弧长到达点 Q，则点 Q 的坐标为_解：由三角函数的定义知点 Q(x，y)满足xcos2312，ysin2332.故填12，32 .8若一扇形的周长为 60cm，那么当它的半径和圆心角各为_cm 和_rad时，扇形的面积最大解：设该扇形的半径为 r，圆心角为，弧长为 l，面积为 S，则 l2r60，l602r.S12lr12(602r)rr230r(r15)2225.当 r15 时，S 最大，最大值为 225cm2.此时，lr30152rad.故填 15；2.9已知2