一元二次方程根与系数的关系课件

1、22.2.422.2.4一元二次方程根与系数一元二次方程根与系数的关系的关系1.一元二次方程的一般形式是什么？一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的解的情况怎样确定？一元二次方程的解的情况怎样确定？2.一元二次方程的求根公式是什么？一元二次方程的求根公式是什么？) 0( 02acbxaxacb42没有实数根两个相等的实数根两个不相等的实数根000) 04(2422acbaacbbx知识小竞赛知识小竞赛设设 x1 、 x2是下列一元二次方程的两个根，填写下表是下列一元二次方程的两个根，填写下表一元二次方程一元二次方程 方程的两个根方程的两个根 X1+X2 X1X2 X25X6=0 X1

2、= X2= X24X3=0 X1= X2= 2X2X1=0 X1= X2= 3X2X2=0 X1= X2=2313121234651231121323猜想：猜想：根据所填写的表格，请你猜想出根据所填写的表格，请你猜想出x1 + x2 ， x1 x2与与 方方 程程 的系数有什么关系吗？的系数有什么关系吗？ 如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 ，那么：，那么：abxx21acxx21)0(02acbxax1x2x猜想：猜想： 证明你们的猜想已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxax1x2xacxx2

3、1abxx21求证：求证：已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxax已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxax已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxax已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxax已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxax已知：已知：如果一元二次方程如果一

4、元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxax已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxaxabxx21已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxax求证：求证：abxx21已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxaxacxx21求证：求证：abxx21已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxaxacaacbbaacb

5、baacbbxx2222222144)24()24(ababaacbbaacbbxx2224242221证明证明：一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系( (韦达定理）韦达定理）acxxabxxxxacbxax212121200,)(则的两根为若方程qxxpxxxxqpxx21212120,则：，的两根为若方程特别地：推论推论1 1一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系( (韦达定理）韦达定理）012121221xxxxxxxx）（）是方程（二次项系数为为根的一元二次以两个数,推论推论2 2acxxabxxxxacbxax212121200,)(则的两根为若方程 韦

6、达韦达（15401603）是法国数学家,最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理韦达定理。韦达最重要的贡献是对代数的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，著有分析方法入门、论方程的识别与订正等多部著作。巩固训练巩固训练: 1、口答下列方程两根的和与两根的积下列方程两根的和与两根的积(不解方程）不解方程）（1 1）x x2 2- -3 3x+1=0 x+1=0 （2 2）3x3x2 2-2x=2-2x=2（3 3）2x2x2

7、 2+ +3 3x=0 x=0 （4 4）3x3x2 2=1=12 2、已知方程、已知方程 的两根之和的两根之和与两根之积相等，那么与两根之积相等，那么m m的值为（的值为（ ） A.1A.1 B.-1 B.-1 C. 2 C. 2 D. -2 D. -23 3、方程、方程 的两根和为的两根和为4 4，积为，积为 -3-3，则，则a=a= ，b=b= 。xmxm2210()2202xaxbB8-3练习：练习：P42 练习练习 P43 7 例例2：已知方程已知方程 的一个的一个根是根是2，求它的另一个根及，求它的另一个根及k的值的值. 解：设方程 的两个根 分别是 、 ，其中 。 所以： 即：

8、由于 得：k=-7 答：方程的另一个根是 ，k=-70652kxx0652kxx1x2x21x562221xxx532x5)53(221kxx53例例3、利用根与系数的关系，求一元二次方程、利用根与系数的关系，求一元二次方程 两个根的；（两个根的；（1）平方和；（）平方和；（2）倒数和）倒数和01322xx解：设方程的两个根是解：设方程的两个根是x1 x2那么 x1+x2 = x1x2=3212（1）（x1+x2）2=x12+2x1.x2 + x22 x12+x22 = （x1+x2）2 - 2x1.x2 (2)1212123112312xxxxxx1 1、如果、如果-1-1是方程是方程2X

9、X2 2X+m=0X+m=0的一个根，则另的一个根，则另 一个根是一个根是_，m =_m =_。2 2、设、设 X1、X2是方程是方程X X2 24X+1=04X+1=0的两个根，则的两个根，则 X1+X2 = _ ,X1X2 = _， X12+X22 = ( = ( X1+X2)2 - - _ = _ ( ( X1-X2)2 = ( ( _ )2 - - 4X1X2 = _ 3、判断正误：、判断正误： 以以2和和-3为根的方程是为根的方程是X X2 2X-6=0 X-6=0 （ ）4 4、已知两个数的和是、已知两个数的和是1 1，积是，积是-2-2，则这两个数是，则这两个数是 _ 。X1+X22X1X2-34114122和和-1基基础础练练