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文档简介
1、22.2.422.2.4一元二次方程根与系数一元二次方程根与系数的关系的关系1.一元二次方程的一般形式是什么?一元二次方程的一般形式是什么?3.一元二次方程的解的情况怎样确定?一元二次方程的解的情况怎样确定?2.一元二次方程的求根公式是什么?一元二次方程的求根公式是什么?) 0( 02acbxaxacb42没有实数根两个相等的实数根两个不相等的实数根000) 04(2422acbaacbbx知识小竞赛知识小竞赛设设 x1 、 x2是下列一元二次方程的两个根,填写下表是下列一元二次方程的两个根,填写下表一元二次方程一元二次方程 方程的两个根方程的两个根 X1+X2 X1X2 X25X6=0 X1
2、= X2= X24X3=0 X1= X2= 2X2X1=0 X1= X2= 3X2X2=0 X1= X2=2313121234651231121323猜想:猜想:根据所填写的表格,请你猜想出根据所填写的表格,请你猜想出x1 + x2 , x1 x2与与 方方 程程 的系数有什么关系吗?的系数有什么关系吗? 如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 ,那么:,那么:abxx21acxx21)0(02acbxax1x2x猜想:猜想: 证明你们的猜想已知:已知:如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxax1x2xacxx2
3、1abxx21求证:求证:已知:已知:如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxax已知:已知:如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxax已知:已知:如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxax已知:已知:如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxax已知:已知:如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxax已知:已知:如果一元二次方程如果一
4、元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxax已知:已知:如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxaxabxx21已知:已知:如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxax求证:求证:abxx21已知:已知:如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxaxacxx21求证:求证:abxx21已知:已知:如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxaxacaacbbaacb
5、baacbbxx2222222144)24()24(ababaacbbaacbbxx2224242221证明证明:一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系( (韦达定理)韦达定理)acxxabxxxxacbxax212121200,)(则的两根为若方程qxxpxxxxqpxx21212120,则:,的两根为若方程特别地:推论推论1 1一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系( (韦达定理)韦达定理)012121221xxxxxxxx)()是方程(二次项系数为为根的一元二次以两个数,推论推论2 2acxxabxxxxacbxax212121200,)(则的两根为若方程 韦
6、达韦达(15401603)是法国数学家,最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理韦达定理。韦达最重要的贡献是对代数的推进,他最早系统地引入代数符号,推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了大量的代数符号,用字母代替未知数,系统阐述并改良了三、四次方程的解法,著有分析方法入门、论方程的识别与订正等多部著作。巩固训练巩固训练: 1、口答下列方程两根的和与两根的积下列方程两根的和与两根的积(不解方程)不解方程)(1 1)x x2 2- -3 3x+1=0 x+1=0 (2 2)3x3x2 2-2x=2-2x=2(3 3)2x2x2
7、 2+ +3 3x=0 x=0 (4 4)3x3x2 2=1=12 2、已知方程、已知方程 的两根之和的两根之和与两根之积相等,那么与两根之积相等,那么m m的值为(的值为( ) A.1A.1 B.-1 B.-1 C. 2 C. 2 D. -2 D. -23 3、方程、方程 的两根和为的两根和为4 4,积为,积为 -3-3,则,则a=a= ,b=b= 。xmxm2210()2202xaxbB8-3练习:练习:P42 练习练习 P43 7 例例2:已知方程已知方程 的一个的一个根是根是2,求它的另一个根及,求它的另一个根及k的值的值. 解:设方程 的两个根 分别是 、 ,其中 。 所以: 即:
8、由于 得:k=-7 答:方程的另一个根是 ,k=-70652kxx0652kxx1x2x21x562221xxx532x5)53(221kxx53例例3、利用根与系数的关系,求一元二次方程、利用根与系数的关系,求一元二次方程 两个根的;(两个根的;(1)平方和;()平方和;(2)倒数和)倒数和01322xx解:设方程的两个根是解:设方程的两个根是x1 x2那么 x1+x2 = x1x2=3212(1)(x1+x2)2=x12+2x1.x2 + x22 x12+x22 = (x1+x2)2 - 2x1.x2 (2)1212123112312xxxxxx1 1、如果、如果-1-1是方程是方程2X
9、X2 2X+m=0X+m=0的一个根,则另的一个根,则另 一个根是一个根是_,m =_m =_。2 2、设、设 X1、X2是方程是方程X X2 24X+1=04X+1=0的两个根,则的两个根,则 X1+X2 = _ ,X1X2 = _, X12+X22 = ( = ( X1+X2)2 - - _ = _ ( ( X1-X2)2 = ( ( _ )2 - - 4X1X2 = _ 3、判断正误:、判断正误: 以以2和和-3为根的方程是为根的方程是X X2 2X-6=0 X-6=0 ( )4 4、已知两个数的和是、已知两个数的和是1 1,积是,积是-2-2,则这两个数是,则这两个数是 _ 。X1+X22X1X2-34114122和和-1基基础础练练
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