加强数学思想的教学

1、加强数学思想的教学、提高数学教育的质量叶维根中学数学是整个中学基础教育的重要支柱之一，对于培养学生辨证唯物主义的世界观和方法论具有独特的作用。国内外几次重大的教育改革过程表明，数学已成为教育改革的带头学科。中学的数学教育主要是通过教师在课堂上的教和学生的学与练，师生双向互动参与而实施，在实践中我们关注；如何普遍的提高学生的基础能力，让不同的学生的各种数学需要能够充分的发展； 如何以学生为本，使学生数学的实际应用能力得到提高，创新能力得到不同程度的培养，使之成为合格的毕业生以适应21 世纪现代化社会的进步需要。解决让述问题的答案在于：我们必须进一步加强数学思想的教学。一、中学数学教育的目标面对

2、21 世纪的挑战，上海数学二期课改的目标基点的定位是：普遍提高学生的数学基础能力，充分发展学生的各种数学需要。这里说的基础能力不再是局限于通常所说的计算能力、 逻辑推理能力和空间想象能力， 而是指数学抽象能力、数学符号变换的能力和数学应用的能力。为了实现上述的教学目标，我认为在课堂教学中，教师在教基本数学知识过程中，在教授学生必备的数学概念、技能等基本知识的同时，应突出数学思想方法的传授和培养，让学生逐步形成良好的思维品质，提高数学的素养和气质，为学生的智力开发、能力发展、继续学习，全面发展创造条件，打下基础。在数学学科中，概念、法则、性质、公式、公理、定理等都属于数学知识的范围，这些知识要素

3、都有其本身内容，而这些丰富多彩的内容中的共同的、本质性的反映就是数学思想和数学方法（统称为数学思想方法）。所谓数学思想是指在现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，是在数学的发展过程中形成和发展的，它是人类对数学及其研究对象数学知识（例概念、定理、法则和范例）以及数学方法，数学理论的本质性的认识。在数学知识、 数学方法、数学思想这三者的关系中， 它们是互相联系、 相辅相成，密不可分的，但数学思想始终处于统帅地位，数学思想凝聚成数学概念、命题、原则和方法。首先数学方法是数学思想的表现形式，以数学思想的理论基础为指导实现数学思想的手段，所以我们通常把数学思想和数学

4、方法，统称为数学思想方法；其次，数学思想是寓含于具体的数学知识之中，比具体的概念具有更高的抽象和概括水平，在解决数学问题时，通过数学方法而体现，数学思想是解决数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂。所以只有真正的领悟和掌握了数学思想，才能全面、本质的去认识和驾驭数学。因此我们在数学的课堂教学中应充分地揭示数学知识、数学方法中蕴含和体现数学思想，让学生在数学学习的活动中逐步的感受到数学思想的巨大威力，进而加深对数学知识的理解，对数学的学习逐渐产生兴趣。目前有部分教师在数学教学常用“题海战术”的方法，作为提高教学质量的手段，让学生做大量的数学练习，这种用大量时间换取教学效率、用繁琐技能代表教学

5、质量的方法的结果，只能造成学生面对问题时的机械反应，而不是解决问题能力的提高。久而久之，学生对数学学习反而失去兴趣，甚至认为数学是一门枯燥乏味的学科，对数学产生厌倦情绪、失去学习信心。针对上述的情况，在二期课改中，我们数学教师应树立正确的教育理念，加强教学研究，改革陈旧的教法，聚焦课堂，努力地提高课堂教学效率，在数学教学中重视、突出数学思想方法的教学，这不但能真正的提高教学质量，同时也是减轻学生过重的学业负担方法之一。二、中学教学中常用的基本数学思想在中学数学阶段常用的基本数学思想有： 数形结合的思想、 分类讨论的思想、函数与方程的思想、化归与转化思想等 。数形结合的思想 ：数学是研究客观世界

6、的空间形式和数量关系的科学。数是形的抽象概括，形是数的直观表现。数形结合的思想就是充分运用数的严谨和形的直观将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形思维结合，通过图形的描述，代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法。例 1：已知、均为锐角，且cos2cos2cos21，DCAB求证： cos cos cos 24cD b C分 析 ： 由 c o 2s c o2 s c o 2sAaB1联想到长方体对角线的性质a 2b 2c 2l 2 ，故可构造长方体，然后由三角函数的定义来证明。证明：如图，构造长、宽、高分别为a、b、c 的长方体 BD，对角线 BD 与三度的夹角分别

7、为、，则cos22cos2a2b 2c 21cosa2b2c 2a 2b2c 2a 2b 2c 2BA 平面 ADD A， AD C 平面 ADD A， BA AD ABaa在 Rt BAD 中， cosb 2c 2AD'2ab同理 cos b， cos c，三式相乘，即得结论。2ac2ab我国著名的数学家华罗庚教授指出：数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休；就是数形结合的思想的生动写照。例 2：抛物线y22 px( p0) 与直线 ykx(k 0) 的交点个数是（A 0B 1C 2D1或 2yy2=2px分析：易知 0（ 0， 0）必为交点，一般情况下有两个

8、交点，而当 P 很大或 |k|很小时，由图知，两曲线只有一个交点（ 0，0），故选 B。错了！因为图给人错误的导向，从方程租的解来考察，易知由两个方）y=kx程组成的方程组恒有两解： （0，0）、（ 22p ， 2 p ），Oxkk从而两曲线恒有两个交点，所以正确的答案应选C。分类讨论思想 ：由于事物在不同的条件下都体现着个体差异和共同属性两个特征，共性构成事物的存在总域，而差异则可将事物的存在总域划分为若隐若现子域，并可对各个子域进行研究，因此就产生了分类讨论的思想。分类讨论时必须遵循两个原则：一是对存在总域的各个子域分类要做到“既不重复，又不遗漏” ；二是每次分类必须按同一标准进行。例 3

9、解关于 x 的不等式： (m 3) x22mxm 20 ， m R 。解：（1）当 m= 3 时，解集为 x | x5 ；6（2）当 m 3 时，=4(6 m)当 m>6 时，<0 且 m+3>0，解集为 R；当 m=6 时，=0 且 m+3>0，解集为 x | xR,且 x2 ；当 3<m<6 时，>0 且 m+3>0，解集为3 x | xm 6 m 或 xm6 m ；m3m3当 m< 3 时，>0 且 m+3<0，解集为 x |m6 mxm6 m 。m3m 3例 4四面体的顶点和各棱中点共有10 个点，在其中取 4 个不共面

10、的点，不同的取法共有（）A 155种B147 种C144 种D141 种分析：从 10 个点中任取4 个点的不同取法种数为 C104 ，减去 4 个点共面的取法种数，便得所求。取出 4 个点共面的情况可分为两类：第一类： 4个点位于四面体的同一个面，有 4 C64 种不同的取法。第二类： 4个点不在四面体的同一个面，有两种情况：（1）其中 3 个点在一条棱上，另一个点是对棱的中点，计有6 种不同的取法；（2）4 个点分别是两对相对棱的中点，这时 4 个点必为平行于另一对相对棱的平行四边形的顶点，计有3 种不同取法。综上所述，所求种数为141 种，故应选 D。需要进行分类讨论的数学题一般有以下几

11、个类型： （ 1）题中的变量需要讨论；（2）题中含有参数，需对参数的变化范围进行讨论；（ 3）题中的条件是分类给出的；（ 4）解题过程不能统一叙述，必须分类分述；（5）有关几何问题中，几何元素的形状、位置变化需要分类讨论。函数与方程的思想 ：函数的思想就是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决。如果变量间的数量关系是用解析式表示出来的，那么可以把解析式看作一个方程，通过解方程或对方程的研究，使问题得到解决，这就是方程的思想。函数与方程之间的密切相联，互相转化，所以将函数的思想与方程的思想统称为函数与方程的思想。例

12、 5已知(0, )，(0,) ， cos3cos() ，求。cos2解：由 coscos3cos()2 cos2cos32cos 2122224 cos224 coscos2102将上式看作关于 cos的一元二次方程，那么2=16 cos2216 0cos2 1cos2=122又(0,) ，(0,) ，22，20，2把代入式，得cos12323例 6设二次函数 f ( x)ax2bxc(a0)，方程 f ( x)x0 的两个根 x1、x2，满足 0x1x21 。a（1）当 x( 0, x1 ) 时，证明： x< f (x)<x 1；（2）设函数 f(x)的图象关于直线 x=x0 对

13、称，证明： x2x1 。2证明：（1）F(x)=f(x)x，因为 x1、 x2 是方程 f (x)x0 的根，所以F ( x) a( x x2 )( x x2 )当 x( 0, x1 ) 时，由于 x1<x2，得 (xx1 )( xx2 )0又 a>0，得 F(x)=a ( xx1 )( x x2 )0，即 x<f(x)x1f ( x)x1 xF ( x) x1xa( x1x)( xx2 )( x1x)1a( xx2 )又 0 xx1 x21 ，有 x1x>0， 1a(x x2 )1axax21ax20，a得 x1f ( x) 0 ，即 f ( x) x1（2）由题意知

14、， x0b2a因为 x1、x2 是方程 f ( x) x 0 的根，即 x1、x2 是方程 ax 2bxc0的根，所以 x12 b1 ，ba( x1 x2 ) 1 ax1ax21 。+x =ax02a2a2aax0<1， x0ax1x1 。2a2化归与转化的思想 ：解数学问题就是要利用所学的知识和方法去揭示新与旧之间、复杂与简单之间、抽象与具体、一般与特殊之间、非常规与常规之间的关系，通过一系列的变换，使所要解决的问题由难变易或变为已经解决过的问题，或者把某一数学分支中的问题变为另一个数学分支中的问题，以利于问题的解决，这就是化归与转化的思想。例 7在连接长方形各顶点的直线中，成异面直线

15、的共有多少对？分析：过长方形各顶点的连线共有C8228 条，在这些连线中有多少对是异面直线？如果采用分类计算的方法则十分繁杂，且易重复或易遗漏，但考虑到每对异面直线对应着长方形的四个不共面的顶点，即对应着一个三棱锥，而每个三棱锥中有 3 对异面的棱，故可以把命题等价转化为以长方形的顶点为顶点的三棱锥有多少个，从而可以很容易的知道原题答案是： (C84 12) 3 174 对。例 8定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线y2=x 上移动，记线段AB 的中点为 M ，求点 M 到 y 轴的最短距离是多少？并求此时点M 的坐标。解：如图，作抛物线的准线CD：x= 1 ，yA4CA 1若 M 到

16、 CD 的距离最近，则 M 到 y 轴也最近现将问题化归为若干几个问题来解决。过 A、B 及 M 分别引准线的垂线 AC、BD、MN ，M 1NMC、D、N 为垂足，并分别交 y 轴于 A 1、B1、 M 1，OFx根据梯形中位线及抛物线定义，若 F 为焦点，有|MN | 1(|AC | |BD |)1(| AF |BF |)1|AB|3 ，2222 DBB1所以当弦 AB 过焦点 F 时， |MN|的最小值为3 ，则点 M 到 y 轴的最短距离215 ；再根据过焦点的弦长公式l2P（ 为倾角），有|MM |=4sin 231sin 21斜率 ktg2sin 232又焦点为 F（ 1 ,0），

17、 AB 的方程为 y2 ( x1 ) ，424y 2x，可求得 M 的坐标为 ( 5 ,2 )。由2 (xy1 )4224以上是对中学数学中常用的几个数这思想所作的简单叙述和运用，应当指出：各个数学思想按思维水平程度是有层次高低之分，它们相互之间有着密切的关联，这里就不作深入的讨论。三、在课堂教学中贯彻数学思想数学思想是融合于数学知识之中，又高于数学知识的一种隐性数学知识，需要学生主动、不断的参与和实践才能逐渐的认识和理解，继而转化为学生自身认知结构中的数学知识和数学问题解决的能力，并使自身的认知结构中包含稳定、开放的成分。因此教师要从数学思想的高度研究教材，进行备课，挖掘数学知识和技能与数学

18、思想的联系，使之有机地结合起来。数学思想性高的教学设计是进行高质量教学的基本保证。1在学生数学知识形成阶段渗透数学思想在学生学习新的概念、公式、定理时，教师应及时地把观察、试验、比较、分析、概括等抽象化、模型化的数学思想渗透到师生的共同教学活动中去。基本的数学思想是有机地融合在中学数学教材的各章各节之中的。如符号与变元表示的思想、函数与方程思想、极限思想、统计思想等。只要教师能重视数学思想方法的渗透、训练，就能逐步地提高学生思维活动的质量。比如在教绝对值的概念时，教材是直接给出绝对值的描述性定义，学生往往难以透彻理解而只能生搬硬套，那么我们用已学过的“数轴”这一直观形象，来揭示“绝对值”这概念

19、的内涵，并设计相关的问题，让学生一起思考、回答，从而使学生很快地理解了这一概念，而且理解的质量高。通过教学，学生既学习了绝对值的概念，又渗透了数形结合的思想，并又为后续课程中的绝对值方程和不等式解集的学习打下了基础。数学思想是融合在教材的数学知识之中，因此教师要密切结合教材，不失时机地把握机会，一点一滴，不断地把有关数学思想“渗透”在教学中，即把抽象的数学思想逐渐的“融进”具体、实在的数学知识中，使学生对这些数学思想有初步的感知和直觉，并逐步加深对它的认识。教学中渗透数学思想，要根据不同学生的能力和要求，采用起点要低，由低到高，反复多次，小步渐进的方法，要讲究层次，不能超越学生的认识水平。2在

20、知识小结、推导和应用阶段揭示数学思想常有教师感到困惑：课堂上题目讲得不少，而学生总是停留在模仿例题的水平，题设稍一改变，则就不知所措，一直不能形成较强的数学问题解决的能力，更谈不上创新思维和能力。究其原因在于教学中教师重知识结论、基本技能，讲题目时仅仅就题论题，而轻知识形成的过程，形成了“掐两头烧中段”的局面。教学中教师要特别重视发挥学生在认识活动中的主动和能动作用，重视由此导致的从问题出发、设计以解决问题的活动为基础的数学认识过程，鼓励学生参与其中，适时的“ 引进 ”有关的数学思想，让学生真正的领悟隐含于数学问题探索中的数学思想， 知其然，并知其所以然， 逐步形成用数学思想指导思维活动的能力

21、，遇到同类问题就能胸有成竹，从容对待。有一次在学校开展的教学评课活动中，有两位教师同时上“一元二次方程式根与系数的关系”一课，在例题“已知方程x 2 2x k 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值”教学中，一位教师直接地提示用两种解法让学生们很快的得出了结果。而另一位教师设计了下列的问题： 1、这道题中有几个问题？2、若设方程的另一个根为x2，则该题就转化为求未知数 x2、k 的值。那么我们只需怎样就能解这题？3、是否还有其它的解法？通过一系列的活动让学生体会到运用化归思想对该题进行变式，达到灵活解题的目的。在这两节课中，课堂气氛活跃的程度和学生思维活动的量和质则大相庭径。3在知识复习阶段概括数学思想方法在知识复习时，特别在章节复习或总复习时，要“突出 ”有关的数学思想，即经常性地予以强调，并通过一定量的综合训练，达到灵活运用，最大限度地发挥数学思想的功能，增强学生对数学思想的应用意识，有利于学生透彻、全面理解所学的数学知识，提高分析问题、解决问题的能力。如掌握用字母代替数的方法，形成符号与变元的思想是中学数学教学的重要目标之一。有不少学生在比较a 与 a 的大小， a 与 1 a 的大小时总认为a>a，12a>a ，究其原因是学