洛必达法则泰勒定律

1、第三章 微分中值定理与导数的应用第二讲洛必达法则泰勒公式目的 1 1使学生掌握用洛必达法则求各种类型未定式极限的方法；2 2 .理解泰勒中值定理的内涵；3 3. 了解-1- - I I等函数的麦克劳林公式;4 4 学会泰勒中值定理的一些简单应用.重点 1 1 运用洛必达法则求各种类型未定式极限的方法；2 2 .使学生理解泰勒中值定理的内涵.难点 使学生深刻理解泰勒中值定理的精髓.一、洛必达法则在第一章第七节中我们曾经讨论过无穷小的比较问题，并且已经知道两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，既使它存在也不能用商的极限运算法则去求解.而由无穷大与无穷小的关系知， 无穷大之比的极限问题也是如此

2、.在数学上，通常把无穷小之比的极限Q GO和无穷大之比的极限称为未定式，并分别简记为和.由于在讨论上述未定式的极限时，不能应用商的极限运算法则，这或多或少地都会给未定式极限的讨论带来一定的困难. 今天在这里我们应用导数的理论推出一种既简便又重要的有以下定理.未定式极限的计算方法，并着重讨论当0TT-J.型未定式极限的计算，关于这种情形定理 1 1 设在点二的某去心邻域内，-11严- 二 Jtl.- - 一 J1L： - = 0在点；的某去心邻域内（或当Z 时），八）及）都存在，且吩 W W ；.In x十hm - - Jim-L=Hm丄棚 II 4起工*=0lim 例 6 6 求.八为正整数説

3、0）曲=ta解事实上，例 6 6 中的呛不是正整数而是任何正数其极限仍为零.注由例 5 5 和例 6 6 可见，当时，函数T0 0是型未定式，所以上述曲一 ；型未定式可以转化为11型未定式来计算.大，但三个函数增大的“速度”是不一样的,严(八)最快，其次是於 S),最慢0 QQ- ”_ Q心_ Q除了 U U 和型未定式外，还有11? 1 1?型的未定式这些未定式可转化0QQ为或.型的未定式来计算，下面我们通过实例来加以说明.hm x In x例 7 7 求lim = 0 bnnlnjr二-co分析因为，所以lim In z是 0 0-胆型未定式又Em In x = lim 5+M 1因为In

4、Kta ir-0+1- 是 9 型未定式,10 0L是型未定式，所以 L L 门型未定式可以转化为11或丄型未定式去计算.InIm- =lim=0分析因为lim sec x = co lim tan. - colim (sec- tan x)T, T，所以 T是型未定式又因为lim (sectan签)=3im1- sin X-lim-1-sinAlim -而一-u2r/Lv1-sinxrcosxlim lsec x - tan = lim - = lim - -= U解H- 八:.一注讨论 R 一:匚型未定式的极限，一般都是通过提取公因式或通分的方法把函数由和的lim例 9 9 求血1吋剜沖血

5、子=尹旷解. 2Lm arc tan盂(2lim x In arctan工定式来计算.由于r2111X1 | arctan x(2、Lim tin arctan x = Limlim2In arctan x*1 + x3larctaii x広Jf形式转化为商然后再去讨论.是 L 个幕指函数求极限的问题，lim h所以- 是0型未定式.又因为liiii炖+limx In zn而是0=1型未定式可以转化为0 QQ或丄型未定式来计算.lim例 1010 求(2、arc tanAi怎分析由于L,2 1urn一arctan工=1阮x_r2lim arctan x，所以型未定是-型未定式，所以上述型未定式

6、可以转化为或宀型未_lim = e = 1Q 0、03 CO0, 0二T T= =o oQ =一=7-0000或0w0 .二严=严用、（或）；00r ；丿一/所以1门 hm I arctan xJ分析例 1111lim x = 4-HDlmi = Lx1lim疋0，所以宀 是一个型未定式又因为- 曲如11lini = eA_i+算 T甩hm In h，而* 是型未定式,所以上述亠型未定式可以转化为或心型未定式来计算.由于lim In x = hm=tal=0X今j-盟 T+ob玄所以型未定式向0 0Q或亠型未定式的转化可形式地表示为:- -& & （或）；0 0 血_,丿匸_宾

7、（AJS（或“ ）最后我们指出，洛必达法则是求未定式极限的一种方法.当定理的条件满足时，所求的极限当然存在（或为兀），但当定理的条件不满足时，所求极限不一定不存在也就是说，当F 陀）不存在时（无穷大的情况除外），宀 仍可能存在，见下面的例题.例 1212 求解这是一个丄型未定式，我们有=lim -_p = lini-由于上式右端极限不存在，所以未定式-的极限不能用洛必达法则去求，但不能据限.=1+0=1由此可见极限“是存在的.二、泰勒公式把一个复杂的问题转化为一个简单的问题去研究是我们研究复杂问题时经常采用的方法，那么对于一个复杂的函数， 为了便于研究，我们也希望用一些简单的函数来近似表达.说

8、到简单函数，我们想到了用多项式表示的函数，它的运算非常简单.那么是否任意一个函数都可以用多项式去近似表达呢？关于这个问题我们曾经在微分近似计算中讨论过设函数了在点的某个邻域内可导，且（心）工，则在该邻域内y M/ （兀J+/ b-心）从去近似地表达,自然要求耳在况处的函数值及它的直到艸阶的导数在处的值依次与丄， 八1相等，即PA）= /M戌）二小）用上述 的一次多项式去近似表达函数 -r,存在两点不足：（1 1）精确度不高， 它所产生的误差仅是比一1-高阶的无穷小;（2 2） 用它做近似计算时，不能具体估算出误差大小.因此，在一些精度要求较高且要求估计误差的问题中,上述近似表达是满足不了要求的

9、.这时我们就想，是否可以找到一个关于【一-的更高次多项式去近似地表达函数，丿，从而使误差变得更小呢？这就是下面我们要解决的问题.设函数在含有勺的某个开区间 内具有直到-阶的导数，并设用于近似表达函数-的多项式为戸兀）=嗚+昭（戈一张）4心（工一奄亍+(1)(1)既然我们要用这样我们就得到了如下卫+i+i 个等式丿.21幻二广山）.恥严严?55?丿.将所求得的多项式J J 的系数，心，”X 代入式，得F F 面的泰勒（T T ayloraylor）中值定理告诉我们，多项式（2 2）就是我们要找的多项式，并且用它去近似表达函数 f f（x x）, ,其误差的确变小了.这里二是在二与卞之间的某个值.

10、由式和式知 ,现在只要证明即可.证 由假设知，“J在内具有直到人：阶的导数，且尽（瑪）=氏;（心）= /（*）=戏（砧=0函数与 I I ）在以门及疋为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，故有o o-光产乔云严”伍*1*1）点_窃 r r 冷介于坯与疋之间）. .同样，函数；：与1,：在以及为端点的区间上也满足柯西中值定理的条件，故有理，如此做下去，经过-次应用柯西中值定理后，得其中泰勒中值定理若函数 f f（x x）在含有 x x: :的某个开区间（a,ba,b）内具有直到（n n+1+1）阶的导数,f(x)=f(x)=0+谄-心y.兄（幕-尺比）_必迄）（律+i+i 左 1 1 -盹 o

11、o应+U成虽-心广（生介于巧与疡之间）继续对函数在以及二为端点的区间上应用柯西中值定与.丨门匸 I I7 7在不需要余项的精确表达式时,阶泰勒公式也可写成、）户介于尤与翥之间，因而也在与疋之间）.定理证毕.泰勒中值定理告诉我们，以多项式近似表达函数了时，其误差为 尽.如果对某个固定的.，当-时，1，则有误差估计式上述结果表明，多项式 1-的次数月越大，越小，用J J J J泰勒公式不仅在近似计算中有着广泛的应用，而且它在级数理论和数值计算中也起着重要的作用，同学们一定要深刻地理解它.到此我们所提出的问题就解决了.多项式（2 2）称为函数-按一 -1-的幕展开的咛次泰勒多项式，公式称为按的幕展开

12、的带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式,而 的表达式（4 4）称为拉格朗日型余项.当一 时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式.1：|门f f；一 .（:介于门与卞之间）.因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.由此可见，当时，误差氏是比匕心）高阶的无穷小，即的误差就越小，是比匕_心）高阶的无穷小，并且误差是可估计的. .( (6) )忌的表达式 称为佩亚诺(Peano)(Peano)型余项，公式 称为)按心丿的幕展开的带 有佩亚诺型余项的阶泰勒公式.在泰勒公式 中，如果取门二，则：在 o o 与T之间.因此可令-1，J/-,从而泰勒公式变成简单的形式，即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林在泰勒公式(6

13、)(6)中，若取 S，则带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式为由(7)和(8)(8)可得近似公式y(x)? + !)!(0 6 -,便得F = 1 + X + + *12由这个公式可知，若把J用它的T次泰勒多项式近似地表达为r 1F7?总対 1 斗*+-+ * +2!和?则所产生的误差为31W十1）1仏十1）卩（g1）如果取工二:，则无理数扌的近似式为宀肓十阿/网（0打1）p R 1-F 1十+其误差园7- r ；，按公式（7 7）得上三个近似多项式及正弦函数的图形见图4 4.由图 4 4 可见，当卞 时，近似多项式的次数越高，其向函数-逼近的速度就越 快，这就是泰勒公式的精髓.类似地，我们还可以求

14、出函数 +和的带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式:11|, 异斓淖1-刁*+硏川-+卜以顾+舄斑应其中其中sin = x- +-f-1）7-+盘漓（云）如果如果取这时误差广_心低+坎+1脸如2In(l + xj=X- J?+ X3- f 1J1*1才 + 呂23n口_1)(工一挖+1)9计弘严 +1)1k(_0由以上带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式，可很容易的得到相应地带有佩亚诺型余项 的麦克劳林公式，请同学们课后自己写出来.以上这些常见函数的麦克劳林公式要求同学们一定要熟记，以便在今后使用时方便.分析利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式求极限，就是把极限中所涉及到的不是关于“的多项式的函数，都用麦克劳林公式来表示，然后求其极限.在利用麦克劳林公式计算极限时，自变量77的变化过程一定得是趋于零，否则保证不了麦克劳林公式对原始函数的良好近似.和 kr分别用带有佩亚诺型余项的三阶麦克劳林公式表示即可，其中其中其中(-irKtl2_ 1) * *吃十例 3 3 利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限rSillA-JfCOS AInn - -sinfx在本问题中，由于分式的分母;-二-，因此我们只需要将分子中的Axcos x-x- z21 I为什么丄