人教A版选修2-1圆锥曲线复习讲义

1、 选修2-1圆锥曲线复习讲义一、圆锥曲线的相关概念1椭圆（1）椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹。注意：表示椭圆；表示线段；没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：2、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹注意：与（）表示双曲线的一支。表示两条射线；没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：（3）双曲线的渐近线：求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得，因式分解得到。与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；（4）等轴双曲线为，其离心率为3 抛物线：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离等于到一条定直

2、线的距离点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：二 轨迹方程的求法：1直接法：步骤： （1）建系设点；（2）写出集合；（3）写出关系式；（4）化简；（5）验证（一般可考虑的取值范围）例如：已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值. 试求动点P的轨迹方程C.2待定系数法：略3相关点法（代人法）例如：已知F是抛物线yx2的焦点，P是抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是什么？三 定义的应用1方程表示椭圆，则k的取值范围是 . 2椭圆和双曲线的公共焦点为是两曲线的一个交点, 那么的值是_。3 过抛物线焦点F的弦长6，则弦所在的直线方程是_。

3、4抛物线焦点为F，点P是抛物线上的动点，对于定点A（4,2），则的最小值_，取最小值时P的坐标_。5 已知A（-1,0），B是圆（F为圆心）上的动点，线段AB的中垂线交BF于P则动点P的轨迹方程是_。6.P是椭圆上的一点， ，则_。7.已知双曲线的左右焦点分别为，P为上面一点，且，则_。8 如图，中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，D是右顶点，A，B是两焦点，则离心率e=_。四、直线与圆锥曲线的位置关系：1公共点问题：例1：当k分别取何值时，直线y=kx+1与曲线有一个公共点，两个公共点，没有公共点？2. 弦长问题：基本思想是联立方程组消去一个未知数注意弦长公式：（一般弦长）|AB|=|x1x2|

4、y1y2|(k0)=（抛物线过焦点弦长）：例2：如图，为抛物线的焦点，为抛物线内一定点，为抛物线上一动点，且的最小值为8. （1）求该抛物线方程； （2）如果过的直线交抛物线于、两点， 且，求直线倾斜角的取值范围. 3. 中点与斜率问题（点差法）例3：已知抛物线，过点P（4,1）引一条弦AB，使得它恰好被点P平分求这条弦所在的直线方程及变式：椭圆与直线xy10相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB2，OC的斜率为，求椭圆的方程4.三角形问题：例4：已知椭圆1(ab0)右顶点与右焦点的距离为1，短轴长为2.(1)求椭圆的方程；(2)过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积

5、为，求直线AB的方程变式： 椭圆左右焦点分别为A，B直线过点A与椭圆相交于C,D两点（1）求的周长；（2）若直线的倾斜角为45，求的面积5定值问题例5：如图,过抛物线y2=2px(p0)上一定点P(x0,y0)(y00),作两条直线分别交抛物线于A(x1，y1),B(x2，y2).且PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,求证：直线AB的斜率是非零常数.6：综合问题 例6 已知椭圆1(ab0)经过点A(2,1)，离心率为，过点B(3,0)的直线l与椭圆交于不同的两点M，N.(1)求椭圆的方程；(2)求的取值范围 圆锥曲线部分答案1-16k24且k 2. ；3. ；4. 5，（1,2）；5.；6. ；

6、7.；8.例1解：联立方程组，消去y得：分两种情况（1）此时直线与渐近线平行，相交，有一个公共点；（2），此时，相交，两个公共点，相切，一个公共点相离，没有公共点。综上所述：当时直线和双曲线有一个公共点（注意一个公共点的情形包括相交和相切两种情况）；当有两个公共点；当没有公共点。例 2解答：（1）设点到抛物线的准线：的距离为，由抛物线的定义知，抛物线的方程为.（2）由（1）得，设直线的方程为，显然，。把直线方程代入抛物线，得， , 即,直线斜率的取值范围为,所以，直线倾斜角的取值范围为.变式：P是椭圆上的一点，。（1）求椭圆的离心率取值范围；（2）当离心率最小时y=x-c被椭圆截得弦长为，求椭

7、圆方程。例3 ，；例4 解答(1)由题意，解得a，c1.即椭圆方程为1.(2)当直线AB与x轴垂直时，|AB|，此时SAOB不符合题意，故舍掉；当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：yk(x1)，代入消去y得：(23k2)x26k2x(3k26)0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，所以|AB|. 原点到直线的AB距离d，所以三角形的面积S|AB|d. 由Sk22k，所以直线lAB：xy0或 lAB：xy0.例5解析: 设直线AB的斜率为kAB, 由,相减得, 所以.将代入得,所以kAB是非零常数.例6 规范解答(1)由离心率为，可设ct，a2t，则bt.因为1(ab0)经过点A(2,1)，所以1，解得t2，所以a26，b23，椭圆方程为1.(2)由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x3)，直线l与椭圆的交点坐标为M(x1，y1)，N(x2，y2)，由，消元整理得，(12k2)x212k2x18k260