实验十三 二项分布的计算与中心极限定

1、实验十三 二项分布的计算与中心极限定实验目的1. 研究用Poisson逼近与正态逼近进行二项分布近似计算的条件2. 检验中心极限定理§1 引言二项分布在概率论中占有很重要的地位。N次Bernoulli实验中正好出现K次成功的概率有下式给出,k=0,1,2,.n.二项分布的值有现成的表可查，这种表对不同的n及p给出了b(k;n.p)的数值。在实际应用中。通常可用二项的Poisson逼近与正态逼近来进行二项分布的近似计算。在本实验中，我们来具体地研究在什么条件下，可用Poisson逼近与正态逼近来进行二项分布的近似计算。 在概率论中，中心极限定理是一个很重要的内容，在本实验中，我们用随即

2、模拟的方法来检验一个重要的中心极限定理Liderberg-Levi中心极限定理。 §2 实验内容与练习1 1二项分布的Poisson逼近用Mathematica软件可以比较方便地求出二项分布的数值。例如n=20;p=0,1;TableBinomialn,k*pk*(1-p)(n-k),k,0,20给出了b(k;20,0.1)(k=0,1,2,.,20)的值。联系1 用Mathematica软件给出了b(k;20,0.1),b(k;20,0.3)与b (k;20,0.5)(k=0,1,2,.,20)的值。LISTpOLTtableBinomi al20,k*0.1k*0.9(20-k)

3、,k,0,20,PlotJoined->True 图13.1 b(k;20,0.1) (k=1,1,2,20)的散点图练习2绘出b(l;20,0.3)与b(k;20,0.5)(k=0,1,2,20)的散点图根据下面的定理，二项分布可用Poisson分布来进行近似计算。定理13。1 在Bernoulli实验中，以Pn 代表事件A在试验中出现的概率，它与试验总数有关.如果npn，则当n时，。由定理13，1在n很大，p很小，而=np大小适中时，有练习3 用Poisson逼近给出b(k;100,0.01)(k=0,1,2,.,100)与b(k;1000,0.001)(k=0,1,2,1000)的

4、近似值，并与它们的精确值比较，表13，1二项分布的Poisson逼近kB1(k)B2(k)P(k)R1(k)R2(k)03.6603210-13.6769510-13.6787910-11.8510-31.8410-413.6973010-13.6806310-13.6787910-11.8510-31.8410-421.8486510-11.8403210-11.8349010-19.2510-49.2010-536.0999210-26.1282510-26.1316210-23.1410-43.0710-541.4941710-21.5290010-21.5328310-23.8710-

5、43.8310-552.8977910-33.0488110-33.0656610-31.6810-41.6910-564.6345110-45.0610010-45.1094410-44.7510-54.8410-676.2863510-57.1938110-57.2992010-51.0110-51.0510-687.3816910-68.9382610-69.1239910-61.7410-61.8610-797.6219510-79.8618110-71.0137810-62.5210-72.7610-8107.0060410-89.7828410-81.0137810-73.1310

6、-83.5510-910)（表中即位b1(k)与b(k;1000,0.001)(k=0,1,2,.10)（记为b2(k)的Poisson逼近的近似值记为p9k）与它们的精确值的比较，其中r1(k)=/b1(k)-p9k）/,r2(k)=/b2(k)-p(k)/从表13。1可以看出，用Poisson分布来计算b(k;1000,0.001)比b(k;100,0.01)的效果好得多，我们可以画出它们的散点图（图13。2）来观察近似计算的效果，下面的程序给出了b(k;20,0.1)的近似计算的精确值的比较图13。2b(k;20,0.1)的Poisson近似计算的精确值的比较练习4绘出b(k;100,0

7、.01)与b(k;1000,0.001)的近似计算与精确计算的散点图。那么n,p,。到底取何值时，我们可以用Poisson分布来近似计算二项分布的值呢？我们可以用误差来作为衡量标准评价缉私的效果若n与p给定，则b(k;n,p)与其Piosson逼近的误差是的k函数；根据上式可以定义二项分布的Poisson逼近的误差定义13。2若n,p给定，我们定义二项分布b(k;n,p)(k=0,1,p)的Poisson逼近的误差为；差通过简单的程序运算我们可以求得；p100,0.01=1.85*10-3 p1000,0.001=1.84*10-4练习5通过编程求出在n=10,100,1000与10000,=

8、0.1,1与10时，二项分布的Poisson逼近的误差，填入表13，2； 表13。2二项分布的Poisson逼近的误差表n0.11.010.0101001.8510-310001.8410-410000你能从中发现什么规律那？在一定条件下我们可以认为，若绝对误差p<=10-3，则可以接受近似计算结果在=1时，若n=100,p=0.01，则p100,0.01=1.85 10-3>10-3，不能接受计算结果，即此时不能用Poisson逼近来缉私计算二项分布的值，若n=1000,p=0.001，则p1000,0.001=1.84 10-4<10-3，此时可用Poisson逼近来缉私

9、计算二项分布的值，对=1，我们可以用编程求出n=2,3,.1000的对应的Poisson二项分布的逼近的误差，图13。3就是误差的散点图。在=1时，要使绝对误差p>=10-3，必须n>=185练习6在=0.1,0.5,2.0,5.0,10.0时，n取何值，可使绝对误差p<=10-3？ 图13。3Poisson逼近的误差(=1)练习7 若误差标准该为p<=10-4或其它的数据，研究上面对应的问题，练习8 对于n,p,到底取何值时，可以用Poisson分布 来近似计算二项分布的值，你有什么结论？ 22 二项分布的正态逼近21节中讨论了用Poisson逼近来近似计算二项分布的

10、问题。在实际应用中，我们还可以用正态逼近来近似计算二项分布。计算的根据是局部极限定理，在n->时，有 Cnkpkqk图13.4b(k;20,0.1)的正态逼近近似计算与精确的比较图13。4是b(k;20,0.1)的正态逼近的近似值与精确的比较的散点图 。图 13。5用另一种方式更直观地显示出逼近的效果。 图13。5中，阶梯函数给出概率Cnkpkqn-k,而曲线则给出对应的正态分布密度函数。其Mathematica程序如下：由于n的取值比较小，我们可以看出，近似的效果不是很好。练习9 用正态逼近给出b(k;100,0.01)(k=0,1,2,100)与b(k;1000,0.001) (k=

11、0,1,2,1000)的近似值，与它们的精确值作比较。做出近似计算与精确计算的散点图。练习10 做出b(k;100,0.01)与b(k;1000,0.001)的阶梯函数与对应的正态分布密度函=数曲线，观察其效果。 若n与p给定，我们也可以定义二项分布b(k;n,p) (k=0,1,2,n)的正态逼近的误差为： Nn,p=maxNn,p(k)=max|Cnkpkqn-k-(1/) (1/) exp(-(1/2)(k-np)/2)是、式中q=1-p.练习11 若分别取0.1,0.5,1.0,2.0,5.0,10.0,n取何值时，可使绝对误差N<=10-3？练习12 n ,p取何值时，可以用正

12、态逼近来近似计算二项分布的值。练习13 比较二项分布的Poisson逼近与正态逼近的优劣。23 中心极限定理的验证1 正态分布的假设检验在实际应用中，有许多随机数据都可以看作来自于正态分布。那么，如何检验一批数据是否来自于正态分布呢？ 按照国家标准，我们采用D检验来判断随机数据的正态性。下面通过一个例子介绍D检验的过程。例 下面是某种刀具生产的合格零件个数（已用Mathematica语句的形式给出），判断它们是否满足正态分布： t=459,362,624,509,584,433,748,815,505,612,452,434,982,640,742,565,706,593,680,926,65

13、3,164487,734,608,428,1153,593,844,527,552,513,781,474,388,824,538,862,659,775,859,755,649,697,515,628,954,771,609,402,960,885,610,292,837,473,677,358,638,699,634,555,570,84,416,606,1062,484,120,447,654,564,339,280,246,687,539,790,581,62,724,531,512,577,496,468,499,544,645,764,558,378,765,666,763,217

14、,715,310,851,解 （1）将100个数据按非减次序排列： X(1)<=X( 2)=<=X( 100) (2)计算统计量（其中n=100,X是数据样本的均值）： (3)计算统计量； Y= （4）给定检验水平 =0.05,查表得临界值Z/2,; =-2.54及Z1-/2 =1.31. (5)若 Z/2<Y<Z1-/2. ,则接受正态分布假设，否则拒绝正态分布假设。经计算得Y=-1.2933,显然-2 .54<-1.2933<1.31,接受正态分布假设.D检验的Mathematica程序如下:Fata1:=Modulez1=-0.54,z2=1.31,d

15、ada=Sortdada1,N=Lengthdada;Mean=Sumdadak,k,1,n/n;D1=Sum(k-(n+1)/2)*dadak,k,1,n;D2=(Sqrtn)SqrtSum(dadak-mean)2,k,1,n;D=d1/d1;Y=Sqrtn*(d-0.28209479)/0.02998598;Result=Ifz1<y<z2,1,0;Returnresult;Ft运行该程序(运行程序前已将题给数据t输入)，得ft的结果为1，表示通过正态检验。当然，我们可将程序中Ifz1<y<z2，1,0语句改为Ifz1<y<z2,Print“succe

16、ed”,Print“fail”来输入是否通过检验的信息。D检验的几个常用的临界值见表13.3表13.3 D检验的临界值表/n0.0050.0250.050.950.9750.995100-3.57 -2.54-2.071.141.311.59200-3.30-2.39-1.961.291.501.85500-3.04-2.24-2.851.421.672.111000-2.91-2.16-1.791.491.752.25练习14 用Mathmatica软件产生2000个标准正态分布的伪随机数（参见实验十二），用D检验的方法检验其正态性。2中心极限定理的检验下面我们来研究一个重要的中心极限定理。

17、定理13.3(Liderberg_Levi) 设1,2,n,是一串相互独立相同分布的随机变量,且. Ei=m, D=2,对于标准化随机变量之和n=1/（i-m），在02时，有LimPn<x=1/2e-t2/2dt.我们先讨论相互独立的随机变量i（每个i服从二项分布b（k；20，0.1）(I=1,2,)之和的极限情况。已知Ei=m=2，Di=2=1.8,考虑标准化随机变量之和 n=1/(i-m). 对于固定的n,我们每次Mathematica软件模拟100个分布n的随机数,然后D用检验来判定其是否能通过正态分布检验.重复一定的次数,观测其能通过正态分布检验的比率.在下面的程序中,我们取n=

18、30(程序中的number)<<StatisticsDisstributionsrndn_,p_:=RandomBionmialDistributionn,p;Cleark,c,a;Whole=25;number=30;s=0,c=0;Nn=20;pp=0.1;nu=nn*pp;sigma=Sqrtnn*(1-pp);Forj=1,j<=whole,j+,A=;ForI=1,I<=100,I+,s=(Sumrndnn,pp-nu,k,l,number);A=Appenda,s/(sigma*Sqrtnumber);C=c+fa;Pritc下面就是程序运行20 次得到的结

19、果:24,25,23,23,21,24,25,23,24,24,24,24,24,23,24,23,25,23,22,25.可见其结果比较稳定,通过正态分布检验的比率为473/500=94.6%.练习15 通过其他计算机模拟求出，对分布n=b（k；20，0。1），n取何值时，可使其在检验水平=0。05条件下，以95%的概率通过正态分布的检验。若取按水平=0。01，结果又如何？练习16 选取其他的二项分布，研究上述问题。练习17 对于Poisson分布，选取适当的研究上述问题。设1，2，n,是相互独立,均服从0,1均匀分布的随机 变量,这是定理13.3的条件得到满足,故1+2+n渐近于正态变量.

20、我们可以选取适当的n,由0,1均匀分布随机数来产生正态 分布随机 数.那么n取多少比较合适呢?练习18 分别取 正态分布D检验的检验水平=0.05,研究n=6,8,10,12,14时相互独立的0,1均匀分布的随机 变量之和1+2+n通过正态 分布检验的概率.在实际应用中,取 n=12,用来产生标准正态 分布随机 数,这种方法的效果任何呢?练习 19 对于n=12,分别在检验水平=0.01,=0.05,=0.1情况下研究上述问题.3 本实验涉及的Mathematica软件语句说明 1. Sortdata1将集合data1按从小到大的顺序重排.2. GraphicsGraylever0.5,Rec

21、tanglek-0.5,0,k+0.5,tabk+1二维图形元素,表示一个矩形,其 灰度值为0.5,对教形顶点分别为k-0.5,0与k+0.5,tabk+1.3. ListPlott2,PlotJoined->True,PlotStyle->Graylever0.1,Dashing0.02,Thickness0.01,PlotRange->0,20,0,0.3;上述语句中PlotStyle的三个选项的含义:(1) Graylever0.5图形的灰度值为0.5.(2) Dashing0.02图形为虚线,其中虚线长度为0.02.(3) Thickness0.01图形为粗线,线的宽

22、度值为0.01. D=(3)计算统计量； Y= （4）给定检验水平 =0.05,查表得临界值Z/2,; =-2.54及Z1-/2 =1.31. (5)若 Z/2<Y<Z1-/2. ,则接受正态分布假设，否则拒绝正态分布假设。经计算得Y=-1.2933,显然-2 .54<-1.2933<1.31,接受正态分布假设.D检验的Mathematica程序如下:Fata1:=Modulez1=-0.54,z2=1.31,dada=Sortdada1,N=Lengthdada;Mean=Sumdadak,k,1,n/n;D1=Sum(k-(n+1)/2)*dadak,k,1,n;D

23、2=(Sqrtn)SqrtSum(dadak-mean)2,k,1,n;D=d1/d1;Y=Sqrtn*(d-0.28209479)/0.02998598;Result=Ifz1<y<z2,1,0;Returnresult;Ft运行该程序(运行程序前已将题给数据t输入)，得ft的结果为1，表示通过正态检验。当然，我们可将程序中Ifz1<y<z2，1,0语句改为Ifz1<y<z2,Print“succeed”,Print“fail”来输入是否通过检验的信息。D检验的几个常用的临界值见表13.3表13.3 D检验的临界值表/n0.0050.0250.050.95

24、0.9750.995100-3.57 -2.54-2.071.141.311.59200-3.30-2.39-1.961.291.501.85500-3.04-2.24-2.851.421.672.111000-2.91-2.16-1.791.491.752.25练习14 用Mathmatica软件产生2000个标准正态分布的伪随机数（参见实验十二），用D检验的方法检验其正态性。2中心极限定理的检验下面我们来研究一个重要的中心极限定理。定理13.3(Liderberg_Levi) 设1,2,n,是一串相互独立相同分布的随机变量,且. Ei=m, D=2,对于标准化随机变量之和n=1/（i-m）

25、，在02时，有LimPn<x=1/2e-t2/2dt.我们先讨论相互独立的随机变量i（每个i服从二项分布b（k；20，0.1）(I=1,2,)之和的极限情况。已知Ei=m=2，Di=2=1.8,考虑标准化随机变量之和 n=1/(i-m). 对于固定的n,我们每次Mathematica软件模拟100个分布n的随机数,然后D用检验来判定其是否能通过正态分布检验.重复一定的次数,观测其能通过正态分布检验的比率.在下面的程序中,我们取n=30(程序中的number)<<StatisticsDisstributionsrndn_,p_:=RandomBionmialDistributionn,p;Cleark,c,a;Whole=25;number=30;s=0,c=0;Nn=20;pp=0.1;nu=nn*pp;sigma=Sqrtnn*(1-pp);Forj=1,j<=whole,j+,A=;ForI=1,I<=100,I+,s=(Sumrndnn,pp-nu,k,l,number);A=Appenda,s/(sigma*Sqrtnumber);C=c+fa;Pritc下面就是程序运行20 次得到的结果:24,25,23,23,21,24,25,23,24,24,24,24,24,23,