威布尔分布三参数置信限估计及分布类型检验

1、 1993212227收到 , 1995206215收到修改稿威布尔分布三参数置信限估计及分布类型检验徐自力姜兴渭(哈尔滨工业大学 , 哈尔滨 , 150001THE EST I M AT I ON OF CONF I D ENCE L I M IT OF W E IBULL THREE PARA M ETERD ISTR IBUT I ON AND EXA M INAT I ON OF D ISTR IBUT I ON T Y PEXu Zili , J iang X ingw ei(H arbin Institute of T echno logy , arbin 150001摘要 布检验

2、判别式 , 。 V 14, V 21517Abstract A calculati on fo r m ula of po int esti m ati on fo r W eibull th ree param eter distributi on is given . Based on the analysis p rinci p le of significance of linear regressi on , the exam inati on crite 2ri on of W eibull distributi on is derived . A fter studying th

3、e W eibull th ree param eter distributi on law , a m athem atical exp ressi on to deter m ine param eters confidence li m it is deduced . Key words W eibull distributi on exam inati on of distributi on confidence li m it威布尔分布函数 13为F (t =1-exp -(t -r m t 0(1式中 :t 0为尺度参数 ; r 为位置参数 ; m 为形状参数 。 分布类型检验及三

4、参数置信限估计 很少有人研究 。 为此 , 本文对文献 1的相关系数优化法作了进一步简化和改进 ; 利用线性回 归显著性分析得到了威布尔分布检验判别式 ; 在分析了各参数分布规律后 , 给出了各参数置 信限的数学表达式 。 本法便于编程及工程应用 。 1三参数点估计对式 (1 变形并取两次自然对数ln ln1-F (t =m ln (t -r -ln t 0(2 令 ln ln1-F (t =Y ; ln (t -r =X(3 -ln t 0=A ; m =B(4 则式 (2 可写成Y =A +B X(5根据已知试验数据 t 1 t 2 t n , 可计算得到 n 组数据 (X i , Y i

5、 , i =1, 2, , n , 利用文献 2线性回归法确定出待定参数 A , B 如下A =Y -B X(6 第 17卷第 4期 1996年 7月 航空学报 A CTA A ERONAU T I CA ET A STRONAU T I CA S I N I CA V o l . 17N o. 4July 1996 B =cov (X , Y D (X (7式中 :X 为 X i 的均值 ; Y 为 Y i 的均值 ; cov (X , Y 为随机变量 X , Y 的协方差 ; D (X 为随机变量 X 的方差 。根据文献 2随机变量 X , Y 的相关系数为 =cov (X , Y D X

6、 D Y (8 式中 :D (Y 为随机变量 Y 的方差 。由上可知 A , B , 都是 r 的函数 。 由威布尔分布函数定义知 , r 应该使随机变量 X , Y 完 全成线性即相关系数等于 1, 事实上数据存在分散性 , r 应是 X 和 Y , 写成数学表达式为d r (9 亦即 2d 2D (10 r 值 , 具体显式化和解的步骤在此不再赘述 。r 后 , 可用式 (6 、 式 (7 求出 A , B 的估计值 A , B ; 再用式 (4 可得到形状 参数 m 的估计值 m 和尺度参数 t 0估计值 t 0。 2威布尔分布检验大多数试验数据只能近似服从威布尔分布 , 那么在什么情况

7、下认为数据服从威布尔分 布 , 是下面研究的内容 。(1 B 的分布规律上节所用线性回归法原理基于这样假设 2Y =A +B X +; N (0, 2(11 由式 (7 知 B 的一个估计量为B = nj =1C jYj(12由于 Y 1, Y 2, , Y n 是相互独立的正态随机变量 , 从式 (12 可知 B 也服从正态分布 。 可以计 算出 B 的均值为 B , B 的方差为 2 ni =1(Xi-X 2。 (2 A 的分布规律由式 (6 知 A 的一个估计值为 A =n n i =1Y i -B n n i =1Xi(14由上式知 A 为正态随机变量的线性组合 , 即 A 也是正态随

8、机变量 , 可求出其均值为 A ,方差为 n2+ n i =1X 2i 2n 2 ni =1(X i -X 2。 (3 2估计及分布考察 Y i 和回归值 Yi 的离差平方差和 SSD SSD = ni =1(Y i -Y i 2= n i =1(Y i -Y 2-B ni =1(X i -X 2(15SSD 的均值为E (SSD =(n -2 2(16表明 SSD(n -2 是 2的无偏估计 , 记为 2=SSD (n -2 =n -2 ni =1(Yi-Yi 2874航空学报 第 17卷 通过研究 , 知变量 Y i -Y i i =1, 2, , n , 仅有 n -2个是独立的 。 因

9、此 2的自由度为 n -2, 所 以得到22X 2(n -2 (17 还可证明 B 和 2相互独立 。 (4 分布检验判别式如果试验数据在显著性水平 下服从威布尔分布 , X , Y 回归效果是显著的 , 否则回归效果不显著 。 根据 B 和 2分布规律及 B 和 2相互独立得 B -B ni =1(Xi-X(n -2 (18如果2ni =i 2(n -2 (19下 , , 即在显著性水平 下 , 数据服从威布尔分布 。 3分布参数置信限(1 t 0(尺度参数 区间估计 A 服从正态分布 , 容易得到下式D (A t (n -1 故给定置信度 100(1- 的置信区间为 exp -A -t (

10、n -1 D (A n 2, exp -A +t (n -1 D (A n 2(20 (2 m (形状参数 的区间估计由式 (18 可得 B 的 100(1- 置信区间为 B 2(n -2 ni =1(X i -X 2(214应用举例某种型号 8台汽轮机投入运行后 , 第 14压力级叶片和轮缘均发生断裂损坏 , 其中 7台机组 首次失效时间依次为 8479, 11958, 16521, 21739, 23911, 27000, 30008h 。相应失效率用中位近似秩公式为F (t i =(i -013 (n +014 根据本文公式编制程序计算出在显著水平 012下数据符合威布尔分布 。 计算出各参数点估计值为 m =11626, t 0=8614226, r =423915形状参数 m 的 80 置信限为 (11198, 21054 , 尺寸参数 t 0的 80 置信限为