应用统计学因子分析与主成分分析案例解析+SPSS操作分析

1、因子分析与主成分分析学号：2010209583 姓名：钱志雷 专业：信息管理与信息系统 班级：四班 一、 问题概述现希望对30个省市自治区经济发展基本情况的八项指标进行分析。具体采用的指标只有：GDP 、居民消费水平、固定资产投资、职工平均工资、货物周转量、居民消费价格指数、商品零售价格指数、工业总产值。这是一个综合分析问题，八项指标较多，用主成分分析法进行综合。 二、 数据由于样本数比较多，这里不再给出，可参见factor1.sav 文件 三、数据处理与分析 1. 因子分析打开数据后，在SPSS 中进行因子分析的步骤如下： 选择“分析-降维-因子分析”，在弹出的对话框里 （1）描述-系数、K

2、MO 与Bartlett 的球形度检验 （2）抽取-碎石图、未旋转的因子解 （3）旋转-最大方差法、旋转解、载荷图（4）得分-保存为变量、显示因子得分系数矩阵 （5）选项-按大小排序 点击确定得到如下各图：图3-1图3-2KMO 和 Bartlett 的检验取样足够度的 Kaiser-Meyer-Olkin 度量。 Bartlett 的球形度检验近似卡方 df Sig.相关矩阵GDP 固定资产投资职工平均工资 货物周转量 居民消费价格指数商品价格指数工业总产值相关GDP居民消费水平 固定资产投资 职工平均工资 货物周转量 居民消费价格指数 商品价格指数 工业总产值 图3-9 （2）因子模型中各

3、统计量的意义 A）因子载荷：因子载荷为第i 个变量在第j 个因子上的载荷，实际上就 是与的相关系数，表示变量依赖因子的程度，反应了第i 个变量对于第j 个因子的重要性。B ）变量的变量共同度：k 个公因子对第i 个变量方差的贡献，也称为公因子方差比，记为，公式为：=（j=1,2,.,k ） 表示全部公因子对变量的总方差所做出的贡献，也即是变量的信息能够被k 个公因子所描述的程度。C ）公因子的方差贡献率：在因子载荷矩阵A 中，各列元素的平方和记为，表示第j 个公因子对于X 所提供方差的总和，它是衡量公因子相对重要性的指标。方差贡献率越大，表明公因子对X 的贡献越大。 （3）基本分析结果A ）K

4、MO 和球形Bartlett 检验用于因子分析的适用性检验。KMO 检验变量间的偏相关是否较小，Bartlett 球形检验是判断相关矩阵是否是单位阵，参见图3-2。由Bartlett 检验可以看出，应拒绝个变量独立的假设，即变量间具有较强的相关性，但是KMO 的统计量为0.620，小于0.7，说明个变量间信息的重叠程度可能不是特别的高，有可能做出的因子分析模型不是很完善，但还是值得尝试的。B ）变量共同度Communalities 是表示各变量中所含原始信息能被提取的公因子所表示的程度，由图3-3所示的变量共同度可知：几乎所有变量的共同度都在80%以上，因此提取出的这几个公因子对各变量的解释能

5、力是较强的。C ）碎石图用于显示各因子的重要程度，横轴为因子序号，纵轴表示特征根大小，从中可以非常直观的了解到哪些是最主要的因子，参见图3-5。本例中可见前三个因子的散点位于陡坡之上，而后五个因子散点成了平台，且特征根均小于1，因此至多考虑前三个公因子即可。D） 图3-4给出的是各成分的方差贡献率和累计贡献率， 以及进行因子旋转后 的方差贡献率和累计贡献率，前者将在主成分分析中进行说明。 E）图3-6为因子载荷矩阵，在前面已经直接按列的方向将其解释为个成分的 系数，实际上严格讲因子载荷矩阵应该是各因子在各变量上的载荷，即是各因子 对各变量的影响度。表示如下： ZX1=0.884F1+0.385

6、F2+0.120F3+ ZX2=0.606F1-0.596F2-0.277F3+ . . ZX8=0.822F1+0.429F2-0.210F3+ 在表达式中各变量已经不是原始变量，而是标准化变量。 表示特殊因子， 是除了这3个公因子之外影响该变量的其他因素。 原来设计了8个指标来表示经济 发展水平，但是经过因子分析后，只需要三个因子即可描述影响地区经济发展状 况。 F）为了使因子载荷矩阵中系数更加显著，可以对初始因子载荷矩阵进行转 换，使因子和原始变量间的关系进行重新分配，相关系数向0-1分化，从而更加 容易解释。图3-9是进行因子旋转的空间示意图，值得注意的是旋转前后各变量 散点的相对位置

7、保持不变，即旋转并不改变因子分析的整体结果，只是影响各因 子在各变量上的载荷分布，并影响各因子的贡献率。本例中采用的是方差最大正 交旋转法进行因子旋转，输出的结果参见图3-4.，由图可知，只有前三个特征根 大于1，因此SPSS只提取了前三个公因子。在旋转后三个公因子的方差累计贡献 率均发生了变化，但仍然会保持从大到小的顺序，而且前三个因子的方差贡献率 仍为89.55%， 和旋转前完全相同， 因此选前三个因子已足够描述经济发展的水平。 G）进行方差最大旋转后，旋转后的因子载荷矩阵如图3-7所示，由图可以看 出，第一公因子在 、 、 、 有较大的载荷，主要从GDP、固定资产投资、 货物周转量和工业

8、总产值反映经济发展状况，可以命名为总量因子。第二公因子 在 、 上有较大载荷，从居民消费水平和职工平均工资方面反映经济发展水 和 上有较大载荷，表现为居民消 平，因此命名为消费因子。第三公因子在 费价格指数和水平价格指数方面，因此命名为价格因子。与未旋转前相比较，旋 转后各公因子的意义显然更加明确合理。 H）因子得分：前面得到了因子结构表达式， 可以将各变量表示为公因子 的线性形式，但是更多的时候需要将公因子表达为各变量的线性形式。公因子的 得分系数函数不能通过矩阵变换的方法由因子载荷阵得到， 只能采用估计的方法 求得，本例采用的是回归法。因子得分系数矩阵如图3-10所示，据此可以直接写 出各

9、公因子的得分表达式： F1=0.306ZX1+0.025ZX2+0.270ZX3-0.025ZX4+0.248ZX5+0.070ZX6+0.077Z X7+0.317ZX8 F2=0.011ZX1+0.387ZX2+0.129ZX3+0.451ZX4-0.319ZX5+0.180ZX6-0.098Z X7+0.026ZX8 F3=0.047ZX1+0.040ZX2+0.075ZX3+0.096ZX4-0.139ZX5+0.653ZX6+0.462Z X7+0.123ZX8 SPSS已经给出三个公因子的得分，保存在fac_1fac_3中，按各因子对应的 方差贡献率为权数计算如下综合统计量： F=

10、 F1+ F2+ F3 =0.730F1+0.141F2+0.129F3 在SPSS中用程序计算综合因子得分： Comp score=0.73* fac1_1+0.141* fac2_1+0.129* fac3_1 2.主成分分析 A由图 3-1（各变量相关系数矩阵）可以看出，许多变量之间直接的相关性比 较强，的确存在信息上的重叠。 B由图 3-4（具体不再阐述）可知，只有前三个特征根大于 1，因此 SPSS 只 提取了前三个主成分，前三个主成分的方差贡献率达到 89.55%，因此选前 三个主成分已足够描述经济发展的水平。 C图 3-6 输出为主成分系数矩阵，从而得到各主成分的表达式，在表达式

11、中 各变量已经不是原始变量，而是标准化变量。 F1=0.884ZX1+0.606ZX2+0.911ZX3+0.465ZX4+0.486ZX5-0.51ZX6-0.621ZX 7+0.822ZX8 F2=0.385ZX1-0.596ZX2+0.163ZX3-0.725ZX4+0.737ZX5+0.257ZX6-0.596Z X7+0.429ZX8 F3=0.120ZX1+0.277ZX2+0.213ZX3+0.362ZX4-0.279ZX5+0.794X6-0.433ZX 7+0.210ZX8 因为各自变量已经过标准化，因此以上三个主成分的均数均为 0。 可以证明，各主成分的方差应当为前述特征根 ，但这里计算的数值方差均 为特征根的平方，即各主成分的原始数值还应该除以一个特征根的平方根才行， 但是因为不会对分析结果产生影响，因此在这里不再给出详细计算过程及结果。 在第