圆锥曲线动点问题

1、圆锥曲线动点题X221、(12分)设Fl、F2分别是椭圆 y 1的左、右焦点4(I)若P是该椭圆上的一个动点，求umr uumPF, PF2的最大值和最小值(n)设过定点 M(0,2)的直线I与椭圆交于不同的两点 A、B，且/ AOB为锐角(其中0为坐标原点)，求直线I的斜率k的取值围2、( 12分)如题(21)图，倾斜角为a的直线经过抛物线 y2 8x的焦点F,且与抛物线交于 A、B两点。题(20)图(I)求抛物线的焦点 F的坐标及准线I的方程；(n)若a为锐角，作线段 AB的垂直平分线 m交x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2 a为定值，并求此定值。11 23. 、(本小题满分12分

2、).如图,直线y= 1 x与抛物线y= 1 x 4交于A B两点28线y= 5交于Q点.(1)求点Q的坐标； 当P为抛物线上位于线段 AB下方(含A、B)的动点时,求厶OPQ面积的最大值4如图A(m, 3m)和B(n,3n)两点分别在射线 OS、OT上移动，且OAO为坐标原点，动点uju uju uur P 满足 OP OA OB (1)求m n的值；(2)求P点的轨迹C的方程，并说明它表示怎样的曲线？uuriuu线段AB的垂直平分线与直求l的方程.(3)若直线I过点E(2, 0)交(2)中曲线C于M、N两点，且ME 3EN ,5 如图，M是抛物线上 y2 x上的一点，动弦 ME、MF分别交x

3、轴于A、B两点，且 MA MB . (1) 若M为定点，证明：直线 EF的斜率为定值；(2)若M为动点，且 EMF 90°，求 EMF的重心G的轨迹.y八F6 已知F, 2,0), F2(2,0),点P满足|PR| |PF2| 2，记点P的轨迹为E.(1) 求轨迹E的方程；(2) 若直线I过点冃且与轨迹E交于P、Q两点.(i )无论直线I绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点 M (m,0)，使MPL MQ恒成立，数 m的值. (ii )过P、Q作直线x -的垂线PA QB垂足分别为 A B,记 |PA| |QB|，求入的取值围|AB|答案1、解：（I）解法一：易知 a 2,b1,c3

4、所以 F1 3,0 ,F2 3,0，设 P x,y，则uurPF1uuuPF23 x, y ,3 x, yx2 y2 3x2x2因为x 2,2，故当x 0,即点P为椭圆短轴端点时,JJLTPF143x2 8uuuPF2有最小值 22，即点P为椭圆长轴端点时,jurPF1uurPF2有最大值解法二：易知2,b1,c3，所以F13,0 , F23,0，设 P x, y，则uurPF1juurPF2uirPF1ujuuPF2cosF1PF2uurPF1JJJJPF2.uur .2uuu 2uuuPF2F1F22uuruuu2PF1PF23 （以下同解法一）x 3 $ y212x2联立又00显然直线k

5、x4k0不满足题设条件,可设直线l:ykx 2,A X1,y2 ,BX2,y2 ，4kk2消去1'X14X2整理得:32 1k44k2AOB900cosAOBk22x2 4kx 30 得:UJUOAuur- OAuuOB x1x2yy又y"kx2k2%2k xuuuOBX23k22 1k -48k22 1k -4k2 121k -43.2 1 k4k21.21k4即k2 4故由、得2 k2、（ I）解：设抛物线的标准方程为y2 2px，则 2p 8，从而 p 4.因此焦点F（；0）的坐标为（2，0） 又准线方程的一般式为 x P。2从而所求准线I的方程为x 2。(H)解法一：

6、如图作 ACL l , BDL l，垂足为 C D,则由抛物线的定义知I F牛| FC，| FB=| BD记A、B的横坐标分别为 XxXz，则1 FA| = 1 A(C = XxP | FA | cos a P2 2| FA | cos a4解得| FA |14cosa '类似地有|FB | 4 |FB |cosa，解得 | FB |4。1 cosa记直线m与AB的交点为I FE | |FA |AE| |FA|E则|FA| | FB|212(|FA|FB|)1 42 1 cosa41 cosa4 cosa2sin a|FP| |FE| cosa4.2。sin a故 |FP | |FP|

7、cos2a4 -2sin2 a42(1 cos2a)2sin asin a解法二：设 A(xA, yA) , B(xB , yB)，直线 AB 的斜率为 k tana.则直线方程为y k(x2)。将此式代入 y2 8x,得 k2x2 4(k2 2)x 4k2 0，故 xAxBk(k22)k2。记直线m与AB的交点为E(xE,yE)，则XaXbXe2yEk(xE 2)22(k22)k24k，故直线m的方程为y2k24k2令y=0,得P的横坐标Xp2k2k2| FP | Xp4(k221)从而 |FP | | FP|cos2a4sin 2 a4sin acos2a)24 -2sin asin8为定

8、值。3.【解】(1)解方程组y=1xy= x 48X= 4, x 2=8y1= 2, y 2=4从而AB的中点为即 A( 4, 2),B(8,4),1由kAB= 1 ,直线AB的垂直平分线方程2M(2,1).1y 1= (x 2).2令 y= 5,得 x=5, Q(5, 5) 直线OQ的方程为x+y=0,设P(x,1 x2 4).81 2 /x x 48iT点P到直线0Q的距离d=一 |x2 8x 32鶯 28215OQ 5 2 ,-SaopcF 2 .OQ上, P为抛物线上位于线段AB下方的点,且P不在直线/ 4< x<4 3 4 或 4 ：.?3 4<xW 8.函数y=x

9、2+8x 32在区间4,8上单调递增,当x=8时，A OPQ的面积取到最大值 30.JJJ JJJ厂OA OB (m, 3m) (n,4、解:(1)由已知得3n)2mnmn(2)设P点坐标为(x, y)jjj(x 0)，由 OPUJUOA(x, y)(m, 3m)(n,3n)(m n, 3(mn),m n,3( m消去m,n)n可得x24mn,uun OB又因mn 1 , P点的轨迹方程为x241 (x0) 它表示以坐标原点为中心，焦点在x轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线31的右支.(3)设直线I的方程为x ty2，将其代入C的方程得易知3(ty 2)2y2 3即(3t2 1)y2 12t

10、y 9(3t2 1) 0 (否则，直线I的斜率为3，它与渐近线平行,不符合题意)144t2 36(3t2 1) 36(t2 1) 0,设 M (%, yJ,N(X2,y2)，则 y y?12t3t2 1,y23t2I与C的两个交点 M , N在y轴的右侧2x,X2(ty1 2)(ty2 2) t yy2t(y1y?)42t29 一 2t 12t43t240,3t2 13t2 13t2 13t2 10,即0 t2，又由为X20同理可得0 t2£ujir 由MEujur3EN 得(2 X1, yj3(2X2, y2),Xiyi3(2 X2)3y2由y1y23y2y22y23? 1得y26

11、t3t2 1由 y2( 3y2)y2c23y23t" 1 得 y233t2 12消去y2得(3?1)233t2 1考虑几何求法!解之得：t215，满足故所求直线I存在，其方程为:15x y 2 50 或 15x5、思路分析:（1）由直线MF（或ME ）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F和点E的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M点的坐标将E、F点的坐标表示出来，进而表示出G点坐标，消去yo即得到G的轨迹方程（参数法）解：（1）法一：设M（yo, yo），直线ME的斜率为k0），则直线MF的斜率为yo2k(x yo) .由y2yyo k(xyo2),消x得ky2yo(1 kyo)解得

12、yF1 kyoXf(1 kyo)2k2，所以直线1 kyo1 kyoyE yFXfXe2 2(1 kyo)(1 kyo)k2k22k4 kyok22 yoEF的斜率为定值.法二：设定点M(Xo,y。), E(X1,yJ、Fy?)2由yo2y1Xo, /口得（y。 yd（y。 yJ Xo 为，即X1;同理yoy1yoy2MAMB，kMEkMF，即一1yo所以，ky1y2EFX1X2y1 y222y1牡y1 y2y1，y1y2 yoy2定值）.2yo(2)当 EMF 90o时，MAB 45o,所以 k 1,直线 ME的方程为 y y0 k(x y；)由 y y。x22y0得E(1y°)2

13、,1y°)y x同理可得F(1y° )2,(1y0).xXmXeXf氐(12y。)(1 y°)22 3y：设重心G( x,y)，则有333yxMxEXfy (1y°)(1 y°)乂y333消去参数y。得2y1 -x2一l(x 2).92736、解：(1)由 IPF1 |IPF2 |21 F1F2 1 知,占八、P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由c2,2a2,b23，故轨迹E:的方程为X22y1(X1).3(2)当直线I的斜率存在时，设直线方程为y k(x 2),P(Xi，yJ,Q(X2，y2)，与双曲线方程联立消y 得(k2 3)x

14、2 4k2x 4k23 0，k2X1v4k20X22k2 3X14k：2 30X22k2 3解得k2>3)MPMQ(X1m)(x2m)(为m)(x2m)k2 (x-i :2)(x2(k21)x1x2(2 k2m)(x1X2)(k21)(4k23)4k2(2k2 m)0yy(i2)2 mk2 3k2 324k2 m4 k23 (4 m 5)kk2 3m2.MP MQ, MP MQ 0，故得3(1 m2) k2 (m2 4m 5)0对任意的1.k23恒成立,m2 4m 5.当 m= 1 时，MPL MQ当直线l的斜率不存在时，由P(2,3),Q(2, 3)及M( 1,0)知结论也成立,综上，当m= 1时，MPL MQ1是双曲线的右准线，2111| PF2 | PF2 |,|QB |QF2 | ,e22(ii ) a 1,c2,由双曲线定义得:方法一