一类动态宏观经济非均衡模型的最优控制

1、2003年3月系统工程理论与实践第3期文章编号:100026788(20030320060205一类动态宏观经济非均衡模型的最优控制陈国华,盛昭瀚(南京大学管理科学与工程研究院,江苏南京210093摘要:为了将系统稳定在理想的目标状态,实现政策调控目标,利用符合最优性能的政策调控参数,给出了一种多维O GY最优控制法,并成功地在一类动态宏观非均衡经济模型中应用最小的政策参数扰动来稳定系统的瓦尔拉斯均衡状态,实现了最优控制关键词:最优混沌控制;稳定化;非均衡;动态宏观经济模型中图分类号:T P27文献标识码:AOp ti m al Con tro l of D ynam ical M acroe

2、conom ic D isequ ilib rium M odelCH EN Guo2hua;SH EN G Zhao2han(Graduate Schoo l of M anagem en t Science and Engineering,N an jing U n iversity,N an jing210093,Ch inaAbstract:In o rder to stab ilize an ideal target of system and realize po licy con tro l target,In th ispaper,po licy param eters su

3、itab le fo r som e op ti m al perfo rm ance are u sed.and an op ti m al m u lti2di m en si onal O GY con tro l m ethod is m ain ly discu ssed,w h ich is also successfu lly app lied to op ti m allycon tro lling a dynam ic m acroeconom ic model stab ilizing W alrasian equ ilib rium state by u sing m i

4、n i m umpo licy param eters pertu rbati on s.Key words:op ti m al con tro l of chao s;stab ilizati on;disequ ilib rium;dynam ical m acroeconom ic model1引言经济系统会出现混沌已经是一个不争的事实,它已为许多经济学家所认识1,2适当设置参数,混沌可能出现在许多经典的经济模型中,包括连续的市场出清、理性预期、迭代生成模型、完全竞争、经济增长、无外部性的市场失灵等这些混沌有的是有害的,有的是有益的混沌控制的目的就是要对有害的混沌加以抑制,对有益的混沌

5、进行利用、诱导3混沌控制和诱导的一种自然的方法是对引起系统出现混沌的参数进行控制和调节,使系统能够稳定到理想的目标轨道表现在经济系统中,这些参数通常与政府的适当的可调的经济政策相关联,如税收政策、利率政策、产业政策、决策策略等2关于如何控制这些参数,使经济系统进入理想轨道,学者们做过许多研究文献4中利用参数反馈控制方法研究了财产管理模型中的混沌控制问题文献5利用最优控制理论研究了宏微观市场的最优调控规律文献6,7中研究了税收政策和政府公共消费政策与瓦尔拉斯均衡间的关系,通过混沌控制的方法研究了政策对系统动力学行为的影响然而经济系统往往需要考虑政策参数控制的平稳性、渐近性和时效性,这些混沌控制的

6、方法缺乏与具体的经济性能指标的结合,使得在具体应用时受到很大限制例如在经济系统中不可能等待50年或更长的时间使得某个政策产生效果文献7虽然成功地利用混沌的混合政策稳定了瓦尔拉斯均衡,但是所用的方法没有结合具体的性能指标来进行,而且受到通常参数反馈控制法的性能限制,它要求不动点的邻域内存在稳定流形当利用目标定向法时,稳定状态收稿日期:2002211212资助项目:国家自然科学基金(70171028作者简介:陈国华(1969-,男,江苏泰州,讲师,博士,研究方向:经济管理系统的演化及其复杂性;盛照瀚(1944-,男,江苏镇江,博士生导师,经济管理系统的演化及其复杂性虽然可以在短时间内稳定,但是它又

7、需要关于整个全局动力系统的完全信息本文我们基于文献7中提出的动态经济非均衡模型,研究了这一模型的最优控制问题,得到了只要采用很小的参数扰动,就能够稳定系统的瓦尔拉斯均衡状态的结论我们采用了一种O GY 控制方法的推广形式,通常称为多维O GY 控制法8,它克服了上述限制,使用最小的控制参数来稳定鞍点或完全不稳定的不动点数值仿真实验表明了本文的方法具有较好的性能这种最小化参数的最优控制方法在实际中具有十分重要的意义,它可以保证政府的政策调整力度和调幅范围尽可能小,从而保证了系统状态的平稳过渡2模型的提出这里讨论的是由一个年轻和年老的家庭,一个企业,政府及一个消耗品和劳动力市场组成宏观经济的非均衡

8、模型7假定1市场容许非均衡的分配,2不同时期的价格和工资按照市场供求关系进行调整时期t 的商品价格为p t ,名义工资为w t ,年老家庭所拥有的名义货币存量为M t 所研究的模型是由实际工资及实际货币余额两个状态变量构成的一个动力系统代理行为假设描述如下.2.1家庭家庭的生命周期假定为两个时期年轻家庭提供固定数量的劳动力L m ax t 时期开始年老家庭拥有名义货币存量M t ,对消耗品概念需求m t :=M t p t ,年轻家庭的消费倾向占净收入的比由一个常数c (0,1给定t 时期两个家庭理想的消费为x 3t =m t +c y net t ,其中y net t为年轻家庭的实际净收入2

9、.2企业企业以劳动为唯一可变要素生产消耗品生产技术描述为一个新古典生产函数y =F (L =a bL b ,a >0,b (0,1在给定的实际工资t :=w t p t 时的利润最大化导致对劳动力和商品的概念需求分别为L 3(t 和y 3(t =F (L 3(t 2.3政府政府对年轻家庭的收入征收一定比例的收入税率0,1,需求一定量g 0的消耗品最终的预算赤字 剩余通过货币建立 销毁来平衡因此货币存量的变化即家庭事后净储蓄M t =Mt +1-M t ,等于政府的预算赤字 剩余2.4动态方程t 时期,给定实际工资t ,实际余额m t 和政策参数(g ,后,最小化有效供给和需求时,发生商品

10、和劳动力市场的交换设y D (m t ;g ,定义为与收入相一致的总有效消费需求,它为方程(1的解y D =m t +g +c (1- yD (1即y D (m t ;g ,=m t +g 1-c (1-有效商品供给由y S (t :=m in (y 3(t ,F (L m ax 决定,因此唯一可行的分配定义为y t =Y (t ,m t ;g ,:=m in (y D (m ;g ,y S (t (2和L t =L (t ,m ;g ,:=F -1(Y (t ,m t ;g ,(3可行分配因配给情况的不同而不同,它被划分成如下的三个主要的非均衡区域:1供给配给在两个市场的凯恩斯失业区域K ;

11、2需求配给在商品市场,供给配给在劳动力市场的经典的失业区域C ;3需求配给在两个市场的压缩膨胀区域I 至于供给配给在商品市场,需求配给在劳动力市场的情形U 则退化为边界K I 此外还有三个其它的边界情形:两个具有市场出清(K C 和C I ,瓦尔拉斯均衡W =K I C ,后者是实现所有概念需求和供给的唯一的状态当商品市场存在需求配额时,假定年轻家庭优先配额,年老家庭其次,政府只有当两个家庭的配额为零时才有配额此外还假定由于需求配额,年老家庭没有消费掉的储蓄将被支付给政府因此t +1时期的货币存量等于年轻家庭在t 时期的储蓄,即M t +1=(1-p t y t -p t x t =p t (

12、1-y t -x t =p t (y t -x t -y t =p t (m in (y t ,g +m t -y t 由于价格和工资按照供需法则变化,其不同时期变化关系为16第3期一类动态宏观经济非均衡模型的最优控制p t +1=p t (1+P (t ,m t ;g ,和w t +1=w t (1+w (t ,m t ;g ,(4其中增长率的函数P 和W 为P ( :=P m axy D (m t ;g ,-Y ( y D (m t ;g ,如果y D (m t ;g ,>Y ( P m inY ( -y 3(t y 3(t ,其它(5W ( :=Wm ax L 3(t -L ( L

13、 3(t ,如果L 3(t >L (W m in L ( -L m ax L m ax ,其它(6其中(代表元组(t ,m t ;g ,P m in ,P m ax ,W m in ,W m ax 0,1定义了价格和工资的灵活性完全的动力系统F (:g ,:R 2+R 2+,(t ,m t (t +1,m t +i 为t +1=t1+W (t ,m t ;g ,1+P (t ,m t ;g ,(7m t +1=11+P (t ,m t ;g ,(m in (Y (t ,m t ;g ,m t +g -Y (t ,m t ;g ,(8通过改变参数,这个动力系统可以表现出各种形式的动力学行为

14、,如稳定性、周期性、共存周期、复杂吸引盆和混沌极限行为这个动态系统具有如下命题描述的行为特性命题11如果g <F (L m ax ,且P m ax 不太小,则在K 中存在一个稳定状态2如果g >F (L m ax ,且W m ax 不太小,则在I 中存在一个稳定状态3如果g =F (L m ax ,则W 为一个稳定状态4对每个(g ,F (;g ,至多存在一个稳定状态由于生产函数F 在瓦尔拉斯稳定状态下不可微,因此仅对非均衡的状态才能实现局部稳定分析,通过对特征向量进行计算,可得命题2命题2任何稳定状态(,m ;g ,K I 可能会通过一个周期倍化分岔而失去其局部稳定性且系统此时可

15、能存在模小于1的特征值此外,如果所有的其它参数均为常数,则(,m ;g ,I 可以通过降低g 或增而而失去局部稳定性,或者通过增加或降低来使(,m ;g ,K 失去局部稳定性这一结果暗示了一个良性的财政政策也可能使稳定状态失去稳定,因此长期行为无效在凯恩斯失业的情况下,即使一个易扩张的财政政策在稳定状态时降低了超额供给,其长期的结果也不明确对于通货膨胀稳定状态,也有同样的结果,即使一个紧缩的财政政策降低了短期膨胀率和超额需求,它长期也可使稳态失稳3最优控制方法考虑系统x =h (x ,t ,p (t ,其中x 是维数为n 的状态向量,h 为刻画系统动力学行为的非线性函数,t 为时间,p 为控制

16、参数考虑满足方程(9的控制参数p (t =b (t p c(9其中b (t 为已知函数,称为基函数;p c 为控制参数在待稳定的极限环的一个周期T 内积分系统方程(1,得非线性Po incare 映射,再在不动点x F 处线性化Po incare 映射x k +1-x F 5h 5x x =x F ,p c =0(x k -x F +5h 5p c x =x F ,p c =0p c (10方程(10的Jacob i 矩阵J =5h 5x 独立于基函数b (t ,敏感向量w =5h 5p c依赖于基函数的选择在标准的O GY 控制方法中,只计算了一个敏感向量,且要求敏感向量与稳定流形相交这一条

17、件很强,可导致各种各样的问题,特别是当高维的时候为了克服这个限制,我们利用下面的控制规律(11来稳定不稳定的不26系统工程理论与实践2003年3月动点p c =-W -1J (x k -x F (11其中p c 为一个n 维的包含p ci 的向量,W 为一个n ×n 矩阵,其列为敏感向量w i 这里要求w i 是线性独立的,以保证矩阵W 的可逆性一旦决定了n 个线性独立的敏感向量,由x k +1=x F ,可得0=x k +1-x F =J (x k -x F +6ni =1w i p ci (12式中p ci 是决定稳定极限环的控制参数值的未知量利用控制参数p (t =6ni =1

18、b i (t p ci 可将x k 映射到不动点这一控制不仅可以稳定不稳定的不动点,而且可以稳定鞍点当然还可以选择适当的基函数和敏感向量,使之稳定m 个不稳定方向u i 下面我们在极限环的一个周期内线性化整个动力系统,而不仅仅对Po incare 映射线性化在极限环轨线x L C 和参数的零点值周围线性化系统方程有x L C =A (t x +c (t p (t (13其中x 为在极限环周围的扰动,p (t 为随时间变化的控制参数,x =x -x L C ,A (t =5h 5x x =x L C ,p c =0,c (t =5h 5x x =x L C ,p c =0(14形式化积分方程(1

19、2得到x (t =M (t x 0+M (t t 0M -1(c (p (d (15其中x 0=x (0-x F 为初始扰动,且M (t =exp t 0A (d (16对流上的Po incare 截面进行分析,有x 0=x k -x F ,x (T =x k +1-x F ,t =T ,方程(15被转换为x k +1-x F =M (T (x k -x F +M (T T 0M -1(c (p (d (17为了稳定极限环,需要x k +1=x F ,于是有下面的控制规律-(x k -x F =T 0d (t p (t d t (18其中d (t =M -1(t c (t 为n 维的向量函数,

20、称为设计函数下面定义最优化的标准8为m in T 0p 2(t d t (19为了求解方程(18,使(19成立,对p (t 离散化并积分由方程(18可得-(x k -x F =D p(20其中p 为N 维的包含p (t 的向量,这里分成了N 个时间间隔,t =(i -1t ,t =T(N -1,i =1,2,N 矩阵D 为n ×N 维的常值矩阵,依赖于设计函数d (t 和离散化方法方程(19于是变为m in p 2(21其中 p 2代表了向量p 的模2范数矩阵D 可以分成n ×n 可逆矩阵D 1和n ×(N -n 矩阵D 2向量p 可以对应分成大小为n 的分量p

21、1和大小为N -n 的分量p 2方程(20变成-(x k -x F =D 1p 1+D 2p 2(22依次求解p 1,p 2得p 1=-D -11(x k -x F -D -11D 2p 2(23p 2=-H (x k -x F (24其中H =(QD 2+I N -n -1Q 为常数矩阵,Q =D T 2D -T 1D -11,I N -n 为(N -n ×(N -n 单位矩阵,H 只依赖于设计函数d (t ,且对于整个控制应用只需要计算一次综上所述,最优控制过程如下:36第3期一类动态宏观经济非均衡模型的最优控制1计算设计函数d (t ;2只需要计算一次矩阵D -11,D -11

22、D 2和H ;3对于每一个k ,通过简单地替换方程(24和方程(23中的x k -x F ,计算p 在实际情形下,不能生成一般的控制函数p (t ,只能给出一个函数集合例如,可以使用由常数和正余弦函数组成的函数生成器g i (t ,i =1,2,N G 在这种情况下,设计一个拟最优的控制器,要求p (t 为g i (t 的线性组合遵循最优控制方法,可以得到类似于方程(20的控制规律其中D 为n ×N G 一个的矩阵,仅依赖于函数g i (t 控制向量p 具有分量p i ,维数N G 最终的控制参数为p (t =6N Gi =1p i g i (t 4数值实验固定名义政策参数g 和,假

23、设它满足在充分就业时政府的平衡预算的条件瓦尔拉斯稳定状态给定为:=F (L m ax 且m =(1-c (1-f (L m ax -g选择参数等于a =1,b =0.9,L m ax =1,c =0.5,P m in =P m ax =W m in =W m ax =0.6当税收参数=0.27时,图1显示了模型的实际货币余额随政府消费支出变化的分岔图图1是对不同的政府支出参数,对系统(8作了2000次迭代计算,并删除起初的200个点,忽略混沌暂态后得到的分岔图,由此可见,必须适当地采取政府支出政策,以响应实际的货币余额对稳定状态背离图2显示了当g =3.16时,系统(8出现混沌后的实际货币余额

24、的相图 图1固定=0.27时货币余额对政策参数g 的分岔图图2实际货币余额吸引子的相图下面我们将上面的多维O GY 最优控制方法应用于这一动态宏观经济非均衡模型,以实现系统(7,(8的最优控制,从而通过最小的参数扰动,达到政策杠杆的宏观调控目的经计算系统的瓦尔拉斯均衡点为1,59(1+-g ,固定=0.27,选择基函数b 1(t =b 2(t =1的特殊情形,在每个周期T 上取N =100,图3绘出了两个设计函数的图,对于每一个当前位置(k ,m k ,计算最小的政府支出参数p (t =g (t ,参数随时间的变化示于图4积分图4中的p (t ,我们得到本文研究了多维最优O GY 控制方法,并

25、以此来寻找最优调控参数,成功地实现了混沌经济系统到理想的稳定目标控制这里的最优其实是从控制力度最小的角度而言的随后我们在一类宏观经济非均衡模型中成功地实现了这种控制,取得了合适的政府支出参数,并在此调控参数下,稳定了系统的瓦尔拉斯均衡状态多维最优O GY 控制方法不需要系统在平衡点附近具有稳定流形,且特别适合于经济中这样的自变量多、维数高的动态系统本文在经济混沌的最优控制方面进行了有益的探讨,事实上,这种研究具有(下转第139页46系统工程理论与实践2003年3月第3期 城市环境质量综合评价物元模型及其应用 139 4结语 1 在运用物元分析方法进行城市环境质量评价过程中, 物元理论通俗易懂,

26、 计算方法简便, 并且容易 进行计算机编程 2 由于评价参数的量纲不同、 数量级不同, 在确定经典域和节域时, 对原始数据进行了归一化处理, 效果较好 3 评价结果与模糊评判法取得了较好的一致性, 并且符合客观实际, 表明物元理论用于综合评价城 市环境质量的问题是可行的, 为该领域的评价方法提供了新的思路 参考文献: 1 徐福留, 周家贵, 李本纲, 等. 城市环境质量多级模糊综合评价 J . 城市环境与城市生态, 2001, 14 ( 2 : 13- 15. 2 蔡文 物元模型及其应用 M . 北京: 科学技术文献出版社, 1994. 22- 23. . 3 蔡文 物元分析 M . 广州: 广东高等教育出版社, 1987. . 4 武吉华. 自然资源评价基础 M . 北京: 北京师范大学出版社, 1999. 110- 111. ( 上接第 64 页 一定性能指标的混沌经济系统的控制, 并以此辅助政府进行宏观经济政策决策, 在实践中具有十分重要的 价值 图 3设计函数图 参考文献: 1 理查德 H 戴. 混沌经