一道题引起的思考

1、一道题引起的思考南京市南湖二小 王凌 有一次教学片进行数学摸底测试，在测试前，学校照惯例抽取样卷存档，发现一年级的数学试卷上有这样一道题：看图列式： 应该怎样列式呢？这引起了部分教师的兴趣，大家各抒己见，列出了不同的算式（只限加减法），并且给出了相应的理由：第一幅图：算 式列 式 理 由3+3+3=9树上和天空一共有几只鸟？9-3-3=3一共有9只鸟，天空飞着2群鸟，每群都是3只，树上有几只？3+3-3=3在天空飞的鸟比树上的鸟多几只？第二幅图：算 式列 式 理 由2+3+4=9一共有几只鸭？2+3-4=1岸上的鸭比河里的鸭多几只？9-2-3=4一共有9只鸭，除去岸上的，河里的有几只？9-4-

2、2=3共9只鸭，先游走2只，又游走4只，还有几只？究竟本题的答案是什么？1、任课教师认为本题的标准答案为：第一幅图：3+3+3=9，理由是第一幅图描述的是：两群小鸟往树上飞，表示把树上的小鸟和飞来的小鸟合起来，是指连加情境。第二幅图：9-3-4=2或9-4-3=2，理由是第二幅图描述的是：9只小鸭是一个总数，先后游走了两群小鸭（从鸭头的方向观察），表示从总数中去掉两部分，因此必须列连减算式。并且在教材上找到相应的例题来支持自己的观点。2、每位给出算式的教师都认为自己列出的算式是对的，因为题目中只要求看图列式，也就是根据自己对图意的理解列出算式，而自己对图意的理解显然是站得住脚的。3、在阅卷过程

3、中，我们发现同学对图意的理解呈现多样化，列出的算式也不同。 经过激烈的争辩和询问出卷教研员，大家达成共识：只要算式能给出合理解释，就应判为正确算式。从而使该题的答案呈现开放性。 关于这道题的争论结束了，但由此引出更多的思考。一、什么是数学？ “数学是模式的科学” “数学是科学，数学更是一门创造性的艺术” “数学是科学，数学也是一门技术” “数学是一种语言” “数学是一种文化” 不同的时期、不同的人对数学有不同的认识，随着社会的发展，数学也被赋予更具时代气息的内涵。数学课程标准中指出：“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。” 数学应是从生活

4、中抽象出的一种科学语言、一门技术、一种思维方式，通过数学学习可以训练心智、掌握技能、形成一种看待世界的方式，并在多种途径服务于现实生活。从这样的观点看，如果认为第一幅图只能是3+3+3=9，第二幅图只能是9-4-2=3，那可能不是数学，只是一种在刺激反应机制下产生的记忆结果，是看图回忆某个特定对应算式的机械记忆，而且会使学生形成错误的认知和数学信念。二、为什么学数学？ 在古代，“数”作为“六艺”之一，学习数学的目的是为了“经世致用”，注重数学的显性价值；在应试教育的年代，学数学的目的是应付考试。如果从这些方面看数学，我们根本找不到大多数人学习数学的理由，因为社会中的绝大多数人可能根本无需学习小

5、学程度以上的数学。根据数学教育家波利亚的调查：社会中数学家、数学研究人员大致占总人数的1%，大约29%的人在工作中可能会用部分数学知识，70%的人在他们的一生中可能用不到小学程度以上的数学知识。 所以，作为教师，更要思考“学生为什么学数学”！ 在现代，数学已经越来越多的融入到我们的生活，数学已经成为生存和发展的基本技能、成为一种基本素质。大多数人想起数学，总是会联想到计算，这是从数学的显性价值上看。事实上，从数学的隐性价值来看，学生学习数学的目的已经不仅是在数学知识的掌握和数学技能的形成，更重要的是通过学习形成一种数学素养和继续学习数学的能力，在大量的现实事实中，能够运用数学思想去发现问题、分

6、析问题，从而解决问题，提高生活水平。人们的相互交流会出现众多的数学信息；决策需要收集、整理数据，进行分析，从而进行判断；数学在各种职业领域中的作用愈发凸现； 下面是校园中发生在四年级的两个真实例子：第一个例子：甲同学：“我有很多画片，昨天我用3元钱买了50张。”乙同学：“我给你10元钱，你给我买多少张？”甲同学：“这么多钱啊，我给你100张。”乙同学有些意外地说：“有这么多张啊！”第二个例子： 在体育课上，体育教师给每个小组的小组长3付羽毛球拍，请小组长组织本小组的活动。有一个小组长将6个球拍依次分发给本小组的前6个同学（该组共有10名组员），将后4个同学丢在一边。教师询问他分配的想法是什么，

7、他说6个拍子只能给6个人活动。 可以看出，一个人的数学素质对处理事务的能力有很大的影响。在现实生活中，生活质量的提高需要一个人具有较高的数学素质，可以说，高质量的生活离不开数学的支撑。三、学生的学与教师的教 根据教育部基础教育司调查组的调查结果表明，我国义务教育目前的教与学的方式，以被动接受式为主要特征。学生的知识主要通过教师的讲授获得，知识的掌握主要依赖于反复演练习题，学生很少有发表自己观点的机会，当自己的认识与教师或者课本相悖时，常常遭受指责，课本与教师是不可动摇的权威，一切学习活动以教师和课本为中心。结果造成高分低能的客观事实，缺乏作为21世纪公民所需的素质。 用认知建构主义的观点：学习

8、不是学生对教师所授予的知识的被动接受，而是依据已有的知识和经验做出主动的构造，这个构造过程是一个社会化的过程。学生不是知识的接收器，他们学习数学的过程应该是一个积极参与、经历实践和创新的过程，其间应该保持较高的认知水平和积极的情感体验。有一个问题经常应起我的思考：为什么在许多人看来属于缺乏扎实基础的美国基础教育，却能带来高质量的高等教育呢？为什么让中国人引以为豪的基础教育，却没有造就富于创新精神的高等教育呢？在实施初中数学课程标准的教学案例中介绍的美国数学改革项目之一“QUASAR计划”的主要目标是给学生提供更多的思维、推理、问题解决和数学交流的机会，并且认为除非学生经常地、主动地和富有成效地

9、参与认知上具有挑战性的任务，否则学生的学习不可能深入或获得更加丰富的概念。并且发现有必要把数学教学任务定义为：不仅是课本上或教师授课计划中出现的问题，而且是围绕教师和学生组织和实施那些问题所进行的课堂活动。在阅读了该书介绍的案例和案例分析后，发现美国教师在分析案例时，非常注重学生在课堂上的认知水平是否保持在一个较高的水平，是否积极参加到数学活动中，是否保持着积极的情感，教师在课堂上是否通过自己的提问、参加学生活动等教学组织活动，促使学生保持在较高的认知要求水平,并以此作为评价一节课质量的标准。大部分案例在一节课中的绝大部分时间都是由学生自己在进行探索性的自主学习，有时并没有完成教师课前的预定教

10、学任务。总体来说，在一节课中美国教师关心的不是知识的获得和掌握，而是学生如何去获得知识，因而要求师生的课堂活动尽可能保持在高水平的思维层面上。当然，我们不能照搬美国的教育模式，需要在双基的掌握与能力的发展之间寻求一种更符合我国国情的基础教育。但能否从美国同行的工作中受到这样一种启示：高质量的高等教育正是基础教育长期“授渔”的结果。学习过程的积累产生了对数学本质的认识，这是一个由量变到质变的过程。 有一份教师问卷调查：如何看待学生在考试中的失分？教师的回答是：如果教过的，那不应该错，要让学生再次反复练习；如果没有教过，可以原谅。说明在教师的潜意识中，学生的学习是一种模仿，学习就是操作，操作就能掌

11、握,信奉“熟能生巧”。长期以来，我们可能把数学课演变成了单纯的数学知识灌输课或数学技能训练课，忽略了学生的参与、学生的情感、学生数学思想的形成。注重的是学生学习的短期效应，带有较强的功利色彩。现在必须创设问题情境，通过学生的自主学习与合作交流，不仅掌握数学知识，更注重学习方法、思维方法和积极情感的养成，形成继续学习数学的能力和思维方式，为终身学习打下坚实的基础。四、教师教什么？ “考什么，教什么”，这恐怕在很多地方很长时间内都是不争的事实。但是对于大多数人来说，掌握数学与外部世界的密切联系，从而获得能力，适应于当今社会的生存与生活，并进而能够改革社会，促使其发展才是更重要的。 因此要教基本的数

12、学知识和数学技能，不仅为进一步学习做准备，而且能解决生活中种种涉及数学的现象，满足基本的生活需要，成为生活中的思维工具。随着时代的不同，“双基”的内涵也在发生变化，例如计算器的普及，使计算的速度不再成为追求的目标，而对信息的搜集整理、对随机事件发生的不确定性的判断则成为一种基本技能。这些都应当是教师应该正确理解的。 教师应该教给学生如何使用数学的语言，教数学的思维方式，教数学的交流，教学生用数学观念反映世界，教对未来学习可引起持久良性变化的学习能力。这就要求学习内容是现实的、有意义的和富有挑战性。这里的“现实”是指学生的现实，一方面指学生的生活现实，另一方面也指学生的数学现实。学习的内容应该有

13、意义，以了解数学的精髓。陈重穆教授响亮地提出“淡化形式，注重实质”，提出改变过分追求形式化，毕竟作为小学的数学只是学科的数学，而不是科学的数学。例如过分强化“乘法表示求几个相同加数的简便运算”，那又如何解释小数乘法和分数乘法呢？在低年级中，如果小鸟的头朝大树就一定要用加法，小鸭的朝向不同就一定要用减法，这显然是荒谬的。富有挑战性应该是指没有明确的解决问题的途径的数学问题，而不是指步骤繁杂或者过分强调解题技巧，例如做相关问题的社会调查、描述图表的含义并根据已有信息对未来事件做出预测。五、如何正确地理解教材？首先应该正确的理解教材，而不是将教材绝对化。正如教材上的连加例题（小鸟飞树图），在教学参考

14、书上写到：“教材只安排了一道例题，这道例题通过树上有2只鸟，又飞来3只，远处还有1只在飞来，一共有几只鸟的演示过程说明了连加的意义和计算的顺序”。可见，必须有一个动态的过程，才有利于学生对连加的理解。对于一幅静态的图，当然可以列出连减或者加减混合的算式。在教材中，连减例题是通过一幅“采摘丝瓜”的图来进行教学的，图中画了一个丝瓜藤，藤上还剩4根丝瓜，采摘丝瓜的小朋友手中拿着1根丝瓜，箩中还有2根采摘下的丝瓜。在教学参考书上这样写道：“教学例题时，可以引导学生看图，问原来一共几条丝瓜？第一次采下几条？算式怎样列？口答还剩几条丝瓜；再问第二次又采下几条？算式里又要怎样写？”，从第一个问题：“问原来一

15、共几条丝瓜？”可以看出，这幅图可以列出连加的算式。作为一个新知识点教学的例题，通过这样的图和动态演示来反映连加与连减的意义，并无不妥。但是在具备一定的知识和学习能力之后，学生的认知结构与认知能力发生了变化，经过一段时间再次看见这样的看图列式，必然会在现有的基础上重新建构，这就不难理解为什么绝大多数同学，尤其是高年级同学解这道题会出现不同的情况。从辩证关系看，教材只是提供一个教学内容的载体，是一个教学的辅助工具，教师可以根据学生的生活现实修改例题，创设情境、以更有利于学生学习、有利于再创造。教材中提供的解答是正确的，但不一定是唯一的。在学生的认知结构不断变化时，在学生的认知能力不断发展时，如果在以静止的眼光看待发展的事物，必然会阻碍学生的发展。因此提倡在正确理解的前提下