【教学】第3章 计算机控制系统的数学描述

1、School of Automation Engineering编辑pptSchool of Automation Engineering编辑ppt21)2()()0()()(zTfzTffkTfZzF0)(kkzkTfz变换定义：)(tf0*)()()(kkTtkTftfSchool of Automation Engineering编辑ppt 在 z 变换的定义式中，若取T = 1，则有：【注】： 实际上是对 而非 的 z变换。 为什么？为什么？0*)()()(kkzkftfZzF)(zF)(tf)(*tfSchool of Automation Engineering编辑ppt21)2(

2、)()0()()(zTfzTffkTfZzF0)(kkzkTf可以看出： 若 ，则有可以得到：即 反之亦然 )()(*2*1tftf),()(),0()0(2121TfTfff)()(21zFzF)()()()(21*2*1zFzFtftf)()()()(*2*121tftfzFzFSchool of Automation Engineering编辑ppt下面的式子成立吗？)()()()(2121zFzFtftf)()()()(2121tftfzFzFSchool of Automation Engineering编辑ppt)()(ttf011)0()()0()()(kkzTzkTfzF)(

3、1)(ttf1111)( 1)( 1 )(0121zzzzzzkTtZzFkk)(ttf21100) 1(1 1 )(zkzzzzzkTzzFkkkkkk求导：两边对21k2k-) 1()( ) 1(kTz zTzzFzTzTz再同乘常见常见 z 变换举例变换举例（1）（3）（2）School of Automation Engineering编辑ppttetf)(02211)(kTTTkkTezzzezezezFjwtjwteejwttf21sin)(1cos2sin sincossin221 2121)(222wTzzwTzwTwTzTjzjezezeezjezzezzjzFjwTjwTj

4、wTjwTjwTjwT（5）（4）School of Automation Engineering编辑ppt（1）级数求和法（按照 z 变换定义求）（2）部分分式法（经常使用）（3）留数计算法School of Automation Engineering编辑pptniTsinitsiniiiiiezzAzFeAtfssAsF111)()()(（2）部分分式法）部分分式法School of Automation Engineering编辑ppt例1 已知 ，求它对应的 Z 变换式 )()(assasF)(zFaTezzzzzFassassasF1)(11)()(School of Automa

5、tion Engineering编辑ppt例例2 2 求求 的的 z z 变换变换) 1(1)(2sssF112112211111)(1111) 1(1)(zezzTzzFssssssFTSchool of Automation Engineering编辑ppt（3）留数计算法）留数计算法nisssTizesFszF1111)(Re)(School of Automation Engineering编辑ppt（1） 线性性质线性性质)()()()( :),()(),()(,和对任何常数21212211zFzFtftfZzFtfZzFtfZ则有若)()( )()( )()()()( :21020

6、102121zFzFzkTfzkTfzkTfkTftftfZkkkkkk证School of Automation Engineering编辑ppt（2） 滞后定理滞后定理)()2()() 0(z )() 0(00)( )()( 00 , )()( :21n-) 1(1zFzzTfzTffzTfzfznTtfZzFznTtfZ,tf(t)zFtfZnnnn证证：则则且且若若School of Automation Engineering编辑ppt(3) (3) 超前定理超前定理101000)(010)()()( )( )()()( 证：)()( 0) 1() 0()()()(Z )()( 若n

7、mmnnmmmmnnmmnknknkknnmmnzmTfzFzzmTfzmTfzzmTfznTtfZnkmzTnkfzzTnkfnTtZzFznTtfZTnffzmTfzFznTtfzFtfZ则则，令令则则，若若则则，School of Automation Engineering编辑ppt(4) (4) 初值定理初值定理) 0()2()() 0(lim)(lim )(lim)(lim )(lim 极限 )()(21zzz0zfzTfzTffzFzFkTfzFzFkTfZk证证：则则存存在在，且且若若：School of Automation Engineering编辑ppt(5) 终值定理终

8、值定理10010101z101210210111)()()()()(lim )() 1()() 0(0) 1()()2()() 0()()()1 (lim)(lim )(1且 )()( nknknkknkknkknnkknnkkzknTfkTfkTfzkTfzzkTfzkTfzzTnfzTfzfzTkfznTfzTfzTffzkTfzFzkTfzFzzFkTfZ可可得得：证证：考考虑虑两两个个极极限限序序列列或或圆圆外外无无极极点点，则则在在复复平平面面的的单单位位园园上上，若若：School of Automation Engineering编辑ppt)()( lim )()(lim lim

9、 )()(lim lim)(lim111010110101zFzzFzkTfzzkTfzkTfzzkTfnTfznkknkknznkknkkznn对对上上式式两两边边取取极极限限School of Automation Engineering编辑ppt(6) 复位移定理复位移定理)()( )()( )()( )()(00zeFzekTfzkTfetfeZzeFtfeZzFtfZTkkkTkkkTtTt证：证：则则，若若School of Automation Engineering编辑ppt(7) (7) 偏微分定理偏微分定理aazFzakTfazaakTfaatfZaazFaatfZaazF

10、atfZkkkk),(),(),(),( ),(),( ),(),( 00证证：则则有有：为为独独立立变变量量或或常常数数，若若School of Automation Engineering编辑ppt4、 z 反变换反变换)(zFz反变换反变换)( )( )(*tftfkTf而不是，或School of Automation Engineering编辑ppt)( ,23110)2)(1(10)(*211tfzzzzzzzF求 609030z 2030z 3010 20301010 231432-32-21321121zzzzzzzzzzz)2(30)(100)(*TtTttf （1 1） 直

11、接除法直接除法School of Automation Engineering编辑ppt（2 2） 部分分式展开法部分分式展开法iPziinnnmmmmzzFPzaPzaPzaPzazzFPzPzPzbzbzbzbzzF|)( 其中)( 可设)( 2211210111设设School of Automation Engineering编辑ppt这两个公式是等价的。都可以用，和公式的反变换，对于所以有设的反变换求例54 5.0 5.01)( 10.5)1)(z(z0.5 )5.0(10.5)1)(z(z0.5 )1(5.01-z 0.5)1)(z(z0.5zF(z) 0.5)1)(z(z0.5z

12、F(z) 5.021121zzzzzzzFzzzzzSchool of Automation Engineering编辑ppt5 .0 )(5 .01)( )(1)(693.02ln5 .0 693.00*0693.0*ekTttfkTtetfTTekkkkT因为两个答案是一致的：可得如果采用公可得，用公式54School of Automation Engineering编辑ppt1 1 12)1()2(1 )1( 1 2 1)2()1()2()1(1 2 1)1(2)1)(2(1)( )1)(2()( 23221221322121322122azzaazzazzaazzzazzaaz za

13、zazazazzzzFzzzzF则令同乘：求则令将上式同乘：求的反变换求多重极点问题School of Automation Engineering编辑ppt1 )2(1 02) 1( 1 12) 1()2(1 ) 1( 31z121322123adzzddzzzadzzzaazzazzaz所以有注意，求导，然后令对同乘：求School of Automation Engineering编辑ppt（3 3） 留数计算法留数计算法iiiiiizzNNikrirriNizzkiNizzkzzFzzdzdrzzFzzzzFkTf11111111es11)()(!11)()( )(R)(处的留数。为极

14、点的重极点，分别为个阶数的为个单极点，的为式中，izziiizzsrNNzFNNNizNzFNiziRe)(), 2, 1()(), 2 , 1(11111School of Automation Engineering编辑ppt 对计算机控制系统，其输出 y (k) 不仅取决于当前的输入 r (k) ，还取决于过去的输入 r (k-1)，r (k-2)，以及过去的输出 y (k-1)，y(k-2)，。其的一般形式为：其一般形式为：其中，a1, a2, , an; b0, b1, , bm为常系数，且 n m)(.)1()()(.)1()(101mkrbkrbkrbnkyakyakymn)()

15、 1(.) 1()()() 1(.) 1()(11011krbkrbmkrbmkrbkyakyankyankymmnnn3.2 1、 差分方程的一般形式差分方程的一般形式School of Automation Engineering编辑ppt 差分方程的解法有多种，其中，常用的包括迭代差分方程的解法有多种，其中，常用的包括迭代法与法与 z 变换法等。变换法等。(1) 差分方程的迭代解法差分方程的迭代解法。School of Automation Engineering编辑ppt例例3 已知差分方程为已知差分方程为) 1()() 1(2)(krkrkyky1)0(,000)(2ykkkkr其中

16、)1(2)1()()(kykrkrky.17)3(2)3()4()4(5)2(2)2()3()3(5)1(2)1()2()2(1)0(2)0()1()1(yrryyrryyrryyrry【解】【解】： School of Automation Engineering编辑ppt。School of Automation Engineering编辑ppt差分方程同 解：对差分方程求 z 变换)1()()()1(2)(2)(11rzRzzRYzYzzY此时，需要求得 y (1)，令原方程中 k=0， 则可得)1()0()1(2)0(rryy5 . 02/)0() 1()0() 1(yrry因此有因此

17、有)()(1)(2)(11zRzzRzYzzY即即11211)()1()(zzRzzY) 1()() 1(2)(krkrkykySchool of Automation Engineering编辑ppt验证：3111)1()1()( zzzzR)21()1(21)(12121zzzzzY11211211981191)1(32)(zzzzzYkkky)2(989132)(,.17)4(, 5)3(, 5)2(, 1)2(989132) 1 (yyyy查表可得查表可得因此有因此有将其展开为将其展开为有有查表求查表求 School of Automation Engineering编辑ppt 离散系

18、统离散系统 定义为：在零初始条件下，离定义为：在零初始条件下，离散系统散系统与与之比，即之比，即)()()(zRzCzG 对于采样系统，其输入为采样信号，但输出一般仍为连续信号，此时便假想在输出端虚设一个采样开关，从而变成离散系统。3.3 )(zG)(zR)(zY)(sG)(zG)(tr)(*trTT)(ty)(*tya 实际采样系统 b 等价的离散系统 School of Automation Engineering编辑ppt2、 反之，通过对反之，通过对z传递函数取传递函数取 ，则可得差分方程，则可得差分方程。nimjjijkrbikyaky10)()()(nimjjjiizRzbzYza

19、zY10)()()(niiimjjjzazbzRzYzG101)()()(差分方程为差分方程为设初始条件为零，两端取设初始条件为零，两端取 ，得，得由此可得由此可得z 传递函数传递函数School of Automation Engineering编辑ppt)(sRT)(*sR)(1sG)(2sG)(zR)(sY)(zY)(zG串联环节间无采样开关串联环节间无采样开关 系统输出的拉式变换式为 )()()()(21*sGsGsRsY*21*)()()()(sGsGsRsY)()()()(21sGsGZzRzY对应的 z 传递函数为 )()()()()()(2121zGGsGsGZzRzYzG变换

20、的过程再求相乘后，和传递函数表示先将串联环节上式中zsGsGszGG)()()(2121School of Automation Engineering编辑ppt11( )( )( )Y zG zR z串联环节间有采样开关 21( )( )( )Y zGzY z1121( )( )( )( )( )( )( )( )( )Y zY zY zG zG z GzR zR z Y z)()()(2121zGzGzGG注意，一般情况下：School of Automation Engineering编辑ppt)()1()()()()()(1)(11ssGZzssGZzssGZssGeZssGZsGse

21、ZzGOOOOsTOOsT )(sRT)(*sR)(sGh)(sGo)(zR)(sY)(zY)(zGSchool of Automation Engineering编辑ppt)()()()()()(Y)(2121sGZsGZzGzGzRzzGSchool of Automation Engineering编辑ppt 在采样系统或计算机控制系统中，两个相邻采样开在采样系统或计算机控制系统中，两个相邻采样开关之间的环节只称为一个关之间的环节只称为一个。)(sR)(zET)(sE)(*sE)(sG)(sH)(sY)(*sY)(zYSchool of Automation Engineering编辑p

22、pt由此可得闭环z传递函数)()()(zBzRzE )()()()()()(zEzGHzEsHsGZzB )(1)()(zGHzRzE 故故)()()()(zEzGHzRzE 即即有有( )( )( )( )( )1( )G z R zY zG z E zGH z)(1)()()()(zGHzGzRzYz如果误差通道有采样开关，即输入与反馈信号均被采样如果误差通道有采样开关，即输入与反馈信号均被采样School of Automation Engineering编辑pptn由以上闭环z传递函数的推导结果可知，系统的分子是（包括输入R(s)）的 Z 变换的乘积，分母是所有独立环节的 Z 变换加

23、1；n在计算采样系统的z传递函数时，必须以独立环节为计算传递函数的最小单位。的一般表达式节节Z Z变变换换的的乘乘积积闭闭环环回回路路中中所所有有独独立立环环Z Z变变换换的的乘乘积积前前向向通通道道所所有有独独立立环环节节1)(zY：式中，输入 R(s) 也被看作一个连续环节； 若 ，则可写出闭环z传递函数，否则，不能写出。School of Automation Engineering编辑ppt 此时，开环脉冲传函为系统响应)()()()(sGZzRzYzG)()()()(*11zRzGZzYZty)(sR)(zET)(sE)(*sE)(sG)(sY)(*sY)(zYSchool of A

24、utomation Engineering编辑ppt)9(9)(2sssG解：) 13cos2)(1()3cos1)(1(3cos213cos1191)9(9)()(1)( 1 )(221122TzzzTzzzTzTzzzsssZssZsGZzGzztZzR设 r(t)=1(t), T=1s,例例5 5School of Automation Engineering编辑ppt13cos23sin3sin3cos12113cos23cos21121) 1() 13cos2)(1()3cos1)(1(1)()()(22222TzzTzTTTzzTzzzzzzTzzzTzzzzzGzRzY求 z 反

25、变换：TTttttTTTTtzYZty)3sin0354. 03cos5 . 05 . 0()3sin3sin3cos1213cos2121()()(*1因此School of Automation Engineering编辑ppt(2) (2) 闭环系统响应闭环系统响应【解解】) 1)(45. 0(5 . 0)1 ( 1 . 0111101011 . 01)( 110101)(1)()()(101010102121zzzezezzezesseZtZsseZzHGGzRzGGzYTTTTTsTs例例6 如图，设 r (t) =1(t), e10TSchool of Automation Eng

26、ineering编辑ppt)45. 01 (1110)(Re)(211kizzkizzCskTy.)6(902. 0)5(894. 0)4(827. 0)3(826. 0)2(725. 0)(5 . 0)(0)(*TtTtTtTtTtTttty求Y(z)的z 反变换，则系统的闭环响应为或写成：School of Automation Engineering编辑pptn3.4 1 1、线性定常离散系统的状态空间模型的建立、线性定常离散系统的状态空间模型的建立 (1) (1)由差分方程建立离散状态方程由差分方程建立离散状态方程a) 差分方程不含输入函数的高阶差分，即差分方程的形式为 )()() 1

27、() 1()( 011kbukyakyankyankyn选择状态变量，) 1()() 1()()()(21nkykxkykxkykxn可得 )()()()() 1()() 1()() 1(121103221kbukxakxakxakxkxkxkxkxnnn)()(1kxkySchool of Automation Engineering编辑ppt写成矩阵形式的状态空间描述为)(00)()()(100001000010) 1() 1() 1(21121021kubkxkxkxaaaakxkxkxnnn)()()(001)(21kxkxkxkynSchool of Automation Engin

28、eering编辑pptb) 差分方程包含输入函数的高阶差分)() 1()()() 1() 1()( 01011kubnkubnkubkyakyankyankynnn选择状态变量)() 1()()() 1()()()()(1111201kuhkxkxkuhkxkxkuhkykxnnn且有 )()()()() 1(12110kuhkxakxakxakxnnnnSchool of Automation Engineering编辑ppt001111002112201110hahahabhhahabhhabhbhnnnnnnnnn)()()()() 1()()() 1()()() 1()()() 1(1

29、211011232121kuhkxakxakxakxkuhkxkxkuhkxkxkuhkxkxnnnnnnn 可得 其中School of Automation Engineering编辑ppt即有)()()()(100001000010) 1() 1() 1(2121121021kuhhhkxkxkxaaaakxkxkxnnnn)()()()(001)(021kuhkxkxkxkynSchool of Automation Engineering编辑ppt(2)由由z传递函数建立离散状态方程传递函数建立离散状态方程22( )0.20.5( )( )0.70.06Y zzzG zU zzz(

30、)0.50.560.51.12( )11( )(0.1)(0.6)0.10.6Y zzzG zU zzzzz School of Automation Engineering编辑ppt由上式可得状态方程框图可得可得：6 . 012. 1zz1 . 05 . 0z)(ku)(1kx)(2kx)(ky)(5 . 0)(6 . 0)(02. 1) 1()(5 . 0)(1 . 0) 1(21211kukxkxkxkukxkx)()()(2kukxkySchool of Automation Engineering编辑ppt)(5 . 05 . 0)()(6 . 002. 101 . 0) 1() 1

31、(2121kukxkxkxkx)()()(10)(21kukxkxkySchool of Automation Engineering编辑ppt将将 展开为部分分式展开为部分分式则有则有( )0.50.561.020.52( )11( )(0.1)(0.6)0.10.6Y zzG zU zzzzz 1.020.52( )( )( )( )0.10.6Y zU zU zU zzz6 . 052. 0z1 . 002. 1z)(ku)(1kx)(2kx)(kySchool of Automation Engineering编辑ppt状态空间描述为矩阵形式为矩阵形式为)(52. 0)(6 . 0)

32、1()(02. 1)(1 . 0) 1(2211kukxkxkukxkx)()()()(21kukxkxky)(52. 002. 1)()(6 . 0001 . 0) 1() 1(2121kukxkxkxkx)()()(11)(21kukxkxkySchool of Automation Engineering编辑ppt将将 写成写成212106. 07 . 0156. 05 . 01)()()(zzzzzUzYzG令 2106. 07 . 01)()(zzzUzW)()(56. 05 . 0)( 21zUzWzzzY可得进一步可得：)()(56. 0)(5 . 0)()()(06. 0)(7

33、 . 0)(2121zUzWzzWzzYzUzWzzWzzWSchool of Automation Engineering编辑ppt选取状态变量选取状态变量)() 1()()(06. 0)(7 . 0) 1(12211kxkxkukxkxkx)()()()()(112211zXzzWzzXzWzzX)()()()(06. 0)(7 . 0)()(06. 0)(7 . 0)()(1221211zXzzXzUzXzXzUzWzzWzzWzzX)()(56. 0)(5 . 0)(21kukxkxky即即School of Automation Engineering编辑ppt矩阵形式为矩阵形式为)

34、(01)()(0106. 07 . 0) 1() 1(2121kukxkxkxkx)()()(56. 05 . 0)(21kukxkxkySchool of Automation Engineering编辑ppt改写为将)(zG212106. 07 . 015 . 02 . 01)()()(zzzzzUzYzG则 )(5 . 0)(2 . 0)()(06. 0)(7 . 0)(2121zUzzUzzUzYzzYzzY为可得)(zY)(06. 0)(5 . 0)(7 . 0)(2 . 0)()(7 . 0)(2 . 0)(5 . 0)(06. 0)()(111122zYzUzzYzUzzUzYz

35、zUzzUzzYzzUzY选择状态变量，令)()(7 . 0)(2 . 0)()(06. 0)(5 . 0)(11211zXzYzUzzXzYzUzzXSchool of Automation Engineering编辑ppt因此有)()()(2zXzUzY进一步可得 )(5 . 0)(7 . 0)()()(56. 0)(06. 0)(2112211zUzXzXzzXzUzXzzX56. 0)(ku5 . 01z1z)(1zX)(2zX7 . 006. 0)(zY对应的框图 School of Automation Engineering编辑ppt12212( )0.06( )0.56 ( )

36、( )( )0.7( )0.5 ( )zX zXzU zzXzX zXzU z 所对应的差分方程为)(5 . 0)(7 . 0)() 1()(56. 0)(06. 0) 1(21221kukxkxkxkukxkx输出方程为)()()(2kukxky写成矩阵形式为)(5 . 056. 0)()(7 . 0106. 00) 1() 1(2121kukxkxkxkx)()()(10)(21kukxkxkySchool of Automation Engineering编辑ppt 设连续过程的状态方程为设连续过程的状态方程为在输入端加在输入端加，即，即2 2、连续状态方程的离散化、连续状态方程的离散化

37、( )( )( )( )( )( )ttttttxFxGuyCxDu)(1kTu零阶保持器)t ()t ()t ()t ()t ()t (DuCxyGuFxx)(tup)(1ty)(kTup零阶保持器)(1tu)(tyqSchool of Automation Engineering编辑ppt对连续状态方程对连续状态方程可得可得令令 t0=kT, t = (k+1)T, 此时有此时有u( )u(kT)（即（即ZOH）, 可得可得对于对于定常系统定常系统，可写为，可写为作变量代换可得作变量代换可得其中其中00()()0( )( )tt ttttdFFxexeGu(1)(1)(1) ()()kTT

38、kTkTkTkTdkTFFxexeGu0(1) ()() ( ) ()( ) ()TTtkTkTdtkTTkTTkTFFxexe G uAxBu0( )( )TTtTTdtFFAeBeGSchool of Automation Engineering编辑ppt 级数展开法级数展开法其中其中 可由计算精度确定。可由计算精度确定。为便于计算机实现，将上式改写为为便于计算机实现，将上式改写为2300( )() /2! () /3! .()() !TiiLiiTeTTTTTiiFAIFFFFF( )(.()231TTTTTTLLFFFFAIFIIIISchool of Automation Engineering编辑ppt已知已知从而