多元函数概念1ppt课件

1、重点重点 多元函数基本概念，偏导数，全微分，多元函数基本概念，偏导数，全微分，复合函数求导，隐函数求导，偏导数的几何复合函数求导，隐函数求导，偏导数的几何应用，多元函数极值。应用，多元函数极值。难点难点复合函数求导，多元函数极值。复合函数求导，多元函数极值。 第八章第八章 多元函数微分法多元函数微分法及其应用及其应用（1 1邻域邻域),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 0P一、多元函数的概念一、多元函数的概念 )(0oPPU00 PP. )(0PU点点 P0 的去心邻域记为的去心邻域记为第一节、多元函数的基本概念第一节、多元函数的基本概念（2） 一些基本概念一

2、些基本概念设有点集设有点集 E 及一点及一点 P : 若存在点若存在点 P 的某邻域的某邻域 U(P) E ,若存在点若存在点 P 的某邻域的某邻域 U(P) E = ,若对点若对点 P 的任一邻域的任一邻域 U(P) 既含属于既含属于E的点也含不属于的点也含不属于EE则称则称 P 为为 E 的内点；的内点；则称则称 P 为为 E 的外点的外点 ;则称则称P为为E的边界点的边界点 .的点的点 ,显然显然, E 的内点必属于的内点必属于 E , E 的外点必不属于的外点必不属于 E , E 的的边界点可能属于边界点可能属于 E, 也可能不属于也可能不属于 E . 2、 聚点聚点若对点若对点P 的

3、任一去心的任一去心)(PUE邻域邻域内总有内总有E 中的点中的点 , 那么那么称称 P 是是 E 的聚点的聚点. 内点一定是聚点；内点一定是聚点； 边界点可能是聚点边界点可能是聚点,也可能不是聚点；也可能不是聚点； 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E考虑：边界点一定是聚点？考虑：边界点一定是聚点？D3、 开区域及闭区域开区域及闭区域 若点集若点集 E 的点都是内点，则称的点都是内点，则称 E 为开集；为开集； 若点集若点集 E 的余集的余集EC 为开集为开集, 则称则称 E 为闭集；为闭集； 若点集若点集 D 中任意两点都可用一完全属于中任意两点都可用一完全

4、属于 D 的折线相的折线相 连连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域开区域连同它的边界一起称为闭区域. .则称则称 D 是连通集是连通集 ; 连通的开集称为开区域连通的开集称为开区域 ,简称区域简称区域 ;。 E 的边界点的全体称为的边界点的全体称为 E 的边界的边界, 记作记作 E ; 对于平面点集E , 若存在正数 r, 使得EUO，r）， 其中O是坐标原点， 则称则称 E E 为有界集为有界集 , , 否则称为无否则称为无例如，在平面上例如，在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx开区域开区域闭区域闭区域 1),(xyx开集、不是区域开集

5、、不是区域 整个平面整个平面 是最大的开域是最大的开域 , 也是最大的闭域；也是最大的闭域；（3） n 维空间维空间n 元有序数组元有序数组),(21nxxx),(21nxxx的全体的全体,Rn 中的每一个元素中的每一个元素称为称为 的的kx数数称为该点的第称为该点的第 k 个坐标个坐标 .记作记作即即nkxxxxRknn,2, 1,R),(21当所有坐标当所有坐标时，时，0 kx称该元素为称该元素为 nR中的零元中的零元,记作记作 O .定义了线性运算的集合定义了线性运算的集合 称为称为 n n 维空间维空间nRnRnR的距离记作的距离记作2222211)()()(),(nnyxyxyxyx

6、 中点中点 a 的的 邻域邻域为为),(21nyyyy 与与点点 ),(,R),(axxxaUn ),(R21nnxxxx 中中的的点点,),(yxyx 或或 规定为规定为 ),(R21nnxxxx 中中的的点点与零元与零元 O O 的距离为的距离为22221nxxxx .,3, 2, 1xxn通通常常记记作作时时当当 0R axaxn满满足足与与定定元元中中的的变变元元. ax 记作记作nRnnaxaxaxax,02211 （4二元函数的定义二元函数的定义例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解: 01|3|222yxyx 22242yxyx即即所

7、求定义域为所求定义域为 D= (x, y) | 2x2+y24, xy2 . （5） 二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz （如右图）（如右图）二元函数的图形通二元函数的图形通常是一张曲面常是一张曲面.二、多元函数的极限二、多元函数的极限),(yxfz ),(,000yxPD |),(|)(|AyxfAPf),(yxfz ),(),(00yxyxAyxfyxyx ),(lim),(),(00),(),(),(00yxyxAyxf定义定义 设函数设函数的定义域为的定义域为是其聚点，如果存在常数是其聚点，如果存在常数A，对于任意给定的正数，对于任意给定的正数 ，总存在正数总存在正数，使得当

8、，使得当 时时都有都有成立，则称成立，则称A为函数为函数当当，时的极限，记为时的极限，记为 （或（或),(),(0 PUDyxP 也记作也记作)()()(0lim0PPAPfAPfPP 或或（1 1所谓极限存在是指当动点从四面八方以所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数。数都趋于同一常数。这是与一元函数极限这是与一元函数极限的本质差异。的本质差异。（2 2二元函数的极限也叫二重极限二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3 3二元函数的极限运算法则与一元函数类似，二元函数的极限运算法

9、则与一元函数类似，并具有如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无并具有如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等性质。穷小、等价无穷小代换等性质。说明：说明：01sin)(lim222200 yxyxyx证证01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 当当 时，时， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立例例2 2 用定义证用定义证明明 例例3: 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解: 22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中

10、其中 yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 |222yxyx |21x , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyx|2|2xyyx 所以所以 yxu2 证证: 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化的不同而变化. 故极限不存在故极限不存在. 26300limyxyxyx 例例4: 证明证明 不存在不存在. 练习：练习： 证明证明 不存在不存在 2200limyxxyyx 确定极限不存在的方法：确定极限不存在的方法：),(yxf),(yxf),(000yxP（2找一种

11、趋近方式，使找一种趋近方式，使也可断言也可断言在点在点处极限不存在处极限不存在不趋于任何值，那么不趋于任何值，那么当当P(x,y)趋于趋于(0,0)时，经常选特殊路径时，经常选特殊路径y=k x,若在此路径下，若在此路径下，f(x,y)趋于与趋于与k有关的有关的值，则可断言极限不存在。值，则可断言极限不存在。三、多元函数的连续性三、多元函数的连续性例例5 5 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性 多元初等函数：由常数及具有不同自变量的一元多元初等函数：由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构基本初

12、等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 处处连连续续，于于是是点点在在的的定定义义域域的的内内点点，则则是是数数，且且是是初初等等函函时时，如如果果一一般般地地，求求定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.11lim00yxyxyx例例6 求求四、四、 有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性

13、质（1有界性与最大值最小值定理有界性与最大值最小值定理 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，必定在上的多元连续函数，必定在D D上有界，且能取得它的最大值和最小值。上有界，且能取得它的最大值和最小值。（2介值定理介值定理 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，必取上的多元连续函数，必取得介于最大值和最小值之间的任何值得介于最大值和最小值之间的任何值多元函数的定义多元函数的定义多元函数极限的概念多元函数极限的概念（注意趋近方式的任意性）（注意趋近方式的任意性）多元函数连续的概念多元函数连续的概念有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质五、小结五、小结思考题思考题

14、 若点若点(x, y)沿着无数多条平面直线趋向于点沿着无数多条平面直线趋向于点 (x0, y0)时时, 函数函数 f(x, y) 都趋向于都趋向于A, 能否断定能否断定?),(lim),(),(00Ayxfyxyx 思考题解答思考题解答不能不能. 例如例如 ,)(),(24223yxyxyxf 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x),(lim)0,0(),(yxfyx那么那么但是但是不存在不存在. 244262)(),(yyyyyyf .41原因为原因为, 若取若取 x = y2,取取 y = kx,(x, y)(0, 0), 利用连续函数的定义及初等函数的连续性；利用连续函

15、数的定义及初等函数的连续性； 利用极限的性质，如：极限的四则运算法则及夹逼准则等；利用极限的性质，如：极限的四则运算法则及夹逼准则等； 转化成一元函数的极限问题，利用一元函数求极限的方法；转化成一元函数的极限问题，利用一元函数求极限的方法； 利用无穷小量与有界量的乘积仍然是无穷小量；利用无穷小量与有界量的乘积仍然是无穷小量； 利用重要极限；一元函数中的两个重要极限可以推广为：利用重要极限；一元函数中的两个重要极限可以推广为： eyxuyxuyxuyxuyxuyxu ),(10),(0),(),(1lim, 1),(),(sinlim 消去分子分母中极限为消去分子分母中极限为0的因子；（分子分母

16、有理化）的因子；（分子分母有理化） 利用等价无穷小代换；利用等价无穷小代换；222)()cos(1lim. 411lim. 31sin)sin(lim. 2)(sinlim. 12222)0,0(),(12)0,0(),(23222222)0,0(),(yxyxyxyxyxyxyxeyxyxxyyxyxyxyxyx 1、一个点集不是开集就是闭集吗？、一个点集不是开集就是闭集吗？ 2、单点集是开集还是闭集？、单点集是开集还是闭集？ 作业P11 5 (2), (4), (6) 6 , 7，9 22),(yxxyyxf ),(yxf假设假设,那那么么_. 练练 习习 题题 6 6、函数、函数yxz 的定义域是的定义域是_. . 7 7、函数、函数xyzarcsin 的定义域是的定义域是_. . 8 8、函数、函数xyxyz2222 的间断点是的间断点是_. .二二、 求求下下列列各各极极限限: :1 1、 xyxyyx42lim00 ；2 2、 xxyyxsinlim00；3 3、 22222200)()cos(1limyxyxyxyx . .三三、 证证明明：