换元积分法与分部积分法,DOC

1、仅供个人学习参考8.2 换元积分法与分部积分法(4 时)【教学目的】熟练掌握换元积分法和分步积分法。【教学重点】换元积分法和分步积分法。【教学难点】灵活运用换元积分法和分步积分法。【教学过程】一换元积分法由复合函数求导法，可以导出换元积分法.I X定理 8 . 4(换元积分法)设 g(u)在 1 丨上有定义，u =(x)在！a,b丨上可导，且X*卉I/_:- (x) x- a,b 1,并记I I / /(i)若g(u)在： J 丨上存在原函数G(u),贝U f (x)在la,bl上也存在原函数J J /F(x),F(x)二G( (x) C，即(ii)又若，(x)=O,x a,b|则上述命题(i

2、)可逆，即当f (x)在la,b 1上存在原函数 F(x)时,g(u) II I .1 I g/在:,-上也存在原函数 G(u)，且 G(u)=F(u) C，即g(u)du 二 g(x)(x)dx 二 f(x)dx.证(i )用复合函数求导法进行验证：所以f(x)以G( (x)为其原函数，(1)式成立.(ii)在(x)=0的条件下，u=(x)存在反函数x(u),且于是又能验证(2)式成立：=g( (x)Hg(u)口上述换元积分法中的公式(1)与(2)反映了正、逆两种换元方式，习惯上分别称为第一换元积分法和第二换元积分法(公式(1)与(2)分别称为第一换元公式与第二换元公式).下面的例 1 至例

3、 5 采用第一换元积分法求解.在使用公式(1)时，也可把它写成如下简便形式：例 1 求 ta nxdx.解由tan xdx二sin xdx二-(cosx)dx,仅供个人学习参考、cosxLcosx1可令u =cosx,g(u) ,则得u仅供个人学习参考例 2 求j(a 0).a x仅供个人学习参考对换元积分法比较熟练后，可以不写出换元变量u，而直接使用公式(1 ).例3求J占亏30)一a -x例 4 求2dx2(a =0).x -adx22x a例 5 求 secxdx.解解法一利用例 4 的结果可得解法二secxdx=secx(secx tan x), - dxsecx tan x=lnse

4、cx +tanx +C .这两种解法所得结果只是形式上的不同，请读者将它们统一起来.从以上几例看到，使用第一换元积分法的关键在于把被积表达式f (x)dx凑成gxFixdx的形式,以便选取变换u=(x)，化为易于积分的 g u du .最终不要忘记把新引入的变量u还原为起始变量x.第二换元公式(2)从形式上看是公式(1)的逆行，但目的都是为了化为容易求得原函数的形式(最终同样不要忘记变量还原)，以下例 6 至例 9 采用第二换元积分法求解.du匸+3u解为去掉被积函数中的根式，取根次数 2 与 3 的最小公倍数 6,并令u =x6,则可把原来的不定积分1x a仅供个人学习参考化为简单有理式的积

5、分：=2荷33U+6VU6ln Vu +1 +C .例 7 求. a2-x2dx (a - 0)x解令x=as int, t -(这是存在反函数t=arcsi n的一个单调区间)于是2a例8求 frdx2(anO)2 2x -a解令 x =asect,0：t：(同理可考虑 t : 0 的情况)，于是有sect =x，aI I 7厂右a r -.dx例 9 求一222-(a 0)L(x +a )解令 X =atant，t一，于是有有些不定积分还可采用两种换元方法来计算.厂f I / ./ - _/例 10 求，一dxi2 2x x -1解解法一采用第一换元积分法：解法二采用第二换元积分法(令 x

6、 = sect):二分部积分法由乘积求导法，可以导出分部积分法.定理 8.5 (分部积分法)若ux与vx可导，不定积分 ukvxdx 存在，并有 uxv xdx=ux vx -u xvxdx (3)证由 Uxvx】二 u xvx uxv x或u X v X= u X V x 吵-uxvx，借助辅助直角三角形，便于求出Jx2_a2士”曰tan t，故得u x / x dx 也存在,仅供个人学习参考对上式两边求不定积分，就得到(3)式.公式称为分部积分公式，常简写作.udv 二 uv - . vdu (4)仅供个人学习参考例 11 求 xcosxdx.解令u =x,v =cosx，则有u:1,v=

7、sinx.由公式（3）求得例 12 求 arctanxdx.1解令u二 arctanx , v =1，则u2,v = x，由公式（3）求得1 +x例 13 求 x3In xdx.解令u = In x,v丄x3，由公式（4）则有I有时需要接连使用几次分部积分才能求得结果；有些还会出现与原不定积分同类的项,并后方能完成求解现分别示例如下例 14 求 x2edx.I#/./T _/I,z!by- r I解 x2edx = x2d -e =-x2e 2 xedx*. I /例 15 求 h = ecosbxdx 和 |2二 eaxsi nbxdx11解h=cosbxd（eax）=（eaxcosbx +besinbxdx）a aI=