数阵图与数字谜问题教案

1、数阵图与数字谜问题（一）知识点梳理一 数阵图 数阵图就是将一些数，按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵 它的类型一般分为三种：辐射型数阵图；封闭型数阵图；复合型数阵图二、幻方幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆”4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方三、数字谜数字谜，一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式这种不完整的算式，就像“谜”一样，要解开这样的谜，就得根据有关的运算法则，

2、数的性质（和差积商的位数，数的整除性，奇偶性，尾数规律等）来进行正确的推理，判断解数字谜，一般是从某个数的首位或末位数字上寻找突破口推理时应注意：数字谜中的文字，字母或其它符号，只取09中的某个数字；要认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件；必要时应采用枚举和筛选相结合的方法（试验法），逐步淘汰掉那些不符合题意的数字；数字谜解出之后，最好验算一遍（二）例题【例题】构造一个八阶幻方：在8×8的方阵中填入164，使每行每列及两条对角线上的8个数字之和都相等横式数字谜竖式数字谜习题辐射式数阵图1、请你将17这七个数字填入下图的中，使每条线段上的三个内的数的和相等。分析：设中

3、心数为a，中心数在计算和的过程中用到了3次。解答：每条边上的3数之和为k。3k=(1234567)2a=282ak=(282a)÷3当a=1时，k=30÷3=10；当a=2时，k=32÷3，有余数，舍去；  2、将111这11个数字填入下图的中，使每条线段上的三个内的数的和相等。解答：设中心数为a，中心数在求和过程中使用了5次。每条边上的3数之和为k。5k=(1234567891011)4a=664ak=(664a)÷5经实验：当a=1时，k=70÷5=14；当a=6时，k=90÷5=18，当a=11时，k=110÷

4、;5=22。答案：封闭式数阵图1、将18这八个数字填在下图的8个内，使每条边上的和都相等。解答：设顶点上的数分别为a，b，c，d，每条边上三个数的和为k。4k=(12345678)(abcd)=36abcdk=(36abcd)÷4当a=1，b=2，c=3，d=4时，k=46÷4=11.5，k为整数，最小值为12。当a=5，b=6，c=7，d=8时，k=62÷4=15.5，k最大值为15。因此，k的值是12、13、14、15。2、把19这九个数分别填在三角形三条边的9个内，使每条边上4个内的数的和相等。(求出两个基本解)解答：设顶点上的数分别为a，b，c，每条边上四

5、个数的和为k。3k=(123456789)(abc)=45abck=(45abc)÷3当a=1，b=2，c=3时，k=51÷3=17（最小值）当a=7，b=8，c=9时，k=69÷3=23（最大值）因此，k的值是17、18、19、20、21、22、23。（1）当k=19时，abc=12，a=2，b=3，c=7。（2）当k=21时，abc=18，a=3，b=7，c=8。复合型数阵图横式数字谜竖式数字谜1.在下面算式的空格内,各填上一个合适的数字,使算式成立. 1 + 3 21. 我们仍按前面所说的三个步骤进行分析.(1)审题 这是一个两位数加三位数,和为四位数的加法

6、算式.在算式中,个位上已经给出了两个数字,并且个位上的数字相加后向十位进了1,百位上数字之和又向千位进了1.(2)选择解题突破口 由上面的分析,显然选择个位上的空格作为突破口.(3)确定各空格中的数字9填个位 因为 +3=12,所以个位上的空格应填9. 9 1 + 3 2填千位 千位数字只能是百位上数字之和向前进的数,因此只能是1.填百位 第二个加数的百位上的数字最大是9,而和是四位数,因此算式中十位上的数字之和必须向百位进1,所以第二个加数的百位上填9,和的百位上填0.9901 1 + 3 2填十位 由于算式中个位上数字之和向十位进了1,十位上的数字相加后又向百位进1,所以第二个加数的十位上

7、的空格,可以填8或9.此题有两个解:989001 1 + 3 2999101 1 + 3 214.把下面除法算式缺少的数字补上. 8 解 (1)设除数为,商为.显然,d=e=0.由´8= , ´c= ,可知c=9.同理,f=9.所以商为90809.因为´9>99,所以>11.又因为´8<100,所以<12.5.由于是整数,因此=12.由逆运算可知,被除数为(12´90809=)1089708.除法算式为: 幻方1、把18这8个数填入下面的中，使每一横行、每一竖列相邻的三个数的和相等。解答：设中心数为a，中心数在求和过程中

8、使用了2次。每条边上的3数之和为k。3k=(12345678)a=36ak=(36a)÷3经实验：当a=3时，k=39÷3=13;当a=6时，k=42÷3=14。答案：例1 将19九个自然数，填入下图空格内，使横、坚、斜对角每三个数的和都是15。解：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵列及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。由三行三列数组成的幻方，称为“三阶幻方”。整理这种幻方的方法是：把九个自然数，按照从小到大的递增次序斜排（如图一），然后把上、下两数对调，左、右两

9、数也对调（如图二），最后再把中部四个数各向外拉出到正方形的四角，幻方就制成了。如果把图三制好的幻方，旋转90°、180°、270°都各成一个新的幻方。如果画在透明纸上，反过来观察，再旋转上述角度每次所得到的幻方，也具备上述性质。这样便可得到八个图，当然，它们并无实质上的区别。作业辐射型数阵图1、请你将17这七个数分别填在内，使每条线段上的三个数的和相等。解答：设中心数为a，中心数在求和过程中使用了3次。每条边上的3数之和为k。3k=(1234567)2a=282ak=(282a)÷3经实验：当a=1时，k=30÷3=10；当a=4时，k=36&

10、#247;3=12，当a=7时，k=42÷3=14。答案：封闭型数阵图2、将16这六个数分别填在下图的6个中，使每条边上的三个内的数的和相等。思考：在这6个内的数字中，哪几个数最关键呢？分析：三个顶点上的数在求和过程中要使用两次，只要确定了这三个数，并且知道每条边上三个数的和，另外三个数就很容易确定了。解答：设顶点上的数分别为a，b，c，每条边上三个数的和为k。3k=(123456)(abc)=21abck=(21abc)÷3当a=1，b=2，c=3时，k=27÷3=9（最小值）当a=4，b=5，c=6时，k=36÷3=12（最大值）因此，k的值是9、1

11、0、11、12。（1）当k=9时，abc=6，a=1，b=2，c=3。（2）当k=10时，abc=9，a=1，b=3，c=5。（3）当k=11时，abc=12，a=2，b=4，c=6。（4）当k=12时，abc=15，a=4，b=5，c=6。幻方横式数字谜.由3个不同数字能组成6个互异的三位数，这6个三位数的和是2886求所有这样的6个三位数中最小的三位数 【分析与解】设满足条件的最小三位数为，则由a、b、c组成的其他5个三位数为：、，于是这6个数的和为+=222(a+b+c)=2886，所以a+6+c=13，于是最小的为139所以所有这样的6个三位数中最小的三位数是139竖式数字谜2.在下面

12、的算式空格内,各填入一个合适的数字,使算式成立. 1 + 9 9 - 52. (1)审题 这是一道加减法混合运算的填空格题,我们把加法、减法分开考虑,这样可以使问题简单化.(2)选择解题突破口 在加法部分,因为十位上有两个数字已经给出,所以十位数字就成为我们解题的突破口.(3)确定各空格中的数字加法部分(如式): 1 + 9 9 填十位 由上面算式可以看出,第二个加数与和的十位上均是9,所以个位上的数字之和一定向十位进了1,十位上的数字之和也向百位进了1.所以算式中十位上应是 +9+1=19,故第一个加数的十位填9.填个位 由于个位上1+ 的和向十位进1,所以 中只能填9,则和的个位就为0.填

13、百位和千位 由于第一个加数是两位数,第二个加数是三位数,而和是四位数,所以百位上数字相加后必须向千位进1,这样第二个加数的百位应填9,和的千位应填1,和的百位应填0.这样加法部分就变成:999100 1 + 9 9 减法部分(如下式): 1 0 9 0 - 5 填个位 由于被减数的个位是0,差的个位是5,而10-5=5,所以减数的个位应该填5.这样减法部分的算式变成: 1 0 9 05 - 5填十位、百位 由于被减数是四位数,减数是三位数,差是两位数,所以减数的百位必须填9,同时十位相减时必须向百位借1,这样减数与差的十位也只能是9.这样减法部分的算式变为: 1 0 9 09959 - 5此题

14、的答案是:999500999 1 + 9 1 9 - 54.在下面算式的空格内,各填入一个合适的数字,使算式成立. 9 ´ 3 0 14. (1)审题 这是一个乘法算式,被乘数是三位数,个位上数字是9,乘数是一位数,积是一个四位数,积的千位数字为3,积的百位数字为0,积的个位数字为1.(2)选择解题突破口 因为乘数是一位数,当乘数知道以后,根据乘法法则,竖式中其他的空格就可以依次填出,因此乘数是关键,把它作为解题的突破口.(3)确定各空格中的数字 由于乘积的个位数字为1,所以可以确定出乘数为9.又因为积的前两位为30,所以被乘数的最高位(即百位)为3,于是被乘数的十位与乘数9相乘后应向百位进3,这样被乘数的十位应填3.得到此题的解为:5933 9 ´ 3 8 3 0 115在图7-3所示的除法算式中，只知道一个数字“3”，且商是一个循环小数问被除数是多少?【分析与解】 为了方便说明，标出字母 O. =÷999=÷，被除数与除数均为两位数 所以可以约分后为，999为除数的倍数， 999=3×3×3×37，999的约数中只有27、37为两位数，所以除数只