棱镜色散谱线几何弯曲偏离的计算

1、第1卷第3期2002年淮阴师范学院学报(自然科学版)JOURNALOFHUAIYINTEACHERSCOLLEGE(NaturalScienceEdition) Vol11No132002棱镜色散谱线几何弯曲偏离的计算刘经佑(淮阴师范学院物理系,江苏淮安 223001)摘 要:分析了棱镜色散谱线几何弯曲的原因,并对谱线弯曲的角偏离量进行了详细的计算.实验分析和结果说明此计算方法是合理的.关键词:主入射线;副入射线;主截面;副截面;角偏离量中图分类号:O435 文献标识码:A 文章编号:1671-6876(2002)03-0034-041 引言在采用棱镜色散的分光仪、摄谱仪和单色仪中,由于采用的

2、是狭缝光源,望远接收系统观察到的是1弯曲的谱线.本文分析了产生谱线几何弯曲的原因,给出了计算谱线弯曲的角偏离量方法,并以此方法计算了最小偏向角测量棱镜玻璃折射率时谱线弯曲的角偏离量.2 谱线弯曲的原因在准直管消色差物镜焦平面上的狭缝光源上各点光源,经物镜出射的光束是互不平行的.如图1所示,处于焦点(狭缝中心)上的点光源S和端点上的点光源S1经物镜后的平行光束有一夹角H.准直管出射的光束入射到三棱镜的情况,如图2所示.DN是狭缝中心即焦点光源相应平行光束的一条光线,称其为主入射线,其法线是MN,入射面是顶角为A的主截面(虚线面).DK是狭缝上非中心的一点光源相应平行光束的一条光线,称其为副入射线

3、,其法线是LK,入射面是顶角为B的斜截面(虚线面),称其为副截面.由于主入射线DN和副入射线DK不平行,入射角也不同,所以主截面A和副截面B有一夹角,顶角A和B也不相等,造成了出射棱镜后光线的偏向角不同,所以谱线是弯曲的,如图3所示.图2 入射线与截面图1 焦面线光源的平行光束3 谱线弯曲角偏离量的计算用分光仪观察线光源的光谱时,线光源的直线方向总是和三棱镜的棱平行的,线光源和准直物镜主光轴所在的平面也和三棱镜的棱平行,这个平面又和棱镜的主截面垂直.如图2所示,假定主入射线DN和副入射线DK都在线光源和准直物镜主光轴所在的平面内,这样折射点N与K的连线NK和三棱镜的棱平行,同时和棱镜的主截面A

4、垂直.过D点作折射界面的法线,交界面为点H,这样vDHK所在的面就是副入射线DK的入射面,也即副截面B(虚线面).而DH的 收稿日期:2002-04-30作者简介:刘经佑(1968-),男,讲师,工学硕士,主要从事光学测试技术及仪器研制等研究.第3期刘经佑:棱镜色散谱线几何弯曲偏离的计算35延长线是主截面A和副截面B的交线.可以看出vDHN、vDNK、vHNK和vDHK都是直角三角形,它们相应的直角分别是NDHN、NDNK、NHNK和NDHK.设主入射线DN的入射角为i1,即NDNM=i1;副入射线DK的入射角为j1,即NDKL=j1;DN和DK的夹角为H,即NNDK=H.因为DH也是折射界面

5、的法线,所以NNDH=i1,NKDH=j1.又设NNHK=A,因DHLHN和HK,而HN和HK分别在主截面A和副截面B内,所以角A是主截面A和副截面B的夹角.在直角vDHN中,因NNDH=i1,故有HN=DHtgi1DN=DH/cosi1在直角vDNK中,因NNDK=H,故有 NK=DNtgH将式(2)代入上式,得NK=DHtgH/cosi1又有DK=NK/sinH将式(3)代入上式,得DK=DH/(cosH#cosi1)在直角vHNK中,有tgA=NK/NH将式(1)和式(3)代入上式,得tgA=tgH/sini1在直角vDHK中,因NKDH=j1,故有cosj1=DH/DK将式(4)代入上

6、式,得cosj1=cosH#cosi1(6)注意式(5)和式(6).式(6)是主入射线的入射角i1和副入射线的入射角j1以及它们之间夹角H的关系,由于cosHi1.式(5)是主截面A和副截面B的夹角A和它们对应的主入射线和副入射线之间的夹角H以及主入射线入射角i1之间的关系,由于i1H.下面求副截面的顶角B和主截面的顶角A的关系.如图4所示,BX和BY是副截面在棱镜两个折射界面的交线,AP和AQ是主截面在棱镜两个折射界面的交线,PQ是等腰vAPQ的底边,点A和B是重合的.设XPLAP,YQLAQ,则vBXY也是等腰,又作等腰vAPQ的中垂线AO,同时AO也是等腰vBXY的中垂线.比较图2和图3

7、,可知角NPAX=A.可以求得cos(B/2)=cosA#cos(A/2)(7)图4 主截面与副截面的夹角因A0b,所以BA.对于单色光而言,给定主入射线入射角i1和玻离的折射率n以及主截面的顶角A,就可以计算出射线方向相对于入射线方向的偏向角Di.对于副入射线而言,也是如此,只是计算时副截面的顶角是B.由于主截面和副截面有一夹角A,主入射线和副入射线又是在各自的截面内偏折,计算出的偏向角是不在同一平面内的,但是可以把副入射线的出射线投影到主截面内,这样就可以在主截面内求得主截面内出(5)(4)(3)图3 谱线弯曲(1)(2)36淮阴师范学院学报(自然科学版)第1卷如图5所示,设主入射线在主截

8、面内的第一折射界面的折射角为r1,第二折射界面的入射角和折射角分别为r2和i2,则偏向角Di为2Di=(i1+i2)-(r1+r2)=i1+i2-A二折射界面的入射角和折射角分别为l2和j2,则偏向角Dj为D(j1+j2)-(l1+l2)=j1+j2-Bj=r1,r2和i2由折射定律求出,l1,l2和j2同理可求得.(8)又设副入射线在副截面内的第一折射界面的折射角为l1,第(9)图5 偏向角、入射角、折射角及主截面顶角偏向角Dj在主截面内的投影Dj投影的计算,如图6所示.设vABC是在副截面内的等腰三角形,其在主截面内的正投影Cc,BBcLABc,CCcLABcCc也是等腰三角形,且有BC=

9、BcACc.作BC的中点D和BcCc的中点Dc,则NDADc=A,DDcLADc.而AD和ADc又分别是两个等腰三角形的顶角平分线,令Dj=NBAC,则Dj投影=NBcACc.因此有ADc=ADcosAtg(Dj/2)=BD/ADtg(DDc/ADc=BD/ADcj投影/2)=Bc由上述三式可得tg(D(tg(Dj投影/2)=j/2)/cosA图6 偏向角的投影计算(10)(11)所以主入射线的出射线与副入射线的出射线在主截面上的角偏离量dD为dD=Dj投影-Di综上所述,由式(5)(11)和折射定律,就可求得谱线弯曲的角偏离量.谱线弯曲的角偏离量也可由分光仪测量出,如图3所示.4 最小偏向角

10、法测量棱镜玻离折射率时谱线弯曲的实例最小偏向角法测玻离折射率的公式为n=sin(Dmin+A)/2)/sin(A/2)2(12)此公式是对主入射线在主截面内折射而言,Dmin是最小偏向角.当偏向角最小时,有i1=i2,r1=r2=A/2,设玻离折射率n=1164750,A=60b,则sini1=nsin(A/2)=0182375,i1=55b27c43d,最小偏向角Dc26d.min=2i1-A=50b55一个典型的分光仪的准直管物镜和望远物镜的焦距f=170mm,狭缝光源的长度t=6mm,则主入射线和对应于狭缝光源端点的副入射线的夹角满足tgH=3/170.由式(6),i1=i2,r1=r2

11、=A/2和折射定律可得2)/(1+tgH)2将n=1164750,A=60b,tgH=3/170代入上式求得j1=55b28c5d.sinj1=(tgH+nsin2222由式(5),(7)和sini1=nsin(A/2),求得cosA=(nsinnsin22222A222A)/(tgH+nsin)22tgH+nsin22422sin=1-1-sin=22222222tgH+nsintgH+nsin22bd,60c第3期刘经佑:棱镜色散谱线几何弯曲偏离的计算37sinj1,求得l1=30b0c9d.n由sinj2=nsin(B-l1)求得j2=55b30c47d.将n,j1的值代入sinl1=偏

12、向角Dj=j1+j2-B=50b57c30d,将Dj,Di=Dmin和A的值代入式(10)和式(11),求得投影Dj投影和dD为Dj投影=50b58c7d,dD=2c41d.将焦距f=170mm和dD的值代入下式,可求得在分划板上的水平方向偏离的线距离为dx=ftgdD=01133mm.可见这种偏差是非常小的,尽管如此,通过目镜人眼仍然可觉察到,如图3所示.如果在测量棱镜折射率不是以谱线中心而是以谱线端点来测量最小偏向角,则其误差可以通过对式(12)求微分得出Dmin+Adn=dD2sin2将dD=2c41d,Dc26d,A=60b代入上式得dn=0100045.min=50b55cos以上计

13、算的dD=2c41d是理论假设下的误差,实际实验时的误差远不止这样小.笔者曾用杭州光学仪器厂的JJY型的分光仪(编号800823,准直物镜和望远物镜的焦距为170mm,线光源长度为6mm),对顶角A=59b58c,材料折射率n=1164750(钠黄光58913nm)的重火石玻璃ZF1的三棱镜测量其最小偏向角条件下谱线弯曲的角偏离量,测得角偏离量dD在3c之内,说明上述计算方法是正确的.5 讨论直线狭缝光源棱镜色散谱线的弯曲问题,就目前而言,还没有办法使其变直.因为若要谱线是直的,则准直管出射的只能有一个方向上的平行光,然而这又会使得谱线变为点,这是一对矛盾.事实上,就测量而言,只要调整正确,可

14、以避免谱线弯曲带来的误差.参考文献:1 卢勇.测定三棱镜折射率实验中要注意的问题J.物理实验,1996,16(1):49.2 赵凯华,钟锡华.光学(上册)M.北京:北京大学出版社,198411617.TheCalculationofPrismDispersionSpectralLinesGeometricalBendingDeviationLIUJing-you(DepartmentofPhysics,HuaiyingTeachersCollege,Huaian223001,Jiangsu,China)Abstract: Thereasonwhyprismdispersionspectrallineisbentisexplainedinthispaper,togetherwithdetailedcalculationo