线性方程组的数值解法

1、第10章 线性方程组的数值解法 典型问题解析考试知识点：高斯列主元消去法、雅可比迭代法、高斯¾¾赛德尔迭代法、迭代解的收敛性。（2124%）考试题型：选择题、填空题、计算题、证明题。学习要点：高斯顺序消去法、高斯列主元消去法；雅可比迭代法、高斯¾¾赛德尔迭代法、超松弛迭代法、迭代解的收敛性。典型问题解析：1. 高斯顺序消去法例1 用顺序消去法解线性方程组解 顺序消元 于是有同解方程组回代得解x3=1, x2=1,x1=1,原线性方程组的解为X(1,1,1)T.基本思想：解线性方程组AXb, 对增广矩阵Ab 顺序作初等行变换，使矩阵A化为上三角形矩阵，再回

2、代，从而求得线性方程组的解。要求作初等行变换消元过程中，(k=1,2,n-1)【定理1】 高斯消去法消元过程能进行到底的充分必要条件是系数矩阵A的各阶顺序主子式不为0；AXb能用高斯消去法求解的充分必要条件是A的各阶顺序主子式不为0. 顺序主子式：设，令（i=1,2,3,n）,是至n阶行列式，称为A的顺序主子式。【定理】是正定矩阵A对称且A的顺序主子式。（i=1,2,3,n）2. 高斯列主元消去法基本思想：在高斯顺序消去法中，每次消元之前，先确定主元(k=1,2,n-1)把第r行作为主方程，做第k次消元.将增广矩阵的系数部分化为上三角形矩阵，再回代求得线性方程组的解.例用列主元消去法解线性方程

3、组，计算过程保留4位小数。解AB=(选a21= -18为主元)x3=3.0000, x2=2.0001, x1=1.0000 方程组的解为X=(1.0000,2.0001,3.0000)T严格对角占优矩阵：主对角线上每一元素的绝对值均大于同行其它各元素绝对值之和，或主对角线上每一元素的绝对值均大于同列其它各元素绝对值之和，3. 雅可比迭代法(简单迭代法)解线性方程组AXb的雅可比迭代法公式为 (k=0,1,2,) (i=0,1,2,n, k=0,1,2,)矩阵表示：记， , 例3取初始向量X (0)=(0,0,0)T，用雅可比迭代法求解线性方程组解 建立迭代格式(k=0,1,2,3,)第1次迭

4、代, k=0X(0)0，得到X(1)(1,3,5)T,第2次迭代，k=1X(2)(5,3,3)T第3次迭代，k=2 X(3)(1,1,1)T第4次迭代，k=3 X(4)(1,1,1)T4. 高斯¾¾赛德尔迭代法 解线性方程组AXb的高斯¾¾赛德尔迭代法公式为(k=0,1,2,) (i=1,2,n k=0,1,2,)矩阵表示：记， ， G称为高斯¾赛德尔迭代矩阵。例1 用高斯赛德尔迭代法解线性方程组 取初始值(1.04,1.30,1.45,1.55)T，求 X(2)，并要求写出迭代公式，计算过程中保留2位小数. 解 本题的迭代格式为 (k=0,1

5、,2,) 当k=0时，X(0)(1.04,1.30,1.45,1.55)T， X(1)=(0.75,0.97,1.20,1.40)T X(2)=(0.81,1.00,1.27,1.40)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T，用高斯赛德尔迭代法解线性方程组解 建立高斯赛德尔迭代格式(k=0,1,2,3,)可以验证高斯赛德尔迭代不收敛。但雅可比迭代收敛，X(4)(1,1,1)T5*. 超松弛迭代法迭代公式任给 例3* 用超松弛迭代法求解线性方程组 取初始向量X(0)(1,1,1,1)T，松弛因子w1.46, 求两次迭代值.解 建立迭代格式 第1次迭代，k=0, X(0)=(1,1,1,

6、1)T 所以，X(1)=(1,1,1.73,0.8029)T 第2次迭代，k=1 所以，X(2)=(1,1.5329,1.6393,0.8274)T 注：本题的精确解为(1.2,1.4,1.6,0.8)T6. 迭代法的收敛性 【定理4】(迭代法基本定理)设线性方程组XBXf对于任意初始向量X(0)及任意f，对应此方程组的迭代公式 X(k+1)BX(k)+f收敛的充分必要条件是其中为迭代矩阵B的特征根当li为复数时，½li½表示li的模设线性方程组AXb, 令 D 雅可比迭代格式为：X(k+1)B0X(k)f其中雅可比迭代矩阵：B0D1()， f=D1b 高斯赛德尔迭代格式为

7、：X(k+1)GX(k)g其中高斯赛德尔迭代矩阵：G(D)1，g=(D)1b例4 证明以矩阵A为系数矩阵的线性方程组，它的雅可比迭代解收敛，而高斯赛德尔迭代解发散证明 线性方程组的系数矩阵为 A于是D D1D 雅可比迭代矩阵为B0B0的特征方程为得到矩阵B0的特征根，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛.高斯赛德尔迭代矩阵为G G的特征方程为解得特征根为l1=0，l2,3=2. 由迭代基本定理4知，高斯赛德尔迭代发散.【定理5】(迭代法收敛的充分条件)设线性方程组XBXf，若矩阵B的元素bij(i=1,2,n,j=1,2,n)满足(1) 或(2) 则对于任意初始向量X(0)及任意f，解此方程组的迭代公式 X(k+1)BX(k)+f收敛.注意：是充分条件，即不满足此条件也有可能收敛。如例4例5 证明线性方程组 的迭代解收敛.证明 线性方程组的系数矩阵为：A D= D1, = =雅可比迭代矩阵B0矩阵B0各行元素绝对值之和均为，即故雅可比迭代收敛。高斯赛德尔迭代矩阵G矩阵G各行元素绝对值之和均小于1，即故高斯赛德尔迭代收敛。【定理6】(迭代法收敛的充分条件)设线性方程组AXb，(1) 若A是严格对角占优矩阵，则雅可比迭代法和高斯¾¾赛德尔迭代法收敛；(2) 若A为对称正定矩阵，则高斯