代数中的对称美

1、代数中的对称美高中数学的代数部分主要包括函数，不等式，数列，三角函数，导数，排列，二项式定理，概率等。其中大部分内容均以函数为主线，体现了函数是中学数学的核心部分，也是高中数学的基础。函数的性质是考察的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。以下对与函数有关的对称的性质进行探讨。一、函数自身的对称性定理 1. 函数 y=f(x) 的图像关于点 a(a,b) 对称的充要条件是f(x)+f(2ax)=2b证明：（必要性）设点 p(x,y) 是 y=f(x) 图像上任一点，点 p(x,

2、y) 关于点 a(a,b) 的对称点 p（2ax，2by）也在 y=f(x) 图像上， 2by=f(2a x) 即y+f(2a x)=2b 故 f(x)+f(2ax)=2b ，必要性得证。（充分性）设点 p(x0,y0) 是 y=f(x) 图像上任一点， 则 y0=f(x0)f(x)+f(2ax)=2bf(x0)+f(2ax0)=2b ，即 2by0=f(2a x0) 。故点 p（2ax0，2by0）也在 y=f(x) 图像上，而点 p 与点 p 关于点 a(a,b) 对称，充分性得征。例如：已知函数，求证：此函数的图像关于点成中心对称。（此证明留给读者）注：利用定理，需证必要性与充分性两方面

3、，当然也可由图像观察对称性。推论：函数 y=f(x) 的图像关于原点o 对称的充要条件是f(x)+f(x)=0 （这也是奇函数图像的特性）如：设 f(x) 是定义在 r 上的奇函数，且 f(x+2)= f(x),当 0x1 时，f(x)=x ，则 f(7.5)=（）(a)0.5(b)0.5(c)1.5(d)1.5解： y=f(x) 是定义在 r 上的奇函数，点（ 0，0）是其对称中心；又 f(x+2)=f(x)=f(x)，即f(1+ x)=f(1x)，直线x=1是y=f(x)对称轴，故y=f(x)是周期为2 的周期函数。f (7.5)=f(80.5)=f(0.5)=f(0.5)=0.5故选 (

4、b)定理 2. 函数 y=f(x) 的图像关于直线x=a 对称的充要条件是f(a+x)=f(ax) 即f(x)=f(2ax)证明：（必要性）设点 p(x,y) 是 y=f(x)图像上任一点，点p(x,y)关于 x=a 的对称点 p（2ax，y）也在 y=f(x) 图像上， y=f(2a x) 即 f(x)=f(2a x) ，必要性得证。（充分性）设点 p(x0,y0) 是 y=f(x) 图像上任一点， 则 y0=f(x0) f(x)=f(2a x) f(x0)=f(2a x0) ，即 y0=f(2a x0) 。故点p（2ax0，y0）也在 y=f(x) 图像上，而点 p 与点 p关于对称，充分

5、性得证。推论：函数 y=f(x) 的图像关于 y 轴对称的充要条件是f(x)=f(x)（这也是偶函数图像的特性）二、不同函数对称性定理 3. 函数 y=f(x) 与 y=2bf(2a x) 的图像关于点 a(a,b) 成中心对称。定理 4. 函数 y=f(x) 与 y=f(2a x) 的图像关于直线 x=a 成轴对称。函数 y=f(x) 与 ax=f(a y) 的图像关于直线x+y=a 成轴对称。函数 y=f(x) 与 xa=f(y+a) 的图像关于直线xy=a 成轴对称。定理 4 与定理 5 中的证明留给读者，现证定理设点 p(x0,y0) 是 y=f(x) 图像上任一点，则 y0=f(x0

6、)5 中的。记点 p(x,y)关于直线 xy=a 的轴对称点为 p（x1，y1），则 x1=a+y0,y1= x0 a，x0=a+y1,y0=x1 a 代入 y0=f(x0) 之中得 x1a=f(a+y1) 点 p（x1，y1）在函数 xa=f(y+a) 的图像上。同理可证：函数 xa=f(y+a) 的图像上任一点关于直线 xy=a的轴对称点也在函数 y=f(x) 的图像上。故定理 5 中的成立。例：求证函数的图像与函数的图像关于点对称。（读者证明）推论：函数 y=f(x) 的图像与 x=f(y) 的图像关于直线y=x 成轴对称。（互为反函数的两个函数图像的特性）三、三角函数图像的对称性注：上表中 kz例：函数 y=sin(2x+) 的图像的一条对称轴的方程是（）(a)x= (b)x = (c)x=(d)x=解：函数 y=sin(2x+) 的图像的所有对称轴的方程是 2x+=k+ x=, 显然取 k=1 时的对称轴方程是 x=故选 (a)有对称性也知道轴处取得最值，做小题时也可以直接验证。在三角函数图像中，对称性是非常重要的一条性质，正余弦函数既是中心对称又是轴对称的特点使得函数的图像有了规