导数的概念教师

1、导数的概念1导数的背景(1) .曲线的切线:(2) .瞬时速度(3) .边际成本2、导数的定义:f(x)在点 X0处的导数记作。yy=(xo) Jm0f(Xo"f(Xo)丄X zXoLX6 / 4注意：(1) X是自变量X在Xo处的增量(或改变量).(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果 XT0时，卫 有极限，那么函数y=f(X)在点Xo处可导或可微，才能得到f(X)在点Xo处的导数.5、常见函数的导数公式: c =o :(xn)(sin x)'二:(cos x)'二:(aX)(ex)' =:(log a x)'=(In x)' =。6

2、、导数的四则运算法则：(u_v)J;(uv)：=;(U)v7. 求切线： k = f/(xo)表示过曲线y=f(x)上的点P(xo,f(xo)的切线的斜率。V= sz(t) 表示即时速度。a=vz(t)表示加速度。 利用导数求切线：注意所求的是“在”还是“过”该点切线(不能仅仅看)(二)预习检测2A s1. 一质点M的运动方程为 S=t2+1,则质点M在2(s)到2+ t ( s)的平均速度 =t质点M在t=2(s)时的速度S =|t=(m/s)2若函数f(x) = 则f (x)在区间l-X0,X -X 1上的平均变化率 =Axf (x)在X=xo时的瞬时变化率f(Xo)=3. 设生产一种产品

3、的利润函数为P(x)元，则边际利润函数为 边际函数的实际意义为。4. (log2 x)=； 3X)=(-cosx)=；(sin 2x)=.5. 已知函数y= f (X)的图像在点P (2, 5),且图像在点P处的切线方程是 2x-y+1=o, 则 f ' (2)=x二6. 曲线y= -tanx在点(一，yo)处的切线的倾斜角为。367. 曲线y=ex在一点处的切线I过原点O,则I的倾斜角为。8. 向气球内充气，若气球的体积以36二(cm3/s)的速度增大，气球半径 R(t)(cm)增大的速率R (t)=o9. 若曲线y=lgx在点P处的切线垂直于直线y= -xln 10,则P坐标为13

4、10. 直线y=x是曲线y = X3 3x2 ax的切线，贝U a的值a = 1或 。4互动展示：例1.求函数y= ,x2 1在xo到xo+A x之间的平均变化率.解/ A y=.(xoX)2 1 用1&0_?)1_1才0二1_¥”(x0 +ix)2 +1 +讣2 +12_2x0x+(x).曲 _2x°+心-(x0 ： =x)2 1、x# 1=x . (x0 * lx)2 x -1变式训练1.求y= . x在x=X0处的导数.解 lim |imx0汶一x0二 lim (x0二xx0)( x0'心)匚0 Lx J0伙U0.，x( , X0 A X0)=lim1

5、例2.求下列各函数的导数：(1) y =(x -1)(x 2)(x 3); (2) y =-sin? 12cos2Z ；(3) y1-1.2 I4 丿1 -Vx 1x2322解 (1)方法一 y= ( x+3x+2 ) ( x+3) =x+6x+11x+6,. y' =3x +12x+11.方法二 y = (x 1)(x 2) (x 3) (x 1)(x 2)(x -3)'=(一 x 1厂(x -2) -(x -1)(x -2) ' ( X+3) + ( X+1) ( X+2 )2=(x+2+x+1) (x+3) + (x+1) (x+2) = (2x+3) (x+3)

6、 + (x+1) (x+2) =3x+12x+11.XX 1 .(2) - y=sincos sinx,2 J2 丿 2F.y = sinx =(sin x = cosx.2 丿 2 2(3) _11_ 1 x 1 - x _ 2(3) y jx 1=(1 二x)(1X) U，.* ( 22(1x)"2y221 x(1 x)2(1 -x)2变式训练1:求y=tanx的导数.解y'sinx (sin x) Cosx _sin x(cosx) cos2x sin2x cosxcos2 xcos2 x1cos2 x变式训练2:求下列函数在x=x0处的导数。 f (x) =cosx

7、(sinx)2 + (cosx)2JIX0= 3xxe e2 f (x)=+, xo=2;1Jx 1+Jx例3.已知曲线y=lx3 433（1 ）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解 （1）v y' =x2, 在点P （2, 4）处的切线的斜率k=yx=2=4.曲线在点 P （2, 4）处的切线方程为y-4=4（x-2）, 即4x-y-4=0.（2）设曲线y=3-x3 -3与过点p（2, 4）的切线相切于点 a xogx0 -3 ,则切线的斜率k=yx/x：.切线方程为3x0 冷-0(x-x0),即x _2 x34.33点p（2,4）在切线上， 4=2x

8、2討3,即 x0-3x0' 4丄,X0X0-4X0' 4二0丿 x0(x0' 1)-4(x1)(xo-)=0,2 (x 0+1)(x 0-2) =0,解得 X0=-1 或 X0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.变式训练1:若直线y=kx与曲线y=x3-3x 2+2x相切，则k=.答案 2或-14变式训练2:偶函数f (x) =ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P (0, 1),且在x=1处的切线方 程为y=x-2，求y=f (x )的解析式.解 /f ( x)的图象过点P (0, 1), e=1.又 f ( x)为偶函数， f ( -x

9、) =f (x).故 ax +bx +cx +dx+e=ax -bx +cx -dx+e. b=0, d=0. f (x) =ax4+cx2+1.函数f (x)在x=1处的切线方程为y=x-2，可得切点为(1, -1 ). a+c+ 仁-1./ f (1) =(4ax +2cx)| x=1=4a+2c , 4a+2c=1.由得a= - , c= 9 .函数y=f (x)的解析式为f(x)x49x2 1.2 2 2 21变式训练3:已知曲线G：y=ex与C2：y=- x ,若G C2分别在点R,P2处的切线 是同一e条直线I，试求I的方程。某造船公司年造船量是 20艘，已知造船x艘的产值函数为

10、R(x)=3 700x+45x 2-10x3(单位： 万元)，成本函数为 C(x)=460x+5 000 (单位：万元)，又在经济学中，函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x).(1) 求利润函数P(x)及边际利润函数 MP(x)；(提示：利润=产值-成本)(2) 问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3) 求边际利润函数 MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解：(1) P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3 240x- 5 000(x N，且 1< x< 20);2 *MP(x)=P

11、(x+1)-P(x)=-30x+60x+3 275 (x N,且 1<x< 19).2(2) P(x)=-30x +90x+3 240=-30(x-12)(x+9),/x>0, P(x)=O 时,x=12 ,当 0<x<12 时，P (x) >0,当 x>12 时，P(x) <0, x=12时，P(x)有最大值.即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大/ 、 2 2(3) MP(x)=-30x +60x+3 275=-30(x-1)+3 305.所以，当x>1时，MP(x)单调递减， 所以单调减区间为1, 19，且x N*.MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，禾U润在减少变式训练：(2009湖北卷理)设球的半径为时间t的函数R t。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径A.成正比，比例系数为 CC.成反比，比例系数为 C【解析】由题意可知球的体积为B.成正比，比