巧求最值问题种方法

1、43 / 4巧求“最值”问题八种方法江西省井冈山市龙江中学(343600) 刘定邦求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型，在数学竞赛中作为一个靓点大量存在，解 这类题有一定的难度和技巧，所以不少同学为之感叹，这里向大家介绍一些求最值问题的方法 与技巧。一、利用配方求最值例1：若x,y是实数，则x? _xy + _3x_3y 1999的最小值是 。( 1998年数学新蕾竞赛题)分析：由于是二次多项式，难以直接用完全平方公式，所以用配方法来解更为简捷。1 9 9 1 ? 1 ?原式=(x _2xy y) (x _6x 9)(y - 6y 9) - 19902 2 2=1 (x - y)21 (x

2、 -3)21(y 一3尸 19902 2 2显然有(x-y)2 > 0, (x-3)2 > 0, (y-3)2 > 0,所以 当x-y=0,x-3=0,y-3=0 时，得x=y=3时，代数式的值最小，最小是1990;2 1例2,设x为实数，求y= x -X3的最小值。x分析：由于此函数只有一个未知数，容易想到配方法，但要注意只有一个完全平方式完不 成，因此要考虑用两个平方完全平方式，并使两个完个平方式中的x取值相同。由于y=x2 -2x 1 x 丄- 2 -1 = (x -1)2(、x)2 -1 ,要求y的最小值，必须有 x-仁0,且xJx二 0 ,解得 x=1,2 1于是当

3、x=1时，y=x2 -x3的最小值是-1。x二、利用重要不等式求最值1 1例3:若xy=1,那么代数式4的最小值是 。(1997年全国初中数学竞赛试题)x 4y分析：已知两数积为定值，求两数平方和的最小值，可考虑用不等式的性质来解此题,J4=(2)2 +右2色22少2x2yx 2y1(xy)2=11 1所以：j 歹的最小值是1三、构造方程求最值例4:已知实数 a、b、c满足：a+b+c=2, abc=4.求a、b、c中的最大者的最小值 .(2003年全国初中数学竞赛试题)分析：此例字母较多，由已知可联想到用根与系数的关系，构造方程来解。解：设c为最大 者，由已 知可知，c>0,得：a+b

4、=2-c, ab= ,则a、b可以看作c2 424x2 _(2-c)x 0的两根，因为a、b是实数，所以(2-c)2 -4亠一 0 ,即 cc3 2c -4c 4c -16 _0, (c 2)(c-2)(c-4) _0,得 c乞 2 或c _ 4,因为 c 是最大者，所以 c的最小值是4.四、构造图形求最值例5:使.X2 4 ._(8 - x)2 16取最小值的实数 x的值为(2006年全国初中数学竞赛试题)分析：用一般方法很难求出代数式的最值,由于x2 4 .(8匚X)216=.(x -0)2 (0 -2)2 (x - 8)2 (0 - 4)2 ,于是可构造图形,转化为：在x轴上求一点c(x

5、,0),使它到两点 A (0, 2)和B (8, 4)的距离和 CA+CB最小，禾U用对称可求出C点坐标,这样，通过构造图形使问题迎刃而解。解：X2 4(8 -X)2 16=. (x -0)2(0 -2)2.,(x -8)2(0 -4)2 .于是构造如图所示。作A (0, 2)关于x轴的对称点A (0,-2),令直线A B的解析式为y=kx+b.'0k+b2解得8k +b =83 8 所以 y = _ x - 2 ,令 y=0,得 x = _ .4 _即C点的坐标是(8,0),所以当x=8时，Jx2 + 4 + J(8 x)2 +16有最小值，_ _五、利用判别式求最值_x2 +6x

6、+5例6:求y=2的最小值5x +x +1解：去分母可以整理出关于x的一元二次方程，2(y-6)x -(2y -12)x(2y-10) =0,因为 x 为实数，所以0得:4 < x< 6,解得，故y的最小值是4六、消元思想求最值例 7:已知 a、b、c 为整数，且 a+b=2006, c-a=2005 , a<b,贝U a+b+c 的最大值为(2006年全国初中数学竞赛试题)分析由题：由于是求三个未知数的最大值，设法将其转化成一个未知数的形式，由题设可得b=2006-a，c=2005+a，将其代入原式得：a+b+c=a+2006-a+2005+a=4011+a又 a+b=20

7、06,a、b 均为整数，a<b,所以 a< 1002, 所以当a=1002时，a+b+c 的最大值是 4011+1002=5013.七、禾U用数的整除性求最值例&已知a、b为正整数，关于x的方程x2 - 2ax b = 0的两个实数根x、x2,关于y的方程y2 - 2ay b = 0两个实数根为y1>y2，且满足x2y2二2008,求b的最小值。(数学周报杯 2008年全国初中数学竞试题)分析与解：因为方程 x2 - 2ax b = 0与y2 2ay b = 0有实根，所以有：(2a)2 -4b_0,即a2 _b，由根与系数的关系，得：N +X2 =2a,X1X2 =

8、b； %+y2=2a, yV2=b即+y2 = 2a =(为 +X2)= (xj+(X2)yy2 =(-Xj(-X2)解得：y1X1 或 y1 X2ly2 = -X2y2 = -X1把y1, y2的值分别代入，X1 y2 - X2 y2二2008得xj-xj -x2(-x2) =2008，或 Xj(-X2) - x2(-xj = 2008 (不成立)即 x22 _ 片2 = 2008, (x2 xj(x2 _xj =2008因为 x1 x 2a 0,x1 x2 = b 0 所以 x1 0, x2 0于是有 2a 4a2 -4b =2008 即 a .a2-b=1 502 =2 251因为a,b

9、都是正整数，所以a =1a2 -b =5022=2512a 二 505 a = 2 或 a2 -b=1 或 a2 -b分别解得:a =1b =1 -5022或:= 502=5022或a _22或a-1 b=2-2512 b= 251= 2512经检验只有：=502,戸=251符合题意.b = 5022 T b =2512 -4所以b的最小值为：b最小值=2512 -4= 62997八、利用函数的增减性求最值例9 :设xpx2是方程2x2-4mx 2m2 3m-2=0的两个实根，当m为何值时,2 2 Xi - X2有最小值，并求这个最小值。解：因为方程2x2 - 4mx - 2m2 3m - 2 = 0有实根，所以2 2 2= (4m) -82m 3m - 2) _ 0,解得 m _ §由根与系数的关系得：2c2m +3m2Xi X2 2 m, x 1X2 2222223 2 7是 x1x2= (x1 x2) - 2x1 x2 =4m - (2m 3m - 2) =2( m )48-