常用的些矢量运算公式

1、常用的一些矢量运算公式1.二重标量积如a，b和c是三个矢量，组合a b * c叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为i,j,k，令三个矢量的分量记为a a1.a2.a3 ,b b1.b2.b3 及 c c1.c2.c3 则有c1c2c3(a=<b )*c =a-)a2a3(cd +C2j yk )=bbbsbbbs一（a 乂b= （b父 c= （c汶 a因此，三重标量积必有如下关系式：即有循环法则成立,这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。2.三重矢量积如a，b和c是三个矢量，组合叫做他

2、们的三重标量积，因有12 / 8故有中心法则成立， 这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。三重标量积有人古丰、a （bc） =-（a b）c + （a）b一个重要的性质（证略）：将矢量作重新排列又有：ab*c =b a c b*a c3算子（）pa矢 量 积 公 式(1-209)a (b c) _ -a (c b) = (c b) a(1-209)(1-210)4是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（）则是一个标量算子，将它作用于标量，即（a，）曰 aadra是在方向的变化速率的倍。如以无穷小的位置矢量代替以上矢量，则（dr'、）F Fdrdrd ''7是在位移

3、方向的变化率的倍，即 。d = （dr i） = dr '若将（d八）作用于矢量V，则（d八）v就是v再位移方向dr变化率的dr倍，既为速度矢量 的全微分衣(a 5 匸於(abo 严衣(a0 江b ) = (b 闪归一(a N)b b(W a) + a( *b)应用二重矢量积公式（1-210）又有'、a b ： ； ao 亠；a b0 二 a C b) (a、)b b C a) C *b)a将以上两式结合(相减)后可得- - 1 d , (a )baba b C a)-a (、b)_b(''a) aC *b)?1 2a =b =vVxfvxv'-O（v）

4、v= -v（可xv）一个重要的特例，令，因则有2V4.算子的应用:aa； b令 是标量，是矢量，'为并矢量，则有'、(a ) = ' ( 0a)i ( ao) = (； *a) a )'(a)、( ao)'、( oa) =a " a)2'、('、a)二'(' a) - a、'、(a;b) - (a°bo) '、(a°b)二 b( ''a) (a 八)b在直角坐标中，令a =iax jay kazL 几 c*-c*-c*-ijkfix勿£zexcycz&

5、#39;、a =ijk0r rc cax cy czaxayaz:2': 2 I=、(«)二 r.汰 cyaaaaV =a +a +a xy:x:y：2 '.z对一组正交曲线坐标系 S”3），其单位矢量（0©足），将任意位置矢量R变分写为、R 二 gd 浄h2d ；2e2h3d ；3e其中为尺度因子（拉美系数）。因在直角坐标中，dxi血厂狀，所以h勺厂入可。在柱坐标（r ； z，因'Edrded理，所以e所以0=0十2=。在球坐标亿刑）中，因5R=de+叫& srn日 h =1, h = r,h3 = rs in 二。©a = 3

6、+ a2 e? + a3e3在任意正交曲线坐标系中，令是标量，矢量123 3，则有 可© 一 0占$ +仓髀+仓占©l"1 G 1 h C 2 人3 Q 芒3.a = 1+ j(hha2h1h2h3 C1C-3C-3 J1h1eh2e2h363CL、L、ccchhs曲成3hah2玄2人3玄3'、a =单位矢量的旋度和散度为e - e2 ： h1e3 ： h11 (1,2,3轮换)h|h3 : 3h/2 ：- 2q 1 皿 (1,2,3轮换)h1h2h3r 1：1(入打/ hah2( h22)亠晋二)C 3 h3 匚 _3 ”! (n:h1(n112- 2

7、n2叫r氈fa3(n11:h1"氈:一 1hsh二 3-:h2 n3:3:h2 ：2).旦 had(n2:h2 a戶1-n1-:h3.:h1：-1)-3a2池n1-:-1 -+h2h3-2-n2h3hi53"作用于矢量a为*)*)na =e +旦q ：n i a2莹(n2h2h3叭“）方向梯度笛卡尔张量1求和约定克罗尼克尔符号轮转符号以1 (i ,)表示笛卡尔直角坐标系的坐标，；(i ,)表示三个坐标轴方向单位矢量。点<5©点(x-i, x2, x3)d © = dxi 十dx2 十dx3 = dxi令，定义求和约定的写法为：xjx2；:x3式中重

8、复dxdxi下标称为哑指标，表示求和约定。哑指标字母可以任意更换，；：XjJ和；：Xj1具有相同的效果。使用求和约定时规定在每一单项中同一指标使用不能超过两次。克罗克尼尔(Kroneker)符号定义为1,i = j在笛卡尔直角坐标系中，有ii 衬2 = j , -='j, V =3，rx =Xj Sxj单位矩阵也可以表示为1100-'IVI '13I = 010 = |芬2022酋23=©)-001 -.§3132 鸟3 -轮转符号定义为0,当i, j,k中有两个相同时聯=丿1,当i, j,k为1,2,3顺序轮转排列时1,当i, j, k为非1,2,

9、3轮转顺序排列时例如'123"231'312 -1, '132 = '321 二213_1。采用轮转符号ijk可使运算的书写简化,i1i2i3a1 &2直-"ijk aj bkii(a “ 二；ijkajbkiihi2 3fffGCCijk 严)h或写成张量的九项式:'二hij Pj ,i, j =1,2,3 - p2ip22p23P3lP 32 p33 _如 Pn f 二氐=1,Pj4(i = j)则为单位张量如果张两分两满足条件Pj _ Pji，则这个张量叫对称张量。如果张两分两满足条件Pj 一 一卩”，则这个张量叫反对称

10、张量。I 丨dPh若将张量的分量 汕与“ji互易位置后的张量，则称该张量的共轭张量，并以表示:_P1 1 p21 p31c =P12P22P32pi3 p23 p33 _|3并失为区别两个矢量的点乘，可将两个矢量的并失ab写成a;b(I v)i = ；jk (巴)次j2.笛卡尔张量定义在直角坐标系中张量称为笛卡尔张量，而张量本身与所取的坐标无关。如一个标量在任何坐标系中都为同一个量，标量亦称为零阶张量。如一个适量在任何坐标系中以为同一个量。但他在三维空间中由三个分量组成，在不同的坐标系中这三个分量则不同，但他们都有一定的变换关系，矢量亦称为一阶张量。若有一个量“（如应力）在任一点处有三个矢量分

11、量，P2，P3即这个量具有九个分量。'丨这个量在任何坐标系中都为一个量，而它们的9个分量在不同的坐标系中有不同的分量，但它们存在一定的变换关系，则门这个量称为二阶张量，常简称为张量。在三维空间中被称为零阶张量，一阶张量，二阶张量等等，是因为它们30,31,32分别有个分量，而称之为零阶，一阶，二阶张量，并可由此类推到n阶张量。=iiPi i2P2 I3P3Pl = il Pl1 +2 P12 + i 3 P13笛卡尔二阶张量所确定的三个矢量的分解式为p =祁 亠2 p亠3 P23"lbp3 =1 p312 p32 3p33PllPl2Pl3 I则张量门可用9个张量元素来定义，

12、可写成如下的矩阵形式a id “23 5，则并失亦有9个分量，写成矩阵形式为3!0敲2訥3ab 二a;b 二3bia3b2a3b3 一，并失为二阶张量。必须注意，并失a;b b; a与 是不同的_b1a1b1a2b1a3_|b;a= DabQbiQRaibsazbsasj由此可见b； aa； b是并失 的共轭张量。矢量的梯度梯度为一并失，故是一个二阶张量:grad a - ; aI ca ca2 ©a3GX1 纠 cX1ca5a2 ca3X? X2 X2/a -a? -£3考虑矢量滩八盼庄必)的无穷小增量,记a1_ dx2_ dx3-X?X3；:a.: a-a1da1- d

13、因da2= d dx2dx3因X； x2x3；a3a3.dx2dx3-x?；xda3 -邑dx.x1-dada / dr故为具有九个分量的二阶张量d raa?83 ICX1 CX1 CX1ca1 oa?匚83ca1 ca2 化 lL'X3 ；：X3 汶3因可将da / dr -量与矢量dr的点乘， da """-"dadr =dr *grada =dr(' ;a)dr应用并失运算法则又有da 5C ;昕(dr Hdr八归对标量函数类似的有八殉詁八 并失运算服从如下四个运算法则a;b;c = (a; b); c = a;( b;c)(1)结

14、合律法则连续的并失积可以任何方式加上括号而不改变结果。(2)标量率法则xa; b = (xatb = (a; b) t标量 在并失运算中可以提到任何一个位置。(3)缩并率法则两个矢量点乘为一个标量，一个并失(张量)与一个矢量点乘则为一个矢 量，表示通过点乘将并矢量积的阶降低了两阶，这个过程叫做缩并。如利用结合率和标量律后，可知并失与矢量的点乘后为一矢量：佝b)心a；(b 9 = (b ©a如利用标量律后，可知两个并失点乘后仍未一并失(a;b) *(c;d) =a;(b *c); d = (b c)(a;d)(4)分配律法则a;(b - c)二a; b a; c4.张量的梯度，散度和格

15、林定理零阶张量(标量)的梯度是矢量，一阶张量(矢量)的梯度是二阶张量，一次类推，二阶 张量的梯度必为三阶张量。设A是二阶张量，其分量Aj= Aji (X1，X2 , X3)定义=Aj,k表示Aj对Xk求偏导数。梯度符号是一矢量算子，grad Uk"23:Xk故张量A的梯fcAi 1 f -gradA =A =Aj,k 度可写为k张量A的梯度具有27个分量的量，即i,j =1,2,3, k =1,2,3属于三阶张量。一阶张量(矢量)的散度是一个标量，二阶张量的散度将是一个矢量。散度的定义为3个分量,Aj,人1十芒人21十SA31芒人2 +FA22十GA32点人3+FA23+补姦：&XCX2陕CX1CX2f X3'欣1CX2c(-1, -2,)h1, h2,h3在正交坐标系j 2 中,拉美系数为时,的公二阶张量的散度和变形率张量分量式Dij则h洪k i hkh|2h hAk一Akk込AhkA3 JAkk小k丿1D12D12D12+ 华)¥ (Ph - 1 d d - 2